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4.若$a＞0,c＜0$,则二次函数$y=ax^2+c$的图象大致是(
A
). 答案
4. A
解析
【分析】
要判断二次函数$y=ax^2+c$的图象，我们可以分步骤结合参数性质分析：首先根据$a$的符号判断开口方向，排除不符合的选项；再根据解析式无一次项的特点，确定对称轴为y轴；最后结合$c$的符号判断抛物线与y轴交点的位置，即可选出正确选项。
【解析】
解：①判断开口方向：
已知$a＞0$，二次函数二次项系数大于0时，抛物线开口向上，因此开口向下的B、D选项不符合要求，直接排除。
②判断对称轴：
二次函数$y=ax^2+c$中一次项系数$b=0$，根据对称轴公式$x=-\frac{b}{2a}$，可得对称轴为直线$x=0$，即y轴，因此抛物线顶点在y轴上，图象关于y轴对称。
③判断与y轴交点：
当$x=0$时，$y=c$，已知$c＜0$，因此抛物线与y轴的交点在y轴负半轴。
观察剩余选项：C选项的抛物线顶点不在y轴上，不符合对称轴为y轴的性质，排除；A选项开口向上、对称轴为y轴、与y轴交点在负半轴，完全符合条件。
【答案】
A
【知识点】
二次函数$y=ax^2+k$的性质；二次函数开口与a的关系；二次函数截距与c的关系
【点评】
本题属于二次函数图象的基础判断题，核心是掌握参数$a、c$对二次函数图象的影响，以及对称轴的判断方法，熟练掌握相关性质就能快速推导得到答案。
【难度系数】
0.8
要判断二次函数$y=ax^2+c$的图象，我们可以分步骤结合参数性质分析：首先根据$a$的符号判断开口方向，排除不符合的选项；再根据解析式无一次项的特点，确定对称轴为y轴；最后结合$c$的符号判断抛物线与y轴交点的位置，即可选出正确选项。
【解析】
解：①判断开口方向：
已知$a＞0$，二次函数二次项系数大于0时，抛物线开口向上，因此开口向下的B、D选项不符合要求，直接排除。
②判断对称轴：
二次函数$y=ax^2+c$中一次项系数$b=0$，根据对称轴公式$x=-\frac{b}{2a}$，可得对称轴为直线$x=0$，即y轴，因此抛物线顶点在y轴上，图象关于y轴对称。
③判断与y轴交点：
当$x=0$时，$y=c$，已知$c＜0$，因此抛物线与y轴的交点在y轴负半轴。
观察剩余选项：C选项的抛物线顶点不在y轴上，不符合对称轴为y轴的性质，排除；A选项开口向上、对称轴为y轴、与y轴交点在负半轴，完全符合条件。
【答案】
A
【知识点】
二次函数$y=ax^2+k$的性质；二次函数开口与a的关系；二次函数截距与c的关系
【点评】
本题属于二次函数图象的基础判断题，核心是掌握参数$a、c$对二次函数图象的影响，以及对称轴的判断方法，熟练掌握相关性质就能快速推导得到答案。
【难度系数】
0.8
5.抛物线 $y=-x^2 -1$ 可以看作是由抛物线 $y=-x^2 +3$ 向
下
平移 4
个单位长度得到的。答案
5. 下 4
解析
【分析】
解题的核心是掌握二次函数$y=ax^2+k$的平移规律，两个抛物线的二次项系数$a$均为$-1$，形状、开口方向完全一致，仅位置不同，因此只需对比常数项的变化，结合“上加下减”的上下平移规律即可判断平移方向和距离；也可以通过对比两个抛物线的顶点坐标，根据顶点的平移情况直接确定抛物线的平移方向和单位长度。
【解析】
方法一：二次函数$y=ax^2+k$上下平移时，$a$不变，常数项$k$遵循“上加下减”的规律：图象向上平移$m$个单位，$k$值加$m$；向下平移$m$个单位，$k$值减$m$。
