登录
二、填空题(每小题3分,共15分)
11. 图9是由若干个大小相同的小正方体堆砌而成的几何体,那么其三种视图中面积最小的是.
11. 图9是由若干个大小相同的小正方体堆砌而成的几何体,那么其三种视图中面积最小的是.
答案
左视图
解析
【分析】
解题时首先要明确三视图的定义：主视图是从几何体正面观察得到的图形，左视图是从左面观察得到的图形，俯视图是从上面观察得到的图形。由于组成几何体的小正方体大小相同，因此每个视图的面积与视图中小正方形的数量成正比，只需要分别数出三个视图包含的小正方形个数，比较个数多少就能判断面积大小。
【解析】
设每个小正方形的面积为1，分别统计三种视图的小正方形数量：
1. 主视图：从正面观察，共能看到5个小正方形，面积为5；
2. 俯视图：从上面观察，共能看到5个小正方形，面积为5；
3. 左视图：从左面观察，共能看到3个小正方形，面积为3。
比较三个视图的面积，可知面积最小的是左视图。
【答案】
左视图
【知识点】
三视图的概念；面积大小比较
【点评】
本题属于基础题，核心考查对几何体三视图的识别能力，解题的关键是准确从三个方向观察几何体，数出对应视图中小正方形的个数，掌握三视图的观测方法即可快速解答。
【难度系数】
0.8
解题时首先要明确三视图的定义：主视图是从几何体正面观察得到的图形，左视图是从左面观察得到的图形，俯视图是从上面观察得到的图形。由于组成几何体的小正方体大小相同，因此每个视图的面积与视图中小正方形的数量成正比，只需要分别数出三个视图包含的小正方形个数，比较个数多少就能判断面积大小。
【解析】
设每个小正方形的面积为1，分别统计三种视图的小正方形数量：
1. 主视图：从正面观察，共能看到5个小正方形，面积为5；
2. 俯视图：从上面观察，共能看到5个小正方形，面积为5；
3. 左视图：从左面观察，共能看到3个小正方形，面积为3。
比较三个视图的面积，可知面积最小的是左视图。
【答案】
左视图
【知识点】
三视图的概念；面积大小比较
【点评】
本题属于基础题，核心考查对几何体三视图的识别能力，解题的关键是准确从三个方向观察几何体，数出对应视图中小正方形的个数，掌握三视图的观测方法即可快速解答。
【难度系数】
0.8
12. 已知一个圆锥体的三视图如图10所示，则这个圆锥体的侧面积为.(结果保留 π)
答案
$\boldsymbol{20π}$
解析
【分析】
要计算圆锥的侧面积，首先回忆圆锥侧面积公式为$S_{侧}=π rl$（其中$r$是底面圆半径，$l$是圆锥母线长），因此解题需要先确定$r$和$l$两个参数：第一步从三视图中提取圆锥的底面直径和高的信息，得到底面半径$r$；第二步利用圆锥的母线、高、底面半径构成直角三角形的特点，用勾股定理计算母线长$l$；第三步代入公式即可求出侧面积。
【解析】
由三视图可知：
圆锥的底面直径为$8$，因此底面半径$r=8÷2=4$，圆锥的高$h=3$。
根据圆锥母线长、底面半径、高满足勾股定理，可得母线长：
$l=\sqrt{r^2+h^2}=\sqrt{4^2+3^2}=5$
代入圆锥侧面积公式：
$S_{侧}=π rl=π×4×5=20π$
【答案】
$\boldsymbol{20π}$
【知识点】
三视图识别、圆锥侧面积计算、勾股定理应用
【点评】
本题结合三视图考查圆锥的相关计算，解题核心是能从三视图中准确提取圆锥的底面半径和高的参数，熟记对应公式即可正确解答，是立体几何部分的常见基础题型。
【难度系数】
0.7
