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【例1】小芳的爷爷每天坚持体育锻炼，某天他慢步行走到离家较远的公园，打了一会儿太极拳，然后沿原路跑步到家里，下面能够反映当天小芳爷爷离家的距离y(米)与时间x(分钟)之间的关系的大致图象是（）
【分析】本题考查了函数图象的表示方法，正确理解题意是解题的关键。
【解】小芳爷爷离家外出进行体育锻炼，开始慢步行走，说明离家的距离逐步变大；但行至公园时，打了一会儿太极拳，这时离家的距离是不变的，故可排除选项A，D；返回时，沿原路跑步到家里，离家的距离逐渐变小，直至为0，说明返回比开始出来的速度要快，故可排除选项B.所以本题选C.
【评注】以实际问题为背景找相应的函数图象，先要弄清题意所反映的问题可分为几段，以及在这个过程中变化的量及不变的量，再确定大致图象。
【分析】本题考查了函数图象的表示方法，正确理解题意是解题的关键。
【解】小芳爷爷离家外出进行体育锻炼，开始慢步行走，说明离家的距离逐步变大；但行至公园时，打了一会儿太极拳，这时离家的距离是不变的，故可排除选项A，D；返回时，沿原路跑步到家里，离家的距离逐渐变小，直至为0，说明返回比开始出来的速度要快，故可排除选项B.所以本题选C.
【评注】以实际问题为背景找相应的函数图象，先要弄清题意所反映的问题可分为几段，以及在这个过程中变化的量及不变的量，再确定大致图象。
答案
解：
慢步行走到公园的过程中，离家的距离随时间增大逐渐变大；
在公园打太极拳的过程中，离家的距离保持不变，由此排除无停留阶段的选项D，以及最终距离未归零的选项A；
沿原路跑步回家的过程中，离家的距离随时间增大逐渐减小至0，且跑步速度大于慢走的速度，返回段图象比出发段更陡，由此排除返回段比出发段平缓的选项B。
综上，本题选C。
慢步行走到公园的过程中，离家的距离随时间增大逐渐变大；
在公园打太极拳的过程中，离家的距离保持不变，由此排除无停留阶段的选项D，以及最终距离未归零的选项A；
沿原路跑步回家的过程中，离家的距离随时间增大逐渐减小至0，且跑步速度大于慢走的速度，返回段图象比出发段更陡，由此排除返回段比出发段平缓的选项B。
综上，本题选C。
解析
【分析】
遇到这类实际场景对应函数图象的问题，首先要把整个过程按行为拆分阶段：爷爷的行程分为慢走去公园、打太极、跑步回家三个阶段。接下来逐个分析每个阶段离家距离y随时间x的变化规律：①慢走阶段：时间增加，离家越来越远，y随x增大而上升；②打太极阶段：时间增加，位置不变，y保持不变，对应水平线段；③回家阶段：时间增加，离家越来越近直到回到家y为0，且跑步速度比慢走快，所以回家段图象的倾斜程度比慢走段更陡。最后结合以上规律逐一排除错误选项即可。
【解析】
我们分阶段分析变化规律：
1. 慢步行走到公园的过程：时间增加，离家的距离逐渐变大，图象为上升的线段；
2. 在公园打太极拳的过程：时间增加，离家距离保持不变，图象为水平线段，由此可排除没有水平停留段的选项D，以及最终距离没有归零的选项A；
3. 沿原路跑步回家的过程：时间增加，离家距离逐渐减小到0，且跑步速度比慢走速度快，因此返回段的图象比出发段更陡，由此可排除返回段更平缓的选项B。
综上，只有选项C符合所有阶段的变化规律。
【答案】
C
【知识点】
函数图象识别、行程问题变量关系、数形结合
【点评】
本题结合生活实际场景，需要学生将实际行程拆解为不同阶段，分析每个阶段两个变量的变化规律，同时结合速度与图象倾斜程度的对应关系判断正确图象，能很好地考查学生分析问题、结合实际理解函数图象的能力。
【难度系数】
0.8
遇到这类实际场景对应函数图象的问题，首先要把整个过程按行为拆分阶段：爷爷的行程分为慢走去公园、打太极、跑步回家三个阶段。接下来逐个分析每个阶段离家距离y随时间x的变化规律：①慢走阶段：时间增加，离家越来越远，y随x增大而上升；②打太极阶段：时间增加，位置不变，y保持不变，对应水平线段；③回家阶段：时间增加，离家越来越近直到回到家y为0，且跑步速度比慢走快，所以回家段图象的倾斜程度比慢走段更陡。最后结合以上规律逐一排除错误选项即可。