原抛物线$y=-x^2+3$的常数项$k_1=3$，目标抛物线$y=-x^2-1$的常数项$k_2=-1$，设向下平移$m$个单位可得到目标抛物线，可列方程：
$3-m=-1$
解得$m=4$。
方法二：抛物线$y=-x^2+3$的顶点坐标为$(0,3)$，抛物线$y=-x^2-1$的顶点坐标为$(0,-1)$，顶点从$(0,3)$移动到$(0,-1)$，是向下平移了4个单位长度，因此抛物线对应向下平移4个单位长度。
【答案】
下；4
【知识点】
1.二次函数图象平移规律
2.二次函数$y=ax^2+k$的性质
【点评】
本题属于二次函数平移的基础题型，解题时既可以用平移口诀直接计算，也可以通过顶点坐标的变化判断平移情况，两种方法结合可以有效避免记错口诀导致的错误。
【难度系数】
0.85
解题的核心是掌握二次函数$y=ax^2+k$的平移规律，两个抛物线的二次项系数$a$均为$-1$，形状、开口方向完全一致，仅位置不同，因此只需对比常数项的变化，结合“上加下减”的上下平移规律即可判断平移方向和距离；也可以通过对比两个抛物线的顶点坐标，根据顶点的平移情况直接确定抛物线的平移方向和单位长度。
【解析】
方法一：二次函数$y=ax^2+k$上下平移时，$a$不变，常数项$k$遵循“上加下减”的规律：图象向上平移$m$个单位，$k$值加$m$；向下平移$m$个单位，$k$值减$m$。
原抛物线$y=-x^2+3$的常数项$k_1=3$，目标抛物线$y=-x^2-1$的常数项$k_2=-1$，设向下平移$m$个单位可得到目标抛物线，可列方程：
$3-m=-1$
解得$m=4$。
方法二：抛物线$y=-x^2+3$的顶点坐标为$(0,3)$，抛物线$y=-x^2-1$的顶点坐标为$(0,-1)$，顶点从$(0,3)$移动到$(0,-1)$，是向下平移了4个单位长度，因此抛物线对应向下平移4个单位长度。
【答案】
下；4
【知识点】
1.二次函数图象平移规律
2.二次函数$y=ax^2+k$的性质
【点评】
本题属于二次函数平移的基础题型，解题时既可以用平移口诀直接计算，也可以通过顶点坐标的变化判断平移情况，两种方法结合可以有效避免记错口诀导致的错误。
【难度系数】
0.85
6.抛物线$y=-x^2+3$在$y$轴右侧部分呈现
下降
（填“上升”或“下降”）的趋势.答案
6. 下降
解析
【分析】
解题思路如下：第一步先确定二次函数的开口方向，由二次项系数a的符号判断；第二步找到该抛物线的对称轴；第三步结合开口方向和对称轴，判断y轴右侧区域函数的增减性，即可得出图像的变化趋势。
【解析】
对于二次函数$y=-x^2+3$：
1. 二次项系数$a=-1＜0$，因此抛物线开口向下；
2. 该函数属于$y=ax^2+k$的形式，对称轴为y轴（即直线$x=0$）；
3. 根据开口向下的二次函数的性质：在对称轴右侧，$y$随$x$的增大而减小，因此y轴右侧部分的图像呈现下降趋势。
【答案】
下降
【知识点】
二次函数的增减性；二次函数$y=ax^2+k$的性质
【点评】
本题是对二次函数基础性质的考查，解题关键是明确开口方向、对称轴与函数增减性的对应关系，属于易得分的基础题型。
【难度系数】
0.9
解题思路如下：第一步先确定二次函数的开口方向，由二次项系数a的符号判断；第二步找到该抛物线的对称轴；第三步结合开口方向和对称轴，判断y轴右侧区域函数的增减性，即可得出图像的变化趋势。
【解析】
对于二次函数$y=-x^2+3$：
1. 二次项系数$a=-1＜0$，因此抛物线开口向下；
2. 该函数属于$y=ax^2+k$的形式，对称轴为y轴（即直线$x=0$）；
