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【例2】 已知:如图,在矩形ABCD中,对角线AC,BD相交于点O,E是CD中点,连接OE,过点C作CF//BD交线段OE的延长线于点F,连接DF.
求证:(1)$△ ODE≌△ FCE$;
(2)四边形ODFC是菱形.
【解题思路】 (1)根据两直线平行,内错角相等可得$∠ EDO=∠ ECF,∠ EOD=∠ EFC$,根据线段中点的定义可得$CE=DE$,然后利用“角角边”证明$△ ODE$和$△ FCE$全等;(2)根据全等三角形对应边相等可得$OD=FC$,再根据一组对边平行且相等的四边形是平行四边形判断出四边形ODFC是平行四边形,根据矩形的对角线互相平分且相等可得$OC=OD$,然后根据邻边相等的平行四边形是菱形证明即可.
【解答过程】 证明:(1)$\because CF// BD$,
$\therefore ∠ EDO=∠ ECF,∠ EOD=∠ EFC$.
又$\because E$是$CD$中点,
$\therefore CE=DE$,
$\therefore △ EDO≌△ ECF$;
(2)$\because △ EDO≌△ ECF$,
$\therefore OD=FC$.
又$\because OD// FC$,
$\therefore$四边形$ODFC$是平行四边形.
又$\because$四边形$ABCD$是矩形,
$\therefore OC=OD$,
$\therefore$四边形$ODFC$是菱形.
【易错点睛】 此类问题容易出错的地方是矩形的性质和有关知识运用不熟练,导致思路受阻,从而找不到解题的途径和方法.
【方法规律】 (1)证明两个三角形全等一般有四种方法:SAS,ASA,AAS,SSS,要结合图形,寻找条件,灵活选择判定方法;(2)判定菱形的方法有:一组邻边相等的平行四边形是菱形,对角线互相垂直的平行四边形是菱形,四条边相等的四边形是菱形.
求证:(1)$△ ODE≌△ FCE$;
(2)四边形ODFC是菱形.
【解题思路】 (1)根据两直线平行,内错角相等可得$∠ EDO=∠ ECF,∠ EOD=∠ EFC$,根据线段中点的定义可得$CE=DE$,然后利用“角角边”证明$△ ODE$和$△ FCE$全等;(2)根据全等三角形对应边相等可得$OD=FC$,再根据一组对边平行且相等的四边形是平行四边形判断出四边形ODFC是平行四边形,根据矩形的对角线互相平分且相等可得$OC=OD$,然后根据邻边相等的平行四边形是菱形证明即可.
【解答过程】 证明:(1)$\because CF// BD$,
$\therefore ∠ EDO=∠ ECF,∠ EOD=∠ EFC$.
又$\because E$是$CD$中点,
$\therefore CE=DE$,
$\therefore △ EDO≌△ ECF$;
(2)$\because △ EDO≌△ ECF$,
$\therefore OD=FC$.
又$\because OD// FC$,
$\therefore$四边形$ODFC$是平行四边形.
又$\because$四边形$ABCD$是矩形,
$\therefore OC=OD$,
$\therefore$四边形$ODFC$是菱形.
【易错点睛】 此类问题容易出错的地方是矩形的性质和有关知识运用不熟练,导致思路受阻,从而找不到解题的途径和方法.
【方法规律】 (1)证明两个三角形全等一般有四种方法:SAS,ASA,AAS,SSS,要结合图形,寻找条件,灵活选择判定方法;(2)判定菱形的方法有:一组邻边相等的平行四边形是菱形,对角线互相垂直的平行四边形是菱形,四条边相等的四边形是菱形.