【解析】
我们分阶段分析变化规律：
1. 慢步行走到公园的过程：时间增加，离家的距离逐渐变大，图象为上升的线段；
2. 在公园打太极拳的过程：时间增加，离家距离保持不变，图象为水平线段，由此可排除没有水平停留段的选项D，以及最终距离没有归零的选项A；
3. 沿原路跑步回家的过程：时间增加，离家距离逐渐减小到0，且跑步速度比慢走速度快，因此返回段的图象比出发段更陡，由此可排除返回段更平缓的选项B。
综上，只有选项C符合所有阶段的变化规律。
【答案】
C
【知识点】
函数图象识别、行程问题变量关系、数形结合
【点评】
本题结合生活实际场景，需要学生将实际行程拆解为不同阶段，分析每个阶段两个变量的变化规律，同时结合速度与图象倾斜程度的对应关系判断正确图象，能很好地考查学生分析问题、结合实际理解函数图象的能力。
【难度系数】
0.8
【例2】 设n为正整数，$S=\frac{1}{2}+\frac{1}{4}+\frac{1}{8}+\dots+\frac{1}{2^n}$，那么S与1的大小关系是 （）
A. $S＞1$
B. $S=1$
C. $S＜1$
D. 由n决定，S与1大小关系不定
【分析】 本题用初中数学直接求解较难，但如果与图形结合起来，直观易懂。
【解】 解法一:如图(1),在边长为1的正方形内,依次用线段把它一分为二.n次等分后,图中各矩形的面积依次为$\frac{1}{2},\frac{1}{4},\frac{1}{8},\dots,\frac{1}{2^n}$.
显然,最后两个矩形面积均为$\frac{1}{2^n}$,这时前面n个矩形的面积之和为$S=\frac{1}{2}+\frac{1}{4}+\frac{1}{8}+\dots+\frac{1}{2^n}=1-\frac{1}{2^n}＜1$,故选C.类似地用图(2),(3)也可得出结论.
解法二:利用数轴,我们可以把数轴上的一个长度单位1按照上面的方法进行n次等分,n次等分后,对应的各点表示的数从右到左依次为$\frac{1}{2},\frac{1}{4},\frac{1}{8},\dots,\frac{1}{2^n}$,显然$S=\frac{1}{2}+\frac{1}{4}+\frac{1}{8}+\dots+\frac{1}{2^n}=1-\frac{1}{2^n}＜1$,故选C.
A. $S＞1$
B. $S=1$
C. $S＜1$
D. 由n决定，S与1大小关系不定
【分析】 本题用初中数学直接求解较难，但如果与图形结合起来，直观易懂。
【解】 解法一:如图(1),在边长为1的正方形内,依次用线段把它一分为二.n次等分后,图中各矩形的面积依次为$\frac{1}{2},\frac{1}{4},\frac{1}{8},\dots,\frac{1}{2^n}$.
显然,最后两个矩形面积均为$\frac{1}{2^n}$,这时前面n个矩形的面积之和为$S=\frac{1}{2}+\frac{1}{4}+\frac{1}{8}+\dots+\frac{1}{2^n}=1-\frac{1}{2^n}＜1$,故选C.类似地用图(2),(3)也可得出结论.
解法二:利用数轴,我们可以把数轴上的一个长度单位1按照上面的方法进行n次等分,n次等分后,对应的各点表示的数从右到左依次为$\frac{1}{2},\frac{1}{4},\frac{1}{8},\dots,\frac{1}{2^n}$,显然$S=\frac{1}{2}+\frac{1}{4}+\frac{1}{8}+\dots+\frac{1}{2^n}=1-\frac{1}{2^n}＜1$,故选C.