3. 根据开口向下的二次函数的性质：在对称轴右侧，$y$随$x$的增大而减小，因此y轴右侧部分的图像呈现下降趋势。
【答案】
下降
【知识点】
二次函数的增减性；二次函数$y=ax^2+k$的性质
【点评】
本题是对二次函数基础性质的考查，解题关键是明确开口方向、对称轴与函数增减性的对应关系，属于易得分的基础题型。
【难度系数】
0.9
7.已知抛物线$y=ax^2+c$与$y=2x^2$的形状相同，开口方向相反，且经过点$(-1,5)$，则其解析式为
$y=-2x^2+7$
。答案
7. $y=-2x^2+7$
解析
【分析】
解题可分两步思考：1. 先确定二次项系数$a$的值：抛物线的形状由二次项系数的绝对值决定，开口方向由二次项系数的符号决定，已知两个抛物线形状相同、开口方向相反，因此$a$的绝对值等于2，符号与2相反，即可求出$a$；2. 再求常数项$c$的值：将已知点的坐标代入含$a$的解析式，解一元一次方程求出$c$，即可得到完整解析式。
【解析】
解：
∵ 抛物线$y=ax^2+c$与$y=2x^2$的形状相同，开口方向相反，
∴ $a=-2$，即抛物线解析式为$y=-2x^2+c$。
将点$(-1,5)$代入解析式得：
$5=-2×(-1)^2 + c$
计算得：$5=-2 + c$
解得：$c=7$
∴ 该抛物线的解析式为$y=-2x^2+7$。
【答案】
$y=-2x^2+7$
【知识点】
1. 二次函数系数的意义
2. 待定系数法求解析式
【点评】
本题属于二次函数基础题型，重点考查二次项系数对抛物线形态的影响，以及代入法求未知参数的能力，熟练掌握基础概念即可快速解答。
【难度系数】
0.8
解题可分两步思考：1. 先确定二次项系数$a$的值：抛物线的形状由二次项系数的绝对值决定，开口方向由二次项系数的符号决定，已知两个抛物线形状相同、开口方向相反，因此$a$的绝对值等于2，符号与2相反，即可求出$a$；2. 再求常数项$c$的值：将已知点的坐标代入含$a$的解析式，解一元一次方程求出$c$，即可得到完整解析式。
【解析】
解：
∵ 抛物线$y=ax^2+c$与$y=2x^2$的形状相同，开口方向相反，
∴ $a=-2$，即抛物线解析式为$y=-2x^2+c$。
将点$(-1,5)$代入解析式得：
$5=-2×(-1)^2 + c$
计算得：$5=-2 + c$
解得：$c=7$
∴ 该抛物线的解析式为$y=-2x^2+7$。
【答案】
$y=-2x^2+7$
【知识点】
1. 二次函数系数的意义
2. 待定系数法求解析式
【点评】
本题属于二次函数基础题型，重点考查二次项系数对抛物线形态的影响，以及代入法求未知参数的能力，熟练掌握基础概念即可快速解答。
【难度系数】
0.8
8.如果抛物线$y=(a+2)x^2 -3$在对称轴的左侧y随x的增大而增大，那么a的取值范围是(
A.$a＞-2$
B.$a＞2$
C.$a＜-2$
D.$a＜2$
C
).A.$a＞-2$
B.$a＞2$
C.$a＜-2$
D.$a＜2$
答案
8. C
解析
【分析】
解题时先回忆二次函数$y=ax^2+k$的核心性质：二次函数的开口方向由二次项系数决定，若二次项系数大于0，开口向上，在对称轴（y轴）左侧y随x增大而减小；若二次项系数小于0，开口向下，在对称轴左侧y随x增大而增大。本题已知抛物线在对称轴左侧y随x增大而增大，可判断开口向下，因此二次项系数小于0，据此列不等式求解即可得到a的取值范围。
【解析】
∵ $y=(a+2)x^2 -3$是抛物线，属于二次函数，对称轴为y轴（$x=0$），
又
∵ 抛物线在对称轴左侧y随x的增大而增大，