要计算圆锥的侧面积，首先回忆圆锥侧面积公式为$S_{侧}=π rl$（其中$r$是底面圆半径，$l$是圆锥母线长），因此解题需要先确定$r$和$l$两个参数：第一步从三视图中提取圆锥的底面直径和高的信息，得到底面半径$r$；第二步利用圆锥的母线、高、底面半径构成直角三角形的特点，用勾股定理计算母线长$l$；第三步代入公式即可求出侧面积。
【解析】
由三视图可知：
圆锥的底面直径为$8$，因此底面半径$r=8÷2=4$，圆锥的高$h=3$。
根据圆锥母线长、底面半径、高满足勾股定理，可得母线长：
$l=\sqrt{r^2+h^2}=\sqrt{4^2+3^2}=5$
代入圆锥侧面积公式：
$S_{侧}=π rl=π×4×5=20π$
【答案】
$\boldsymbol{20π}$
【知识点】
三视图识别、圆锥侧面积计算、勾股定理应用
【点评】
本题结合三视图考查圆锥的相关计算，解题核心是能从三视图中准确提取圆锥的底面半径和高的参数，熟记对应公式即可正确解答，是立体几何部分的常见基础题型。
【难度系数】
0.7
13. 如图11,由四个小正方体组成的几何体中,若每个小正方体的棱长都是1,则该几何体俯视图和左视图的面积之和是.
答案
$\boldsymbol{5}$
解析
【分析】
要解决本题，首先需要明确俯视图、左视图的定义：俯视图是从几何体上方观察得到的平面图形，左视图是从几何体左侧观察得到的平面图形。解题步骤为：①先确定单个小正方形的面积，已知小正方体棱长为1，因此单个小正方形面积为1；②分别找出俯视图、左视图包含的小正方形个数；③将两个视图的面积相加即可得到最终结果。
【解析】
已知每个小正方体的棱长为1，因此单个小正方形的面积为$1×1=1$。
1. 计算俯视图面积：从几何体的上方观察，可看到3个横向排列的小正方形，因此俯视图的面积为$3×1=3$。
2. 计算左视图面积：从几何体的左侧观察，可看到2个上下排列的小正方形，因此左视图的面积为$2×1=2$。
3. 计算面积之和：两个视图的面积之和为$3+2=5$。
【答案】
$\boldsymbol{5}$
【知识点】
1. 简单几何体的三视图
2. 正方形面积计算
【点评】
本题属于基础题型，重点考查对三视图概念的掌握，解题核心是准确判断不同观察方向下平面图形的形状和小正方形的数量，熟练掌握三视图的观察方法即可快速求解。
【难度系数】
0.8
要解决本题，首先需要明确俯视图、左视图的定义：俯视图是从几何体上方观察得到的平面图形，左视图是从几何体左侧观察得到的平面图形。解题步骤为：①先确定单个小正方形的面积，已知小正方体棱长为1，因此单个小正方形面积为1；②分别找出俯视图、左视图包含的小正方形个数；③将两个视图的面积相加即可得到最终结果。
【解析】
已知每个小正方体的棱长为1，因此单个小正方形的面积为$1×1=1$。
1. 计算俯视图面积：从几何体的上方观察，可看到3个横向排列的小正方形，因此俯视图的面积为$3×1=3$。
2. 计算左视图面积：从几何体的左侧观察，可看到2个上下排列的小正方形，因此左视图的面积为$2×1=2$。
3. 计算面积之和：两个视图的面积之和为$3+2=5$。
【答案】
$\boldsymbol{5}$
【知识点】
1. 简单几何体的三视图
2. 正方形面积计算
【点评】
本题属于基础题型，重点考查对三视图概念的掌握，解题核心是准确判断不同观察方向下平面图形的形状和小正方形的数量，熟练掌握三视图的观察方法即可快速求解。
【难度系数】
0.8
14. 图12是由大小相同的小正方体组成的简单几何体的左视图和俯视图，那么组成这个几何体的小正方体最少有个.
