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8.（2026·江苏盐城期中）如图，$CB ⊥ AD$，$AE ⊥ CD$，垂足分别为$B$，$E$，$AE$，$BC$相交于点$F$，连接$DF$。若$AB=BC=8$，$CF=2$，则图中阴影部分的面积为
6
。答案
8. 6
9.（2026·江苏苏州期末）如图，在$△ ABC$中，$∠ ABC=3∠ C$，$AD$平分$∠ BAC$，$BE⊥ AD$于点$E$，则$∠ ABE$与$∠ CBE$之间的数量关系是
∠ABE=2∠CBE
。答案
9. $∠ ABE=2∠ CBE$
10. 新素养 推理能力 如图,在$△ ABC$中,延长CB至点D,使得$BD=BC$,过点D作$DF// AC$,点E在AB上,连接EF,且$∠ BEF=∠ A$.若$AC=8$,$DF=2$,则EF的长为
6
.答案
10. 6 解析: 延长 $AB$ 交 $DF$ 的延长线于点 $G$. 因为$DF// AC$,所以$∠ D=∠ C$. 又 $BD=BC$,$∠ DBG=∠ CBA$,所以$△ DBG≌△ CBA$(ASA). 所以 $GD=AC$,$∠ G = ∠ A$. 又$∠ BEF = ∠ A$, 所以$∠ G =∠ BEF$. 过点 $F$ 作 $FK⊥ GE$ 于点 $K$,则$∠ FKE=∠ FKG = 90°$. 所以 $90°-∠ BEF = 90°-∠ G$, 即$∠ KFE = ∠ KFG$. 又 $FK = FK$, 所以 $△ EFK ≌△ GFK$(ASA). 所以 $EF = GF$. 因为 $AC = 8$,所以 $GD=8$. 又 $DF=2$,所以 $GF=GD-DF=6$,即$EF=6$.
11. 如图，B，F，C，E 四点在同一条直线上，FB=CE，AB//ED，AC//FD，AD 交 BE 于点O.
(1) 求证：AD 与 BE 互相平分；
(2) 若 BF=5，FC=4，求 OE 的长.
(1) 求证：AD 与 BE 互相平分；
(2) 若 BF=5，FC=4，求 OE 的长.
答案
11. (1) 因为 $BF=CE$,所以 $BF+CF=CE+CF$,即$BC=EF$. 又 $AB// DE$,$AC// DF$,所以$∠ B=∠ E$,$∠ ACB=∠ DFE$,$∠ CAO=∠ FDO$. 所以$△ ABC≌△ DEF$ (ASA). 所以 $AC = DF$. 所以$△ AOC≌△ DOF$(ASA). 所以 $OA=OD$,$OC=OF$. 所以 $OC+CE=OF+BF$,即 $OE=OB$. 所以 $AD$ 与 $BE$ 互相平分.
(2) 由(1),得 $OE = OB$, $OF = OC$, 所以 $OC =\frac{1}{2} FC$. 因为 $FC=4$,所以 $OC=2$. 又 $BF=5$,$BF=CE$,所以 $CE=5$,即 $OE=OC+CE=7$.
(2) 由(1),得 $OE = OB$, $OF = OC$, 所以 $OC =\frac{1}{2} FC$. 因为 $FC=4$,所以 $OC=2$. 又 $BF=5$,$BF=CE$,所以 $CE=5$,即 $OE=OC+CE=7$.
12.（2026·江苏镇江期中）【问题发现】如图①，在△ABC中，∠ACB＝90°，CA＝CB，D是边AB上一点，作CE⊥CD交过点A且与AB垂直的直线l于点E.有下列结论：① BD＝AE；② S四边形ADCE＝S△ABC.其中正确的是
【问题应用】如图②，在四边形ADCE中，∠DCE＝∠DAE＝90°，CD＝CE，AC＝4，求四边形ADCE的面积.
【问题延伸】如图③，在四边形ABCD中，∠BAD＝∠BCD＝90°，AB＝AD，BC＝4，CD＝10，M是线段CD上一点，且AM恰好平分四边形ABCD的面积，则 CM 的长为
①②
（填序号）.【问题应用】如图②，在四边形ADCE中，∠DCE＝∠DAE＝90°，CD＝CE，AC＝4，求四边形ADCE的面积.
【问题延伸】如图③，在四边形ABCD中，∠BAD＝∠BCD＝90°，AB＝AD，BC＝4，CD＝10，M是线段CD上一点，且AM恰好平分四边形ABCD的面积，则 CM 的长为
3
.答案
12. 【问题发现】①② 解析: 因为$∠ ACB=90°$,所以$∠ ACD+∠ BCD=∠ B+∠ BAC=90°$. 因为 $AE⊥ AB$,所以$∠ BAE=90°$,即$∠ BAC+∠ CAE=90°$.所以$∠ B=∠ CAE$. 又 $CD⊥ CE$,所以$∠ DCE=90°$,即$∠ ACD+∠ ACE=90°$. 所以$∠ ACE=∠ BCD$. 又$CA=CB$,所以$△ BCD≌△ ACE$(ASA). 所以 $BD=AE$,$S_{△ BCD}=S_{△ ACE}$. 则 $S_{\mathrm{四边形}ADCE}=S_{△ ACD}+S_{△ ACE}=S_{△ ACD}+S_{△ BCD}=S_{△ ABC}$. 综上,正确的是①②.