答案
解：
我们借助边长为1的正方形进行数形结合分析：
边长为1的正方形总面积为1，将它依次对半分割：
第1次分割，得到面积为$\frac{1}{2}$的矩形；
第2次，将剩余的面积为$\frac{1}{2}$的部分再次对半分割，得到面积为$\frac{1}{4}$的矩形；
重复该操作，第n次分割后，得到面积为$\frac{1}{2^n}$的图形。
此时所有分割出的n个图形的面积和就是$S=\frac{1}{2}+\frac{1}{4}+\frac{1}{8}+\dots+\frac{1}{2^n}$，分割n次后正方形内还剩余面积为$\frac{1}{2^n}$的部分未被计入S，因此可得：
$S = 1 - \frac{1}{2^n}$
因为n是正整数，所以$\frac{1}{2^n}＞0$，因此$S=1-\frac{1}{2^n}＜1$。
答案选C。
我们借助边长为1的正方形进行数形结合分析：
边长为1的正方形总面积为1，将它依次对半分割：
第1次分割，得到面积为$\frac{1}{2}$的矩形；
第2次，将剩余的面积为$\frac{1}{2}$的部分再次对半分割，得到面积为$\frac{1}{4}$的矩形；
重复该操作，第n次分割后，得到面积为$\frac{1}{2^n}$的图形。
此时所有分割出的n个图形的面积和就是$S=\frac{1}{2}+\frac{1}{4}+\frac{1}{8}+\dots+\frac{1}{2^n}$，分割n次后正方形内还剩余面积为$\frac{1}{2^n}$的部分未被计入S，因此可得：
$S = 1 - \frac{1}{2^n}$
因为n是正整数，所以$\frac{1}{2^n}＞0$，因此$S=1-\frac{1}{2^n}＜1$。
答案选C。
解析
【分析】
本题是分数累加求和问题，直接计算步骤繁琐，可借助题目给出的正方形分割图，利用数形结合思路求解：把边长为1的正方形总面积看作整体1，每次分割得到的图形面积对应求和式里的每一项，通过观察分割后剩余的面积，就能快速得出S的表达式，进而比较S和1的大小。
【解析】
我们借助边长为1的正方形进行分析：
边长为1的正方形总面积为1，将它依次对半分割：
第1次分割，得到面积为$\frac{1}{2}$的矩形；
第2次分割，将剩余的面积为$\frac{1}{2}$的部分再次对半分割，得到面积为$\frac{1}{4}$的矩形；
重复该操作，第n次分割后，得到面积为$\frac{1}{2^n}$的图形。
此时所有分割出的n个图形的面积和就是$S=\frac{1}{2}+\frac{1}{4}+\frac{1}{8}+\dots+\frac{1}{2^n}$，分割n次后正方形内还剩余面积为$\frac{1}{2^n}$的部分未被计入S，因此可得：
$S = 1 - \frac{1}{2^n}$
因为n是正整数，所以$\frac{1}{2^n}＞0$，因此$S=1-\frac{1}{2^n}＜1$。
【答案】C
【知识点】
数形结合思想，分数求和，有理数大小比较
【点评】
本题将抽象的代数求和问题转化为直观的几何面积计算，巧妙运用数形结合思想简化了解题过程，能很好地锻炼学生的思维转化能力，降低了复杂计算带来的解题难度。
【难度系数】
0.7
本题是分数累加求和问题，直接计算步骤繁琐，可借助题目给出的正方形分割图，利用数形结合思路求解：把边长为1的正方形总面积看作整体1，每次分割得到的图形面积对应求和式里的每一项，通过观察分割后剩余的面积，就能快速得出S的表达式，进而比较S和1的大小。
【解析】
我们借助边长为1的正方形进行分析：
边长为1的正方形总面积为1，将它依次对半分割：
第1次分割，得到面积为$\frac{1}{2}$的矩形；
第2次分割，将剩余的面积为$\frac{1}{2}$的部分再次对半分割，得到面积为$\frac{1}{4}$的矩形；
重复该操作，第n次分割后，得到面积为$\frac{1}{2^n}$的图形。
