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10. 已知一系列抛物线 $ y_{0} = -(x - 1)^{2} $,$ y_{1} = -(x - 3)^{2} + 2 $,$ y_{2} = -(x - 5)^{2} + 4 $,$ y_{3} = -(x - 7)^{2} + 6 $,$ y_{4} = -(x - 9)^{2} + 8 $,…$$,$ y_{k} $($ k $ 为非负整数)。抛物线 $ y_{k} $ 与 $ x $ 轴相交于点 $ A_{k} $,$ B_{k} $(点 $ A_{k} $ 在点 $ B_{k} $ 的左边),顶点为 $ P_{k} $。若 $ P_{k}B_{k - 1} \perp x $ 轴于点 $ B_{k - 1} $,则 $ k $ 的值是( )
A.3
B.5
C.2024
D.2025
A.3
B.5
C.2024
D.2025
答案
A
解析
解：观察抛物线表达式，得$y_{k}=-(x-(2k+1))^{2}+2k$，顶点$P_{k}(2k+1,2k)$。
令$y_{k-1}=0$，即$-(x-(2(k-1)+1))^{2}+2(k-1)=0$，解得$x=2k-1\pm\sqrt{2(k-1)}$。
点$B_{k-1}$在右边，故$B_{k-1}(2k-1+\sqrt{2(k-1)},0)$。
因$P_{k}B_{k-1}\perp x$轴，所以$P_{k}$与$B_{k-1}$横坐标相等，即$2k+1=2k-1+\sqrt{2(k-1)}$。
化简得$\sqrt{2(k-1)}=2$，两边平方：$2(k-1)=4$，解得$k=3$。
答案：A
令$y_{k-1}=0$，即$-(x-(2(k-1)+1))^{2}+2(k-1)=0$，解得$x=2k-1\pm\sqrt{2(k-1)}$。
点$B_{k-1}$在右边，故$B_{k-1}(2k-1+\sqrt{2(k-1)},0)$。
因$P_{k}B_{k-1}\perp x$轴，所以$P_{k}$与$B_{k-1}$横坐标相等，即$2k+1=2k-1+\sqrt{2(k-1)}$。
化简得$\sqrt{2(k-1)}=2$，两边平方：$2(k-1)=4$，解得$k=3$。
答案：A
11. 已知正方形的周长为 $ x \, cm(x ＞ 0) $,面积为 $ S \, cm^{2} $,则 $ S $ 与 $ x $ 之间的函数关系式是 。
答案
$ S=\frac{1}{16}x^{2} $
解析
因为正方形的周长为 $ x \, cm $，所以正方形的边长为 $ \frac{x}{4} \, cm $。
面积 $ S = \left( \frac{x}{4} \right)^2 = \frac{x^2}{16} $，即 $ S = \frac{1}{16}x^2 $。
$ S = \frac{1}{16}x^2 $
面积 $ S = \left( \frac{x}{4} \right)^2 = \frac{x^2}{16} $，即 $ S = \frac{1}{16}x^2 $。
$ S = \frac{1}{16}x^2 $
12. 二次函数 $ y = \frac{1}{2}x^{2} - 6x + 21 $ 的最小值是 。
答案
3
解析
解：对于二次函数$y = \frac{1}{2}x^{2} - 6x + 21$，其中$a = \frac{1}{2}$，$b=-6$，$c=21$。
因为$a = \frac{1}{2} ＞ 0$，所以函数图象开口向上，函数有最小值。
对称轴为$x = -\frac{b}{2a} = -\frac{-6}{2×\frac{1}{2}} = 6$。
将$x = 6$代入函数得：
$y = \frac{1}{2}×6^{2} - 6×6 + 21$
$= \frac{1}{2}×36 - 36 + 21$
$= 18 - 36 + 21$
$= 3$
3
因为$a = \frac{1}{2} ＞ 0$，所以函数图象开口向上，函数有最小值。
对称轴为$x = -\frac{b}{2a} = -\frac{-6}{2×\frac{1}{2}} = 6$。
将$x = 6$代入函数得：
$y = \frac{1}{2}×6^{2} - 6×6 + 21$
$= \frac{1}{2}×36 - 36 + 21$
$= 18 - 36 + 21$
$= 3$
3
13. 抛物线 $ y = ax^{2} + bx - 3 $ 经过点 $ (2, 4) $,则代数式 $ 8a + 4b + 1 $ 的值为 。
答案
15
解析