答案
$\boldsymbol{5}$
解析
【分析】
要确定组成几何体的小正方体最少个数，可分两步思考：首先，俯视图能确定几何体底层的小正方体数量，俯视图中每个小正方形的位置都对应底层至少1个小正方体；其次，左视图能确定几何体不同行的最大层数，左视图的列对应几何体的前后行，列的高度对应该行的最大层数，要让总个数最少，只需保证最大层数的行只有1个位置达到该高度，其余位置均为1层即可。
【解析】
1. 观察俯视图：图中共有4个小正方形，说明该几何体的底层最少有4个小正方体。
2. 观察左视图：左视图共2列，左侧列高度为2，说明几何体的后排（对应左视图左列）至少有1个位置的小正方体层数为2；右侧列高度为1，说明前排所有位置的小正方体都只有1层，因此上层最少只需额外放置1个小正方体。
3. 计算最少总个数：底层4个加上层1个，共$4+1=5$个。
【答案】
$\boldsymbol{5}$
【知识点】
1. 几何体的三视图
2. 由三视图计数小正方体
【点评】
本题是三视图的典型应用题目，重点考查空间想象能力，解题的核心是明确俯视图确定底层数量、左视图确定各行最大高度的规律，求最少个数时只需让最大高度的行仅有一处达到对应高度即可。
【难度系数】
0.7
要确定组成几何体的小正方体最少个数，可分两步思考：首先，俯视图能确定几何体底层的小正方体数量，俯视图中每个小正方形的位置都对应底层至少1个小正方体；其次，左视图能确定几何体不同行的最大层数，左视图的列对应几何体的前后行，列的高度对应该行的最大层数，要让总个数最少，只需保证最大层数的行只有1个位置达到该高度，其余位置均为1层即可。
【解析】
1. 观察俯视图：图中共有4个小正方形，说明该几何体的底层最少有4个小正方体。
2. 观察左视图：左视图共2列，左侧列高度为2，说明几何体的后排（对应左视图左列）至少有1个位置的小正方体层数为2；右侧列高度为1，说明前排所有位置的小正方体都只有1层，因此上层最少只需额外放置1个小正方体。
3. 计算最少总个数：底层4个加上层1个，共$4+1=5$个。
【答案】
$\boldsymbol{5}$
【知识点】
1. 几何体的三视图
2. 由三视图计数小正方体
【点评】
本题是三视图的典型应用题目，重点考查空间想象能力，解题的核心是明确俯视图确定底层数量、左视图确定各行最大高度的规律，求最少个数时只需让最大高度的行仅有一处达到对应高度即可。
【难度系数】
0.7
15. 如图13，太阳光线与地面成$60°$的角，照在地面的一只排球上，排球在地面的投影长是$14\sqrt{3}$ cm，则排球的直径是 cm.
答案
$\boldsymbol{21}$
解析
【分析】
首先我们将实际问题转化为几何模型：排球可看作圆，太阳光线为平行光线，两条边界光线均与圆相切，它们与地面的交点之间的长度就是投影长$14\sqrt{3}\mathrm{cm}$，已知光线与地面夹角为$60°$。我们需要找到圆的直径和投影长的关系：两条平行切线的距离就是圆的直径，这个距离可通过投影长和光线与地面的夹角，结合三角函数求解。
【解析】
设排球的直径为$ D $ cm。
由于太阳光线是平行光线，且与排球（圆）相切，两条边界光线的垂直距离就是排球的直径$ D $。
已知光线与地面夹角为$ 60° $，投影长为$ 14\sqrt{3} $ cm，根据三角函数的定义，直径$ D $等于投影长乘以$ \sin60° $，即：
$\begin{aligned}D&=14\sqrt{3} × \sin60°\\&=14\sqrt{3} × \frac{\sqrt{3}}{2}\\&=14 × \frac{3}{2}\\&=21\end{aligned}$
【答案】
$\boldsymbol{21}$
【知识点】
切线的性质；解直角三角形；平行投影
【点评】