∴ 抛物线开口向下，即二次项系数$a+2＜0$，
解不等式得：$a＜-2$。
因此a的取值范围是$a＜-2$，对应选项C。
【答案】
C
【知识点】
二次函数性质、一元一次不等式解法
【点评】
本题属于基础题型，解题关键是明确二次函数开口方向和二次项系数的对应关系，以及不同开口方向下函数的增减性规律，需注意二次项系数不为0是二次函数的隐含前提。
【难度系数】
0.8
解题时先回忆二次函数$y=ax^2+k$的核心性质：二次函数的开口方向由二次项系数决定，若二次项系数大于0，开口向上，在对称轴（y轴）左侧y随x增大而减小；若二次项系数小于0，开口向下，在对称轴左侧y随x增大而增大。本题已知抛物线在对称轴左侧y随x增大而增大，可判断开口向下，因此二次项系数小于0，据此列不等式求解即可得到a的取值范围。
【解析】
∵ $y=(a+2)x^2 -3$是抛物线，属于二次函数，对称轴为y轴（$x=0$），
又
∵ 抛物线在对称轴左侧y随x的增大而增大，
∴ 抛物线开口向下，即二次项系数$a+2＜0$，
解不等式得：$a＜-2$。
因此a的取值范围是$a＜-2$，对应选项C。
【答案】
C
【知识点】
二次函数性质、一元一次不等式解法
【点评】
本题属于基础题型，解题关键是明确二次函数开口方向和二次项系数的对应关系，以及不同开口方向下函数的增减性规律，需注意二次项系数不为0是二次函数的隐含前提。
【难度系数】
0.8
9.二次函数$y=-2x^2+3$，当$-1≤x≤2$时，$y$的取值范围是（
A.$-5≤y≤3$
B.$-1≤y≤3$
C.$-5≤y≤1$
D.$-5≤y≤0$
A
）。A.$-5≤y≤3$
B.$-1≤y≤3$
C.$-5≤y≤1$
D.$-5≤y≤0$
答案
9. A
解析
【分析】
要解决二次函数在给定区间内的取值范围问题，首先明确二次函数$y=-2x^2+3$的基本性质：二次项系数为负，抛物线开口向下，对称轴为y轴（$x=0$），顶点是函数的最高点。接下来我们需要找到区间$-1≤x≤2$内的函数最大值和最小值：最大值出现在顶点处，最小值则出现在区间内离对称轴最远的端点处，最后计算各关键点的函数值即可确定取值范围。
【解析】
对于二次函数$y=-2x^2+3$：
1. 由$a=-2＜0$，可知抛物线开口向下，对称轴为直线$x=0$，顶点坐标为$(0,3)$，因此函数的最大值为顶点的纵坐标，即当$x=0$时，$y_{max}=3$。
2. 计算区间端点的函数值：
当$x=-1$时，$y=-2×(-1)^2+3=1$；
当$x=2$时，$y=-2×2^2+3=-5$。
3. 因为开口向下的抛物线离对称轴越远函数值越小，$x=2$比$x=-1$离对称轴$x=0$更远，因此函数最小值为$-5$。
综上，当$-1≤x≤2$时，$y$的取值范围是$-5≤y≤3$。
【答案】
A
【知识点】
1. 二次函数$y=ax^2+k$的性质
2. 二次函数区间最值求解
【点评】
本题是二次函数性质的基础应用，解题的核心是先根据二次项系数判断开口方向，结合对称轴确定函数的最值位置，求解时注意不能仅代入区间两个端点计算，要考虑顶点是否在给定区间内，避免出错。
【难度系数】
0.7
要解决二次函数在给定区间内的取值范围问题，首先明确二次函数$y=-2x^2+3$的基本性质：二次项系数为负，抛物线开口向下，对称轴为y轴（$x=0$），顶点是函数的最高点。接下来我们需要找到区间$-1≤x≤2$内的函数最大值和最小值：最大值出现在顶点处，最小值则出现在区间内离对称轴最远的端点处，最后计算各关键点的函数值即可确定取值范围。
【解析】