答案
证明：(1)
∵ $CF// BD$，
∴ $∠ EDO = ∠ ECF$，$∠ EOD = ∠ EFC$。
又∵ $E$是$CD$中点，
∴ $CE = DE$。
在$△ ODE$和$△ FCE$中，
$\begin{cases}∠ EDO = ∠ ECF \\∠ EOD = ∠ EFC \\DE = CE\end{cases}$
∴ $△ ODE ≌ △ FCE(\mathrm{AAS})$。
(2)
∵ $△ ODE ≌ △ FCE$，
∴ $OD = FC$。
又∵ $CF// BD$，即$OD// FC$，
∴ 四边形$ODFC$是平行四边形。
∵ 四边形$ABCD$是矩形，矩形的对角线相等且互相平分，
∴ $OC = OD$，
∴ 平行四边形$ODFC$是菱形。
∵ $CF// BD$，
∴ $∠ EDO = ∠ ECF$，$∠ EOD = ∠ EFC$。
又∵ $E$是$CD$中点，
∴ $CE = DE$。
在$△ ODE$和$△ FCE$中，
$\begin{cases}∠ EDO = ∠ ECF \\∠ EOD = ∠ EFC \\DE = CE\end{cases}$
∴ $△ ODE ≌ △ FCE(\mathrm{AAS})$。
(2)
∵ $△ ODE ≌ △ FCE$，
∴ $OD = FC$。
又∵ $CF// BD$，即$OD// FC$，
∴ 四边形$ODFC$是平行四边形。
∵ 四边形$ABCD$是矩形，矩形的对角线相等且互相平分，
∴ $OC = OD$，
∴ 平行四边形$ODFC$是菱形。
解析
【分析】
（1）求证两个三角形全等，首先从已知条件入手：由CF//BD可得两组内错角∠EDO=∠ECF、∠EOD=∠EFC；再结合E是CD中点的条件，得到DE=CE，满足AAS全等判定的三个条件，即可证明△ODE≌△FCE。
（2）求证四边形是菱形，先通过第一步的全等结论得到对应边OD=FC，结合OD//FC的平行关系，可判定四边形ODFC是平行四边形；再利用矩形对角线相等且互相平分的性质得到OC=OD，根据“邻边相等的平行四边形是菱形”即可得证。
【解析】
证明：(1)
∵ $CF// BD$，
∴ $∠ EDO = ∠ ECF$，$∠ EOD = ∠ EFC$。
又
∵ $E$是$CD$中点，
∴ $CE = DE$。
在$△ ODE$和$△ FCE$中，
$\begin{cases}∠ EDO = ∠ ECF \\∠ EOD = ∠ EFC \\DE = CE\end{cases}$
∴ $△ ODE ≌ △ FCE(\mathrm{AAS})$。
(2)
∵ $△ ODE ≌ △ FCE$，
∴ $OD = FC$。
又
∵ $CF// BD$，即$OD// FC$，
∴ 四边形$ODFC$是平行四边形。
∵ 四边形$ABCD$是矩形，矩形的对角线相等且互相平分，
∴ $OC = OD$，
∴ 平行四边形$ODFC$是菱形。
【答案】
证明：(1)
∵ $CF// BD$，
∴ $∠ EDO = ∠ ECF$，$∠ EOD = ∠ EFC$。
又
∵ $E$是$CD$中点，
∴ $CE = DE$。
在$△ ODE$和$△ FCE$中，
$\begin{cases}∠ EDO = ∠ ECF \\∠ EOD = ∠ EFC \\DE = CE\end{cases}$
∴ $△ ODE ≌ △ FCE(\mathrm{AAS})$。
(2)
∵ $△ ODE ≌ △ FCE$，
∴ $OD = FC$。
又
∵ $CF// BD$，即$OD// FC$，
∴ 四边形$ODFC$是平行四边形。
∵ 四边形$ABCD$是矩形，矩形的对角线相等且互相平分，
∴ $OC = OD$，
∴ 平行四边形$ODFC$是菱形。
【知识点】
全等三角形的判定、矩形的性质、菱形的判定
【点评】
本题是几何常规证明题，核心考查特殊四边形的相关性质与判定、三角形全等的判定方法，解题时需结合图形逐步推导，理顺条件和结论间的逻辑关系即可顺利求解。
【难度系数】
0.7