【问题应用】过点 $C$ 作 $CF⊥ AC$,交 $AE$ 的延长线于点 $F$, 则 $∠ ACF = 90°$. 所以 $∠ ACE + ∠ ECF =90°$. 因为$∠ DCE = ∠ DAE = 90°$, 所以 $∠ ADC +∠ AEC = 360°-∠ DAE - ∠ DCE = 180°$. 又$∠ AEC+∠ FEC=180°$,所以$∠ ADC=∠ FEC$. 又$∠ DCA+∠ ACE=∠ DCE=90°$,所以$∠ DCA=∠ ECF$. 又 $CD = CE$, 所以 $△ ACD ≌ △ FCE$(ASA). 所以 $AC = FC$, $S_{△ ACD} = S_{△ FCE}$. 所以$S_{\mathrm{四边形}ADCE} = S_{△ ACD} + S_{△ ACE} = S_{△ FCE} + S_{△ ACE} =S_{△ ACF}$. 因为 $AC=4$, 所以 $S_{△ ACF}=\frac{1}{2} AC · CF =\frac{1}{2} AC^2=8$,即四边形 $ADCE$ 的面积为 $8$.
【问题延伸】3 解析: 连接 $AC$,将$△ ABC$ 绕点 $A$ 按逆时针方向旋转 $90°$得$△ ADG$, 则 $△ ABC ≌△ ADG$. 所以 $∠ ADG = ∠ B$, $BC = DG$, $S_{△ ABC} =S_{△ ADG}$. 因为$∠ BAD = ∠ BCD = 90°$, 所以 $∠ B +∠ ADC = 360°-∠ BAD - ∠ BCD = 180°$, 即$∠ ADG+∠ ADC=180°$. 所以 $C,D,G$ 三点共线.所以 $S_{\mathrm{四边形}ABCD} = S_{△ ABC} + S_{△ ACD} = S_{△ ACD} + S_{△ ADG} =S_{△ ACG}$. 因为 $AM$ 平分四边形 $ABCD$ 的面积, 所以$S_{△ ADM}=\frac{1}{2} S_{\mathrm{四边形}ABCD}=\frac{1}{2} S_{△ ACG}$. 又 $BC=4$,$CD=10$,所以 $CG=CD+DG=CD+BC=14$, 即 $MD=\frac{1}{2} CG=7$. 所以 $CM=CD-MD=3$.
【问题应用】过点 $C$ 作 $CF⊥ AC$,交 $AE$ 的延长线于点 $F$, 则 $∠ ACF = 90°$. 所以 $∠ ACE + ∠ ECF =90°$. 因为$∠ DCE = ∠ DAE = 90°$, 所以 $∠ ADC +∠ AEC = 360°-∠ DAE - ∠ DCE = 180°$. 又$∠ AEC+∠ FEC=180°$,所以$∠ ADC=∠ FEC$. 又$∠ DCA+∠ ACE=∠ DCE=90°$,所以$∠ DCA=∠ ECF$. 又 $CD = CE$, 所以 $△ ACD ≌ △ FCE$(ASA). 所以 $AC = FC$, $S_{△ ACD} = S_{△ FCE}$. 所以$S_{\mathrm{四边形}ADCE} = S_{△ ACD} + S_{△ ACE} = S_{△ FCE} + S_{△ ACE} =S_{△ ACF}$. 因为 $AC=4$, 所以 $S_{△ ACF}=\frac{1}{2} AC · CF =\frac{1}{2} AC^2=8$,即四边形 $ADCE$ 的面积为 $8$.
【问题延伸】3 解析: 连接 $AC$,将$△ ABC$ 绕点 $A$ 按逆时针方向旋转 $90°$得$△ ADG$, 则 $△ ABC ≌△ ADG$. 所以 $∠ ADG = ∠ B$, $BC = DG$, $S_{△ ABC} =S_{△ ADG}$. 因为$∠ BAD = ∠ BCD = 90°$, 所以 $∠ B +∠ ADC = 360°-∠ BAD - ∠ BCD = 180°$, 即$∠ ADG+∠ ADC=180°$. 所以 $C,D,G$ 三点共线.所以 $S_{\mathrm{四边形}ABCD} = S_{△ ABC} + S_{△ ACD} = S_{△ ACD} + S_{△ ADG} =S_{△ ACG}$. 因为 $AM$ 平分四边形 $ABCD$ 的面积, 所以$S_{△ ADM}=\frac{1}{2} S_{\mathrm{四边形}ABCD}=\frac{1}{2} S_{△ ACG}$. 又 $BC=4$,$CD=10$,所以 $CG=CD+DG=CD+BC=14$, 即 $MD=\frac{1}{2} CG=7$. 所以 $CM=CD-MD=3$.