对于二次函数$y=-2x^2+3$：
1. 由$a=-2＜0$，可知抛物线开口向下，对称轴为直线$x=0$，顶点坐标为$(0,3)$，因此函数的最大值为顶点的纵坐标，即当$x=0$时，$y_{max}=3$。
2. 计算区间端点的函数值：
当$x=-1$时，$y=-2×(-1)^2+3=1$；
当$x=2$时，$y=-2×2^2+3=-5$。
3. 因为开口向下的抛物线离对称轴越远函数值越小，$x=2$比$x=-1$离对称轴$x=0$更远，因此函数最小值为$-5$。
综上，当$-1≤x≤2$时，$y$的取值范围是$-5≤y≤3$。
【答案】
A
【知识点】
1. 二次函数$y=ax^2+k$的性质
2. 二次函数区间最值求解
【点评】
本题是二次函数性质的基础应用，解题的核心是先根据二次项系数判断开口方向，结合对称轴确定函数的最值位置，求解时注意不能仅代入区间两个端点计算，要考虑顶点是否在给定区间内，避免出错。
【难度系数】
0.7
10. 如图，抛物线$y=ax^2 - c$经过正方形OACB的三个顶点A，B，C，点C在y轴上，则ac的值为(
A.1
B.2
C.3
D.4
B
).A.1
B.2
C.3
D.4
答案
10. B
解析
【分析】
本题是二次函数与正方形性质结合的综合题，解题思路如下：1. 先根据抛物线解析式确定其对称轴为y轴，结合正方形顶点C在y轴上的特征，可知正方形的两条对角线OC（竖直）和AB（水平）互相垂直平分且长度相等；2. 先写出点C的坐标，得到对角线OC的长度，据此推出点B的坐标；3. 将点B坐标代入抛物线解析式，化简即可求出ac的值。
【解析】
解：
∵抛物线解析式为$y=ax^2 - c$，
∴抛物线对称轴为y轴，当$x=0$时，$y=-c$，即点C坐标为$(0,-c)$，
∴对角线OC的长度为$c$。
∵四边形OACB是正方形，对角线OC与AB互相垂直平分且长度相等，
∴AB为水平线段，长度为$c$，AB中点为OC中点$(0,-\frac{c}{2})$，
∴点B的坐标为$(\frac{c}{2}, -\frac{c}{2})$。
将$B(\frac{c}{2}, -\frac{c}{2})$代入$y=ax^2 - c$得：
$-\frac{c}{2} = a· (\frac{c}{2})^2 - c$
整理得：$\frac{ac^2}{4} = \frac{c}{2}$
∵$c≠0$（若$c=0$，抛物线退化为x轴，不符合题意），两边同时除以$c$得：
$\frac{ac}{4} = \frac{1}{2}$
解得$ac=2$。
【答案】
B
【知识点】
二次函数$y=ax^2+k$的性质；正方形的性质
【点评】
本题属于基础综合题，将二次函数图象特征与正方形对角线的性质结合考察，解题的核心是利用对称性和正方形性质确定抛物线上点的坐标，再代入解析式求解，能很好地锻炼数形结合的思维能力。
【难度系数】
0.7
本题是二次函数与正方形性质结合的综合题，解题思路如下：1. 先根据抛物线解析式确定其对称轴为y轴，结合正方形顶点C在y轴上的特征，可知正方形的两条对角线OC（竖直）和AB（水平）互相垂直平分且长度相等；2. 先写出点C的坐标，得到对角线OC的长度，据此推出点B的坐标；3. 将点B坐标代入抛物线解析式，化简即可求出ac的值。
【解析】
解：
∵抛物线解析式为$y=ax^2 - c$，
∴抛物线对称轴为y轴，当$x=0$时，$y=-c$，即点C坐标为$(0,-c)$，
∴对角线OC的长度为$c$。
∵四边形OACB是正方形，对角线OC与AB互相垂直平分且长度相等，