因为抛物线$y = ax^{2}+bx - 3$经过点$(2,4)$，所以将$x = 2$，$y = 4$代入抛物线方程可得：$4=a×2^{2}+b×2 - 3$，即$4 = 4a + 2b - 3$，移项可得$4a + 2b=7$。两边同时乘以$2$得$8a + 4b = 14$，所以$8a + 4b + 1=14 + 1=15$。
15
15
14. 下列函数：① $ y = x^{2} $；② $ y = -x^{2} $；③ $ y = (x - 1)^{2} + 2 $。其中图象可以通过平移得到函数 $ y = x^{2} + 2x - 3 $ 的图象的有 (填写所有正确选项的序号)。
答案
①③
解析
将函数$y = x^{2} + 2x - 3$配方得：$y=(x + 1)^{2}-4$。
①$y = x^{2}$向右平移1个单位，向下平移4个单位得到$y=(x + 1)^{2}-4$，可以通过平移得到。
②$y=-x^{2}$与$y=(x + 1)^{2}-4$开口方向不同，不能通过平移得到。
③$y=(x - 1)^{2} + 2$向左平移2个单位，向下平移6个单位得到$y=(x + 1)^{2}-4$，可以通过平移得到。
①③
①$y = x^{2}$向右平移1个单位，向下平移4个单位得到$y=(x + 1)^{2}-4$，可以通过平移得到。
②$y=-x^{2}$与$y=(x + 1)^{2}-4$开口方向不同，不能通过平移得到。
③$y=(x - 1)^{2} + 2$向左平移2个单位，向下平移6个单位得到$y=(x + 1)^{2}-4$，可以通过平移得到。
①③
15. 设 $ A(-2, y_{1}) $,$ B(1, y_{2}) $,$ C(2, y_{3}) $ 是抛物线 $ y = -(x + 1)^{2} + a $ 上的三点,则 $ y_{1} $,$ y_{2} $,$ y_{3} $ 的大小关系为 (用“$＜$”连接)。
答案
$ y_{3}＜y_{2}＜y_{1} $
解析
抛物线$y = -(x + 1)^{2} + a$的开口向下，对称轴为直线$x=-1$。
点$A(-2, y_{1})$到对称轴$x=-1$的距离为$|-2 - (-1)| = 1$；
点$B(1, y_{2})$到对称轴$x=-1$的距离为$|1 - (-1)| = 2$；
点$C(2, y_{3})$到对称轴$x=-1$的距离为$|2 - (-1)| = 3$。
因为抛物线开口向下，距离对称轴越近，函数值越大，所以$y_{3}＜y_{2}＜y_{1}$。
点$A(-2, y_{1})$到对称轴$x=-1$的距离为$|-2 - (-1)| = 1$；
点$B(1, y_{2})$到对称轴$x=-1$的距离为$|1 - (-1)| = 2$；
点$C(2, y_{3})$到对称轴$x=-1$的距离为$|2 - (-1)| = 3$。
因为抛物线开口向下，距离对称轴越近，函数值越大，所以$y_{3}＜y_{2}＜y_{1}$。
16. 一个滑雪者从 80 m 长的山坡滑下,滑行的距离 $ s(m) $ 与滑行时间 $ t(s) $ 之间的函数关系式为 $ s = 3t + 0.5t^{2} $,他通过这段山坡需要 $\underline{\quad\quad}$ s。
答案
10
解析
当$s = 80$时，代入$s = 3t + 0.5t^{2}$，得$0.5t^{2} + 3t - 80 = 0$，两边同乘2得$t^{2} + 6t - 160 = 0$。
因式分解得$(t + 16)(t - 10) = 0$，解得$t_{1} = -16$（舍去），$t_{2} = 10$。
10
因式分解得$(t + 16)(t - 10) = 0$，解得$t_{1} = -16$（舍去），$t_{2} = 10$。
10
17. 如图,在等腰直角三角形 $ ABC $ 中,$ \angle ACB = 90^{\circ} $,点 $ A $,$ B $ 在抛物线 $ y = x^{2} $ 上,点 $ C $ 在 $ y $ 轴上,$ A $,$ B $ 两点的横坐标分别为 1 和 $ b(b ＞ 1) $,则 $ b $ 的值为 。
答案
2
解析
解：
∵点$A$，$B$在抛物线$y = x^{2}$上，且$A$，$B$两点的横坐标分别为$1$和$b(b＞1)$，
∴点$A$的坐标为$(1,1)$，点$B$的坐标为$(b,b^{2})$。
设点$C$的坐标为$(0,c)$。
∵$\triangle ABC$是等腰直角三角形，$\angle ACB = 90^{\circ}$，
∴$AC = BC$，$AC\perp BC$。