（1）求证两个三角形全等，首先从已知条件入手：由CF//BD可得两组内错角∠EDO=∠ECF、∠EOD=∠EFC；再结合E是CD中点的条件，得到DE=CE，满足AAS全等判定的三个条件，即可证明△ODE≌△FCE。
（2）求证四边形是菱形，先通过第一步的全等结论得到对应边OD=FC，结合OD//FC的平行关系，可判定四边形ODFC是平行四边形；再利用矩形对角线相等且互相平分的性质得到OC=OD，根据“邻边相等的平行四边形是菱形”即可得证。
【解析】
证明：(1)
∵ $CF// BD$，
∴ $∠ EDO = ∠ ECF$，$∠ EOD = ∠ EFC$。
又
∵ $E$是$CD$中点，
∴ $CE = DE$。
在$△ ODE$和$△ FCE$中，
$\begin{cases}∠ EDO = ∠ ECF \\∠ EOD = ∠ EFC \\DE = CE\end{cases}$
∴ $△ ODE ≌ △ FCE(\mathrm{AAS})$。
(2)
∵ $△ ODE ≌ △ FCE$，
∴ $OD = FC$。
又
∵ $CF// BD$，即$OD// FC$，
∴ 四边形$ODFC$是平行四边形。
∵ 四边形$ABCD$是矩形，矩形的对角线相等且互相平分，
∴ $OC = OD$，
∴ 平行四边形$ODFC$是菱形。
【答案】
证明：(1)
∵ $CF// BD$，
∴ $∠ EDO = ∠ ECF$，$∠ EOD = ∠ EFC$。
又
∵ $E$是$CD$中点，
∴ $CE = DE$。
在$△ ODE$和$△ FCE$中，
$\begin{cases}∠ EDO = ∠ ECF \\∠ EOD = ∠ EFC \\DE = CE\end{cases}$
∴ $△ ODE ≌ △ FCE(\mathrm{AAS})$。
(2)
∵ $△ ODE ≌ △ FCE$，
∴ $OD = FC$。
又
∵ $CF// BD$，即$OD// FC$，
∴ 四边形$ODFC$是平行四边形。
∵ 四边形$ABCD$是矩形，矩形的对角线相等且互相平分，
∴ $OC = OD$，
∴ 平行四边形$ODFC$是菱形。
【知识点】
全等三角形的判定、矩形的性质、菱形的判定
【点评】
本题是几何常规证明题，核心考查特殊四边形的相关性质与判定、三角形全等的判定方法，解题时需结合图形逐步推导，理顺条件和结论间的逻辑关系即可顺利求解。
【难度系数】
0.7
一、填空题
1. 如图，矩形ABCD的对角线交于点O，AE⊥BD，垂足为E，∠1=∠2，OE=3 cm，则∠BOC=
1. 如图，矩形ABCD的对角线交于点O，AE⊥BD，垂足为E，∠1=∠2，OE=3 cm，则∠BOC=
120
度，△DOC的周长为18
cm.答案
1. 120，18
解析
【分析】
解题时首先回忆矩形的性质：矩形对角线相等且互相平分，因此可得OA=OB=OC=OD。结合已知AE⊥BD、∠1=∠2，可通过ASA证明△AEB和△AEO全等，得到AB=AO，进一步推出△AOB是等边三角形，即可求出∠BOC的度数；再根据等边三角形三线合一的性质，结合OE的长度求出等边三角形的边长，进而得到△DOC各边的长度，计算其周长即可。
【解析】
解：
∵四边形ABCD是矩形，
∴OA=OB=OC=OD，AB=CD。
∵AE⊥BD，
∴∠AEB=∠AEO=90°，
在△AEB和△AEO中：
$\{\begin{array}{l}∠ 1=∠ 2\\ AE=AE\\ ∠ AEB=∠ AEO\end{array} $
∴△AEB≌△AEO（ASA），
∴AB=AO，BE=OE，
∴OA=OB=AB，即△AOB是等边三角形，
∴∠AOB=60°，
∴∠BOC=180°-∠AOB=120°。
∵OE=3cm，等边△AOB中AE是高，由三线合一得E为OB中点，
∴OB=2OE=6cm，
∴OC=OD=CD=AB=OB=6cm，
∴△DOC的周长=OC+OD+CD=6+6+6=18cm。
【答案】
120，18
【知识点】
矩形的性质；全等三角形的判定与性质；等边三角形的判定与性质