∴AB为水平线段，长度为$c$，AB中点为OC中点$(0,-\frac{c}{2})$，
∴点B的坐标为$(\frac{c}{2}, -\frac{c}{2})$。
将$B(\frac{c}{2}, -\frac{c}{2})$代入$y=ax^2 - c$得：
$-\frac{c}{2} = a· (\frac{c}{2})^2 - c$
整理得：$\frac{ac^2}{4} = \frac{c}{2}$
∵$c≠0$（若$c=0$，抛物线退化为x轴，不符合题意），两边同时除以$c$得：
$\frac{ac}{4} = \frac{1}{2}$
解得$ac=2$。
【答案】
B
【知识点】
二次函数$y=ax^2+k$的性质；正方形的性质
【点评】
本题属于基础综合题，将二次函数图象特征与正方形对角线的性质结合考察，解题的核心是利用对称性和正方形性质确定抛物线上点的坐标，再代入解析式求解，能很好地锻炼数形结合的思维能力。
【难度系数】
0.7
11.已知$A(-2,y_1),B(5,y_2)$为函数$y=x^2+a$图象上的两点,比较$y_1$与$y_2$的大小:
$y_1$
$y_1$
＜
$y_2$(填“＞”“＜”或“=”).答案
11. ＜
解析
【分析】
要比较二次函数上两点的函数值大小，首先明确该二次函数的基本性质：函数$y=x^2+a$的二次项系数为1＞0，抛物线开口向上，对称轴为y轴（直线$x=0$）；开口向上的抛物线中，点到对称轴的水平距离越远，对应的函数值越大。因此只需计算A、B两点横坐标到对称轴的距离，比较距离大小即可判断$y_1$和$y_2$的大小关系。
【解析】
对于二次函数$y=x^2+a$：
1. 二次项系数$1＞0$，因此抛物线开口向上，对称轴为直线$x=0$（y轴）；
2. 计算两点到对称轴的距离：
点$A(-2,y_1)$到对称轴$x=0$的距离为$|-2-0|=2$，
点$B(5,y_2)$到对称轴$x=0$的距离为$|5-0|=5$；
3. 开口向上的抛物线上，点离对称轴越远，函数值越大，因为$2＜5$，所以$y_1＜y_2$。
【答案】
＜
【知识点】
二次函数$y=ax^2+k$的性质；二次函数值大小比较
【点评】
本题考查二次函数的基础性质应用，无需代入计算具体函数值，利用抛物线开口方向和点到对称轴的距离关系即可快速解题，是二次函数性质应用的典型基础题。
【难度系数】
0.85
要比较二次函数上两点的函数值大小，首先明确该二次函数的基本性质：函数$y=x^2+a$的二次项系数为1＞0，抛物线开口向上，对称轴为y轴（直线$x=0$）；开口向上的抛物线中，点到对称轴的水平距离越远，对应的函数值越大。因此只需计算A、B两点横坐标到对称轴的距离，比较距离大小即可判断$y_1$和$y_2$的大小关系。
【解析】
对于二次函数$y=x^2+a$：
1. 二次项系数$1＞0$，因此抛物线开口向上，对称轴为直线$x=0$（y轴）；
2. 计算两点到对称轴的距离：
点$A(-2,y_1)$到对称轴$x=0$的距离为$|-2-0|=2$，
点$B(5,y_2)$到对称轴$x=0$的距离为$|5-0|=5$；
3. 开口向上的抛物线上，点离对称轴越远，函数值越大，因为$2＜5$，所以$y_1＜y_2$。
【答案】
＜
【知识点】
二次函数$y=ax^2+k$的性质；二次函数值大小比较
【点评】
本题考查二次函数的基础性质应用，无需代入计算具体函数值，利用抛物线开口方向和点到对称轴的距离关系即可快速解题，是二次函数性质应用的典型基础题。
【难度系数】
0.85
12.已知二次函数$y=(m-1)x^2 + m^2 + 1$有最大值5，求m的值.