$\overrightarrow{AC}=(-1,c - 1)$，$\overrightarrow{BC}=(-b,c - b^{2})$。
∵$AC\perp BC$，
∴$\overrightarrow{AC}\cdot\overrightarrow{BC}=0$，即$(-1)×(-b)+(c - 1)(c - b^{2})=0$，
整理得$b+(c - 1)(c - b^{2})=0$。①
∵$AC = BC$，
∴$\sqrt{(-1)^{2}+(c - 1)^{2}}=\sqrt{(-b)^{2}+(c - b^{2})^{2}}$，
两边平方得$1+(c - 1)^{2}=b^{2}+(c - b^{2})^{2}$，
整理得$(c - 1)^{2}-(c - b^{2})^{2}=b^{2}-1$，
即$[(c - 1)-(c - b^{2})][(c - 1)+(c - b^{2})]=(b - 1)(b + 1)$，
$(b^{2}-1)(2c - 1 - b^{2})=(b - 1)(b + 1)$。
∵$b＞1$，
∴$b^{2}-1\neq0$，
两边同时除以$b^{2}-1$得$2c - 1 - b^{2}=1$，
解得$c=\frac{b^{2}+2}{2}$。②
将②代入①得：
$b+\left(\frac{b^{2}+2}{2}-1\right)\left(\frac{b^{2}+2}{2}-b^{2}\right)=0$，
$b+\left(\frac{b^{2}}{2}\right)\left(1 - \frac{b^{2}}{2}\right)=0$，
$b+\frac{b^{2}}{2}-\frac{b^{4}}{4}=0$，
两边同乘$4$得$4b + 2b^{2}-b^{4}=0$，
即$b^{4}-2b^{2}-4b = 0$，
$b(b^{3}-2b - 4)=0$。
∵$b＞1$，
∴$b\neq0$，
则$b^{3}-2b - 4=0$，
$(b - 2)(b^{2}+2b + 2)=0$。
∵$b^{2}+2b + 2=(b + 1)^{2}+1＞0$，
∴$b - 2=0$，解得$b = 2$。
$2$
∵点$A$，$B$在抛物线$y = x^{2}$上，且$A$，$B$两点的横坐标分别为$1$和$b(b＞1)$，
∴点$A$的坐标为$(1,1)$，点$B$的坐标为$(b,b^{2})$。
设点$C$的坐标为$(0,c)$。
∵$\triangle ABC$是等腰直角三角形，$\angle ACB = 90^{\circ}$，
∴$AC = BC$，$AC\perp BC$。
$\overrightarrow{AC}=(-1,c - 1)$，$\overrightarrow{BC}=(-b,c - b^{2})$。
∵$AC\perp BC$，
∴$\overrightarrow{AC}\cdot\overrightarrow{BC}=0$，即$(-1)×(-b)+(c - 1)(c - b^{2})=0$，
整理得$b+(c - 1)(c - b^{2})=0$。①
∵$AC = BC$，
∴$\sqrt{(-1)^{2}+(c - 1)^{2}}=\sqrt{(-b)^{2}+(c - b^{2})^{2}}$，
两边平方得$1+(c - 1)^{2}=b^{2}+(c - b^{2})^{2}$，
整理得$(c - 1)^{2}-(c - b^{2})^{2}=b^{2}-1$，
即$[(c - 1)-(c - b^{2})][(c - 1)+(c - b^{2})]=(b - 1)(b + 1)$，
$(b^{2}-1)(2c - 1 - b^{2})=(b - 1)(b + 1)$。
∵$b＞1$，
∴$b^{2}-1\neq0$，
两边同时除以$b^{2}-1$得$2c - 1 - b^{2}=1$，
解得$c=\frac{b^{2}+2}{2}$。②
将②代入①得：
$b+\left(\frac{b^{2}+2}{2}-1\right)\left(\frac{b^{2}+2}{2}-b^{2}\right)=0$，
$b+\left(\frac{b^{2}}{2}\right)\left(1 - \frac{b^{2}}{2}\right)=0$，
$b+\frac{b^{2}}{2}-\frac{b^{4}}{4}=0$，
两边同乘$4$得$4b + 2b^{2}-b^{4}=0$，
即$b^{4}-2b^{2}-4b = 0$，
$b(b^{3}-2b - 4)=0$。
∵$b＞1$，
∴$b\neq0$，
则$b^{3}-2b - 4=0$，
$(b - 2)(b^{2}+2b + 2)=0$。
∵$b^{2}+2b + 2=(b + 1)^{2}+1＞0$，