【点评】
本题是特殊平行四边形的典型题型，解题的突破口是结合已知条件推导出△AOB为等边三角形，再结合等边三角形的性质求解，需要学生熟练掌握矩形、全等三角形、等边三角形的相关性质并灵活运用。
【难度系数】
0.6
解题时首先回忆矩形的性质：矩形对角线相等且互相平分，因此可得OA=OB=OC=OD。结合已知AE⊥BD、∠1=∠2，可通过ASA证明△AEB和△AEO全等，得到AB=AO，进一步推出△AOB是等边三角形，即可求出∠BOC的度数；再根据等边三角形三线合一的性质，结合OE的长度求出等边三角形的边长，进而得到△DOC各边的长度，计算其周长即可。
【解析】
解：
∵四边形ABCD是矩形，
∴OA=OB=OC=OD，AB=CD。
∵AE⊥BD，
∴∠AEB=∠AEO=90°，
在△AEB和△AEO中：
$\{\begin{array}{l}∠ 1=∠ 2\\ AE=AE\\ ∠ AEB=∠ AEO\end{array} $
∴△AEB≌△AEO（ASA），
∴AB=AO，BE=OE，
∴OA=OB=AB，即△AOB是等边三角形，
∴∠AOB=60°，
∴∠BOC=180°-∠AOB=120°。
∵OE=3cm，等边△AOB中AE是高，由三线合一得E为OB中点，
∴OB=2OE=6cm，
∴OC=OD=CD=AB=OB=6cm，
∴△DOC的周长=OC+OD+CD=6+6+6=18cm。
【答案】
120，18
【知识点】
矩形的性质；全等三角形的判定与性质；等边三角形的判定与性质
【点评】
本题是特殊平行四边形的典型题型，解题的突破口是结合已知条件推导出△AOB为等边三角形，再结合等边三角形的性质求解，需要学生熟练掌握矩形、全等三角形、等边三角形的相关性质并灵活运用。
【难度系数】
0.6
2. 在矩形ABCD中,对角线AC,BD相交于点O,若∠AOB=60°,AC=10,则AB=
5
.答案
2. 5
解析
【分析】
解题时先从矩形的性质入手，矩形的对角线相等且互相平分，因此可推出对角线交点O到顶点A、B的距离相等，即OA=OB，二者长度均为对角线AC的一半；再结合已知条件∠AOB=60°，根据“有一个角是60°的等腰三角形是等边三角形”，可判定△AOB是等边三角形，进而得到AB的长度等于OA的长度，代入数值计算即可。
【解析】
解：
∵四边形ABCD是矩形
∴矩形的对角线相等且互相平分，即$OA = OC = \frac{1}{2}AC$，$OB = OD = \frac{1}{2}BD$，且$AC=BD$
∴$OA = OB$
∵$AC=10$
∴$OA = OB = \frac{1}{2}×10 = 5$
又
∵$∠AOB = 60°$
∴△AOB是等边三角形（有一个角为60°的等腰三角形是等边三角形）
∴$AB = OA = 5$
【答案】
5
【知识点】
矩形的性质；等边三角形的判定
【点评】
本题是特殊平行四边形的基础常考题，解题的核心是熟练掌握矩形对角线的性质，结合等边三角形的判定定理快速推导出边的数量关系，计算难度低。
【难度系数】
0.8
解题时先从矩形的性质入手，矩形的对角线相等且互相平分，因此可推出对角线交点O到顶点A、B的距离相等，即OA=OB，二者长度均为对角线AC的一半；再结合已知条件∠AOB=60°，根据“有一个角是60°的等腰三角形是等边三角形”，可判定△AOB是等边三角形，进而得到AB的长度等于OA的长度，代入数值计算即可。
【解析】
解：
∵四边形ABCD是矩形
∴矩形的对角线相等且互相平分，即$OA = OC = \frac{1}{2}AC$，$OB = OD = \frac{1}{2}BD$，且$AC=BD$
∴$OA = OB$
∵$AC=10$
∴$OA = OB = \frac{1}{2}×10 = 5$
又
∵$∠AOB = 60°$
∴△AOB是等边三角形（有一个角为60°的等腰三角形是等边三角形）
∴$AB = OA = 5$
【答案】
5
【知识点】
矩形的性质；等边三角形的判定
【点评】
