20. (8 分)如图,抛物线 $ y = ax^{2} - 5x + 4a $ 与 $ x $ 轴相交于点 $ A $,$ B $,且过点 $ C(5, 4) $。
(1)求 $ a $ 的值及抛物线顶点 $ P $ 的坐标；
(2)请你设计一种平移的方法,使平移后抛物线的顶点落在第二象限内,并写出平移后抛物线的关系式。

（1）$ a=1 $,顶点$ P\left( \frac{5}{2},-\frac{9}{4} \right) $;
(2)答案不唯一,合理正确即可.如向左平移3个单位长度,再向上平移4个单位长度得到,等等.

21. (8 分)如图,矩形 $ ABCD $ 的两边长 $ AB = 18 \, cm $,$ AD = 4 \, cm $,点 $ P $,$ Q $ 分别从 $ A $,$ B $ 同时出发,$ P $ 在边 $ AB $ 上沿 $ AB $ 方向以 $ 2 \, cm/s $ 的速度匀速运动,$ Q $ 在边 $ BC $ 上沿 $ BC $ 方向以 $ 1 \, cm/s $ 的速度匀速运动。设运动时间为 $ x(s) $,$ \triangle PBQ $ 的面积为 $ y(cm^{2}) $。
(1)求 $ y $ 关于 $ x $ 的函数解析式,并写出 $ x $ 的取值范围；
(2)求 $ \triangle PBQ $ 的面积的最大值。

（1）$ y=-x^{2}+9x(0＜x\leqslant4) $;（2）$ \triangle PBQ $的最大面积是$ 20\ cm^{2} $

（1）解：由题意得，$AP=2x\ cm$，$BQ=x\ cm$，则$PB=AB-AP=18-2x\ cm$。
$\triangle PBQ$的面积$y=\frac{1}{2}× PB× BQ=\frac{1}{2}(18-2x)x=-x^{2}+9x$。
$\because Q$在$BC$上运动，$BC=AD=4\ cm$，$\therefore x\leqslant4$，又$x＞0$，
$\therefore x$的取值范围为$0＜x\leqslant4$，
故$y=-x^{2}+9x(0＜x\leqslant4)$。
（2）解：$y=-x^{2}+9x$的对称轴为$x=-\frac{9}{2×(-1)}=\frac{9}{2}=4.5$，
$\because$二次项系数$-1＜0$，抛物线开口向下，在对称轴左侧$y$随$x$的增大而增大，
又$0＜x\leqslant4＜4.5$，$\therefore$当$x=4$时，$y$取最大值，
$y_{max}=-(4)^{2}+9×4=-16+36=20\ cm^2$，
故$\triangle PBQ$的最大面积是$20\ cm^2$。

22. (8 分)已知二次函数 $ y = ax^{2} + bx + c $ 的图象过 $ A(2, 0) $,$ B(0, -1) $ 和 $ C(4, 5) $ 三点。
(1)求二次函数的解析式；
(2)设二次函数的图象与 $ x $ 轴的另一个交点为 $ D $,求点 $ D $ 的坐标；
(3)在同一坐标系中画出直线 $ y = x + 1 $,并写出当 $ x $ 在什么范围内时,一次函数的值大于二次函数的值。

（1）二次函数的解析式为$ y=\frac{1}{2}x^{2}-\frac{1}{2}x-1 $;（2）点D的坐标为$ (-1,0) $;（3）x的取值范围为$ -1＜x＜4 $

(1)解：将$A(2,0)$，$B(0,-1)$，$C(4,5)$代入$y = ax^{2}+bx + c$，得
$\begin{cases}4a + 2b + c=0\\c=-1\\16a + 4b + c=5\end{cases}$
解得$\begin{cases}a=\frac{1}{2}\\b=-\frac{1}{2}\\c=-1\end{cases}$
$\therefore$二次函数的解析式为$y=\frac{1}{2}x^{2}-\frac{1}{2}x - 1$
(2)解：令$y = 0$，则$\frac{1}{2}x^{2}-\frac{1}{2}x - 1=0$
即$x^{2}-x - 2=0$
解得$x_{1}=2$，$x_{2}=-1$
$\because A(2,0)$
$\therefore D(-1,0)$
(3)解：$-1＜x＜4$

23. (8 分)如图,抛物线 $ y = x^{2} + bx + c $ 经过坐标原点,并与 $ x $ 轴交于点 $ A(2, 0) $。
(1)求抛物线的解析式；
(2)若抛物线上有一点 $ B $,且 $ S_{\triangle OAB} = 3 $,求点 $ B $ 的坐标。

（1）$ y=x^{2}-2x $;（2）点B的坐标为$ (3,3) $或$ (-1,3) $

解：（1）因为抛物线$y = x^{2} + bx + c$经过原点$(0,0)$和点$A(2,0)$，将$(0,0)$代入得$0 = 0 + 0 + c$，所以$c = 0$。将$A(2,0)$和$c = 0$代入得$0 = 2^{2} + 2b + 0$，即$4 + 2b = 0$，解得$b=-2$，所以抛物线解析式为$y = x^{2}-2x$。
（2）设点$B$的坐标为$(m,n)$，因为$A(2,0)$，所以$OA=2$。$S_{\triangle OAB}=\frac{1}{2}× OA×|n| = 3$，即$\frac{1}{2}×2×|n|=3$，解得$|n| = 3$，所以$n = 3$或$n=-3$。
当$n = 3$时，代入$y = x^{2}-2x$得$3 = m^{2}-2m$，即$m^{2}-2m - 3=0$，解得$m = 3$或$m=-1$。
当$n=-3$时，代入$y = x^{2}-2x$得$-3 = m^{2}-2m$，即$m^{2}-2m + 3=0$，$\Delta=(-2)^{2}-4×1×3=4 - 12=-8＜0$，方程无解。
所以点$B$的坐标为$(3,3)$或$(-1,3)$。