此时所有分割出的n个图形的面积和就是$S=\frac{1}{2}+\frac{1}{4}+\frac{1}{8}+\dots+\frac{1}{2^n}$，分割n次后正方形内还剩余面积为$\frac{1}{2^n}$的部分未被计入S，因此可得：
$S = 1 - \frac{1}{2^n}$
因为n是正整数，所以$\frac{1}{2^n}＞0$，因此$S=1-\frac{1}{2^n}＜1$。
【答案】C
【知识点】
数形结合思想，分数求和，有理数大小比较
【点评】
本题将抽象的代数求和问题转化为直观的几何面积计算，巧妙运用数形结合思想简化了解题过程，能很好地锻炼学生的思维转化能力，降低了复杂计算带来的解题难度。
【难度系数】
0.7
【例3】A，B两点在一次函数图象上的位置如图所示，两点的坐标分别为$A(x+a,y+b)$，$B(x,y)$，下列结论正确的是（）
A.$a＞0$
B.$a＜0$
C.$b=0$
D.$ab＜0$
【分析】 本题考查了一次函数图象的性质，函数图象问题一直是中考考查的重要内容。
A.$a＞0$
B.$a＜0$
C.$b=0$
D.$ab＜0$
【分析】 本题考查了一次函数图象的性质，函数图象问题一直是中考考查的重要内容。
答案
B
解析
【分析】
解题时首先观察一次函数图象的走势，确定函数的增减性：该函数图象从左到右上升，说明y随x的增大而增大。再看A、B两点的位置，B在A的右上方，因此B点的横坐标、纵坐标都分别大于A点的横、纵坐标，据此列出关于a、b的不等式，求解不等式得到a、b的符号，再逐一判断选项即可。
【解析】
解：由一次函数图象可知，函数值y随x的增大而增大。
∵点B在点A的右上方，
∴B点的横坐标大于A点的横坐标，B点的纵坐标大于A点的纵坐标，
即：$\begin{cases}x ＞ x+a \\ y ＞ y+b\end{cases}$
解第一个不等式：两边同时减去x，得$0 ＞ a$，即$a ＜ 0$；
解第二个不等式：两边同时减去y，得$0 ＞ b$，即$b ＜ 0$。
逐一判断选项：
A. $a＞0$，不符合推导结果，错误；
B. $a＜0$，符合推导结果，正确；
C. $b=0$，不符合推导结果，错误；
D. $ab＜0$，
∵$a＜0$，$b＜0$，
∴$ab＞0$，错误。
【答案】
B
【知识点】
一次函数的增减性；不等式的基本性质
【点评】
本题考查数形结合思想的应用，解题关键是通过函数图象判断增减性以及两点坐标的大小关系，进而推导未知参数的符号，是一次函数性质的基础考查题型。
【难度系数】
0.7
解题时首先观察一次函数图象的走势，确定函数的增减性：该函数图象从左到右上升，说明y随x的增大而增大。再看A、B两点的位置，B在A的右上方，因此B点的横坐标、纵坐标都分别大于A点的横、纵坐标，据此列出关于a、b的不等式，求解不等式得到a、b的符号，再逐一判断选项即可。
【解析】
解：由一次函数图象可知，函数值y随x的增大而增大。
∵点B在点A的右上方，
∴B点的横坐标大于A点的横坐标，B点的纵坐标大于A点的纵坐标，
即：$\begin{cases}x ＞ x+a \\ y ＞ y+b\end{cases}$
解第一个不等式：两边同时减去x，得$0 ＞ a$，即$a ＜ 0$；
解第二个不等式：两边同时减去y，得$0 ＞ b$，即$b ＜ 0$。
逐一判断选项：
A. $a＞0$，不符合推导结果，错误；
B. $a＜0$，符合推导结果，正确；
C. $b=0$，不符合推导结果，错误；
D. $ab＜0$，
∵$a＜0$，$b＜0$，
∴$ab＞0$，错误。
【答案】
B
【知识点】
一次函数的增减性；不等式的基本性质
【点评】
本题考查数形结合思想的应用，解题关键是通过函数图象判断增减性以及两点坐标的大小关系，进而推导未知参数的符号，是一次函数性质的基础考查题型。
【难度系数】
0.7