∴$b - 2=0$，解得$b = 2$。
$2$
18. 将二次函数 $ y = -x^{2} + 2x + 3 $ 的图象在 $ x $ 轴上方的部分沿 $ x $ 轴翻折后,所得新函数的图象如图所示。当直线 $ y = x + b $ 与新函数的图象恰有 3 个公共点时,$ b $ 的值为 。
答案
$ -\frac{21}{4} $或-3
解析
解：当$y=0$时，$-x^{2}+2x+3=0$，解得$x_{1}=-1$，$x_{2}=3$。
原二次函数$y=-x^{2}+2x+3=-(x-1)^{2}+4$，顶点为$(1,4)$。
翻折后，$x$轴上方部分变为$y=(x-1)^{2}-4$（$-1 ＜ x ＜ 3$），$x$轴及下方部分仍为$y=-x^{2}+2x+3$（$x \leq -1$或$x \geq 3$）。
情况一：直线$y=x+b$与翻折后的抛物线$y=(x-1)^{2}-4$（$-1 ＜ x ＜ 3$）相切。
联立方程$x+b=(x-1)^{2}-4$，即$x^{2}-3x-3-b=0$。
$\Delta=9+4(3+b)=0$，解得$b=-\frac{21}{4}$。
情况二：直线$y=x+b$过点$(-1,0)$，则$0=-1+b$，解得$b=-1$（舍）；过点$(3,0)$，则$0=3+b$，解得$b=-3$。
综上，$b$的值为$-\frac{21}{4}$或$-3$。
原二次函数$y=-x^{2}+2x+3=-(x-1)^{2}+4$，顶点为$(1,4)$。
翻折后，$x$轴上方部分变为$y=(x-1)^{2}-4$（$-1 ＜ x ＜ 3$），$x$轴及下方部分仍为$y=-x^{2}+2x+3$（$x \leq -1$或$x \geq 3$）。
情况一：直线$y=x+b$与翻折后的抛物线$y=(x-1)^{2}-4$（$-1 ＜ x ＜ 3$）相切。
联立方程$x+b=(x-1)^{2}-4$，即$x^{2}-3x-3-b=0$。
$\Delta=9+4(3+b)=0$，解得$b=-\frac{21}{4}$。
情况二：直线$y=x+b$过点$(-1,0)$，则$0=-1+b$，解得$b=-1$（舍）；过点$(3,0)$，则$0=3+b$，解得$b=-3$。
综上，$b$的值为$-\frac{21}{4}$或$-3$。
19. (6 分)已知抛物线 $ y = x^{2} - 2x - 3 $ 与 $ x $ 轴交于 $ A $,$ B $ 两点($ A $ 在 $ B $ 的左侧),与 $ y $ 轴交于点 $ C $,顶点为 $ D $。
(1)求点 $ A $,$ B $,$ C $,$ D $ 的坐标；
(2)画出抛物线；
(3)求四边形 $ OCDB $ 的面积。
(1)求点 $ A $,$ B $,$ C $,$ D $ 的坐标；
(2)画出抛物线；
(3)求四边形 $ OCDB $ 的面积。
答案
（1）$ A(-1,0),B(3,0),C(0,-3) $,$ D(1,-4) $;（2）画图略；（3）$ \frac{15}{2} $
解析
（1）令$y=0$，则$x^{2}-2x-3=0$，解得$x_{1}=-1$，$x_{2}=3$，因为$A$在$B$左侧，所以$A(-1,0)$，$B(3,0)$；令$x=0$，得$y=-3$，所以$C(0,-3)$；$y=x^{2}-2x-3=(x-1)^{2}-4$，所以顶点$D(1,-4)$。
（2）画图略。
（3）过$D$作$DE\perp x$轴于$E$，则$E(1,0)$，$S_{四边形OCDB}=S_{梯形OCDE}+S_{\triangle DEB}$，$S_{梯形OCDE}=\frac{1}{2}×(OC + DE)× OE=\frac{1}{2}×(3 + 4)×1=\frac{7}{2}$，$S_{\triangle DEB}=\frac{1}{2}× BE× DE=\frac{1}{2}×(3 - 1)×4=4$，所以$S_{四边形OCDB}=\frac{7}{2}+4=\frac{15}{2}$。
（2）画图略。
（3）过$D$作$DE\perp x$轴于$E$，则$E(1,0)$，$S_{四边形OCDB}=S_{梯形OCDE}+S_{\triangle DEB}$，$S_{梯形OCDE}=\frac{1}{2}×(OC + DE)× OE=\frac{1}{2}×(3 + 4)×1=\frac{7}{2}$，$S_{\triangle DEB}=\frac{1}{2}× BE× DE=\frac{1}{2}×(3 - 1)×4=4$，所以$S_{四边形OCDB}=\frac{7}{2}+4=\frac{15}{2}$。