本题将生活中的投影问题与几何知识结合，需要先建立正确的几何模型，再利用三角函数计算，考查了学生将实际问题转化为数学问题的能力。
【难度系数】
0.7
首先我们将实际问题转化为几何模型：排球可看作圆，太阳光线为平行光线，两条边界光线均与圆相切，它们与地面的交点之间的长度就是投影长$14\sqrt{3}\mathrm{cm}$，已知光线与地面夹角为$60°$。我们需要找到圆的直径和投影长的关系：两条平行切线的距离就是圆的直径，这个距离可通过投影长和光线与地面的夹角，结合三角函数求解。
【解析】
设排球的直径为$ D $ cm。
由于太阳光线是平行光线，且与排球（圆）相切，两条边界光线的垂直距离就是排球的直径$ D $。
已知光线与地面夹角为$ 60° $，投影长为$ 14\sqrt{3} $ cm，根据三角函数的定义，直径$ D $等于投影长乘以$ \sin60° $，即：
$\begin{aligned}D&=14\sqrt{3} × \sin60°\\&=14\sqrt{3} × \frac{\sqrt{3}}{2}\\&=14 × \frac{3}{2}\\&=21\end{aligned}$
【答案】
$\boldsymbol{21}$
【知识点】
切线的性质；解直角三角形；平行投影
【点评】
本题将生活中的投影问题与几何知识结合，需要先建立正确的几何模型，再利用三角函数计算，考查了学生将实际问题转化为数学问题的能力。
【难度系数】
0.7
三、解答题(本大题共8小题,共75分)
16.(8分)长方体的主视图与俯视图如图14所示,求这个长方体的体积.
16.(8分)长方体的主视图与俯视图如图14所示,求这个长方体的体积.
答案
解：由长方体的主视图可知，该长方体的长为4，高为3；
由长方体的俯视图可知，该长方体的长为4，宽为3。
因此这个长方体的长、宽、高分别为4、3、3，
其体积为 $ V = 4 × 3 × 3 = 36 $。
答：这个长方体的体积为36。
由长方体的俯视图可知，该长方体的长为4，宽为3。
因此这个长方体的长、宽、高分别为4、3、3，
其体积为 $ V = 4 × 3 × 3 = 36 $。
答：这个长方体的体积为36。
解析
【分析】
要计算长方体的体积，首先需要明确长方体的体积公式为“体积=长×宽×高”，因此要先确定该长方体的长、宽、高三个棱长。根据三视图的对应规律：主视图反映几何体的长和高，俯视图反映几何体的长和宽，我们可以分别从两个视图的标注尺寸中提取对应的棱长，再代入公式计算即可。
【解析】
由长方体的主视图可知，该长方体的长为4，高为3；
由长方体的俯视图可知，该长方体的长为4，宽为3。
因此这个长方体的长、宽、高分别为4、3、3，
其体积为 $ V = 4 × 3 × 3 = 36 $。
答：这个长方体的体积为36。
【答案】
36
【知识点】
三视图的识别、长方体体积计算
【点评】
本题属于基础题，主要考查根据三视图确定几何体棱长的能力，解题的关键是明确不同视图对应的几何体棱长信息，熟练掌握长方体体积公式即可快速解答。
【难度系数】
0.85
要计算长方体的体积，首先需要明确长方体的体积公式为“体积=长×宽×高”，因此要先确定该长方体的长、宽、高三个棱长。根据三视图的对应规律：主视图反映几何体的长和高，俯视图反映几何体的长和宽，我们可以分别从两个视图的标注尺寸中提取对应的棱长，再代入公式计算即可。
【解析】
由长方体的主视图可知，该长方体的长为4，高为3；
由长方体的俯视图可知，该长方体的长为4，宽为3。
因此这个长方体的长、宽、高分别为4、3、3，
其体积为 $ V = 4 × 3 × 3 = 36 $。
答：这个长方体的体积为36。
【答案】
36
【知识点】
三视图的识别、长方体体积计算
【点评】
本题属于基础题，主要考查根据三视图确定几何体棱长的能力，解题的关键是明确不同视图对应的几何体棱长信息，熟练掌握长方体体积公式即可快速解答。
【难度系数】
0.85