本题是特殊平行四边形的基础常考题，解题的核心是熟练掌握矩形对角线的性质，结合等边三角形的判定定理快速推导出边的数量关系，计算难度低。
【难度系数】
0.8
3. 如图，正方形纸片ABCD的BC边上有一点E，AE=10 cm. 若把纸片沿AE的中垂线折叠，使点E与点A重合，则纸片的折痕长为
10
cm. 答案
3. 10
解析
【分析】
首先根据折叠的性质可知，折痕是AE的垂直平分线。要求折痕的长度，我们可以通过平移折痕，将折痕转化为正方形内的线段，再结合正方形边、角的性质，构造全等三角形，证明折痕与AE的长度相等即可得到结果。
【解析】
设折痕为MN，M在AB边上，N在CD边上。过点B作$BF// MN$，交CD于点F，交AE于点G。
1. 由折叠性质得MN是AE的垂直平分线，因此$MN⊥ AE$，
又$\because BF// MN$，$\therefore BF⊥ AE$，即$∠ AGB=90°$，
$\therefore ∠ BAE + ∠ ABG = 90°$。
2. $\because$四边形ABCD是正方形，
$\therefore AB=BC$，$∠ ABE=∠ C=90°$，
$\therefore ∠ CBF + ∠ ABG = 90°$，
对比上式可得$∠ BAE=∠ CBF$。
3. 在$△ ABE$和$△ BCF$中：
$\begin{cases}∠ BAE=∠ CBF \\ AB=BC \\ ∠ ABE=∠ C \end{cases}$
$\therefore △ ABE≌△ BCF(\mathrm{ASA})$，
$\therefore AE=BF$。
4. $\because AB// CD$，$BF// MN$，
$\therefore$四边形MBFN是平行四边形，
$\therefore MN=BF$，
因此$MN=AE=10\ \mathrm{cm}$。
【答案】
10
【知识点】
正方形的性质；全等三角形的判定与性质；折叠的性质
【点评】
本题的解题关键是通过平移折痕，将未知的折痕长度转化为可和已知线段AE对比的线段，结合正方形性质构造全等三角形求解，渗透了转化的数学思想，是特殊平行四边形章节的典型题型。
【难度系数】
0.6
首先根据折叠的性质可知，折痕是AE的垂直平分线。要求折痕的长度，我们可以通过平移折痕，将折痕转化为正方形内的线段，再结合正方形边、角的性质，构造全等三角形，证明折痕与AE的长度相等即可得到结果。
【解析】
设折痕为MN，M在AB边上，N在CD边上。过点B作$BF// MN$，交CD于点F，交AE于点G。
1. 由折叠性质得MN是AE的垂直平分线，因此$MN⊥ AE$，
又$\because BF// MN$，$\therefore BF⊥ AE$，即$∠ AGB=90°$，
$\therefore ∠ BAE + ∠ ABG = 90°$。
2. $\because$四边形ABCD是正方形，
$\therefore AB=BC$，$∠ ABE=∠ C=90°$，
$\therefore ∠ CBF + ∠ ABG = 90°$，
对比上式可得$∠ BAE=∠ CBF$。
3. 在$△ ABE$和$△ BCF$中：
$\begin{cases}∠ BAE=∠ CBF \\ AB=BC \\ ∠ ABE=∠ C \end{cases}$
$\therefore △ ABE≌△ BCF(\mathrm{ASA})$，
$\therefore AE=BF$。
4. $\because AB// CD$，$BF// MN$，
$\therefore$四边形MBFN是平行四边形，
$\therefore MN=BF$，
因此$MN=AE=10\ \mathrm{cm}$。
【答案】
10
【知识点】
正方形的性质；全等三角形的判定与性质；折叠的性质
【点评】
本题的解题关键是通过平移折痕，将未知的折痕长度转化为可和已知线段AE对比的线段，结合正方形性质构造全等三角形求解，渗透了转化的数学思想，是特殊平行四边形章节的典型题型。
【难度系数】
0.6