答案
12. -2
解析
【分析】
要解决这道题，首先回忆二次函数$y=ax^2+k$的性质：当二次项系数$a＜0$时，抛物线开口向下，函数有最大值，最大值就是顶点的纵坐标$k$；当$a＞0$时，抛物线开口向上，函数有最小值。解题时先根据“有最大值”确定二次项系数的符号范围，再根据最大值为5列方程求出m的可能取值，最后结合符号范围筛选出符合要求的m值即可。
【解析】
解：
∵二次函数$y=(m-1)x^2 + m^2 + 1$有最大值5，
∴抛物线开口向下，即二次项系数小于0：
$m-1 ＜ 0$，解得$m ＜ 1$；
又
∵该函数的最大值为顶点纵坐标（即常数项），因此：
$m^2 + 1 = 5$，
移项得$m^2 = 4$，解得$m=2$或$m=-2$；
结合$m ＜ 1$的条件，$m=2$不符合要求，需舍去，
∴$m=-2$。
【答案】
-2
【知识点】
二次函数的最值性质；二次项系数与开口方向的关系；一元二次方程求解
【点评】
本题易错点是容易忽略二次函数有最大值时开口必须向下的隐含条件，仅通过$m^2+1=5$解得$m=\pm2$就直接作答，解题时要注意结合函数性质对解进行取舍。
【难度系数】
0.6
要解决这道题，首先回忆二次函数$y=ax^2+k$的性质：当二次项系数$a＜0$时，抛物线开口向下，函数有最大值，最大值就是顶点的纵坐标$k$；当$a＞0$时，抛物线开口向上，函数有最小值。解题时先根据“有最大值”确定二次项系数的符号范围，再根据最大值为5列方程求出m的可能取值，最后结合符号范围筛选出符合要求的m值即可。
【解析】
解：
∵二次函数$y=(m-1)x^2 + m^2 + 1$有最大值5，
∴抛物线开口向下，即二次项系数小于0：
$m-1 ＜ 0$，解得$m ＜ 1$；
又
∵该函数的最大值为顶点纵坐标（即常数项），因此：
$m^2 + 1 = 5$，
移项得$m^2 = 4$，解得$m=2$或$m=-2$；
结合$m ＜ 1$的条件，$m=2$不符合要求，需舍去，
∴$m=-2$。
【答案】
-2
【知识点】
二次函数的最值性质；二次项系数与开口方向的关系；一元二次方程求解
【点评】
本题易错点是容易忽略二次函数有最大值时开口必须向下的隐含条件，仅通过$m^2+1=5$解得$m=\pm2$就直接作答，解题时要注意结合函数性质对解进行取舍。
【难度系数】
0.6
13.如图,将二次函数$y=x^2 -4$位于$x$轴下方的图象沿$x$轴翻折,再得到一个新函数的图象(图中的实线).
(1)当$x=-3$时,新函数值为________;当$x=1$时,新函数值为________.
(2)当$x=\_\_\_\_\_\_$时,新函数有最小值.
(3)当新函数中函数值$y$随$x$的增大而增大时,自变量$x$的取值范围是________.
(1)当$x=-3$时,新函数值为________;当$x=1$时,新函数值为________.
(2)当$x=\_\_\_\_\_\_$时,新函数有最小值.
(3)当新函数中函数值$y$随$x$的增大而增大时,自变量$x$的取值范围是________.
答案
(1) 5 3 (2) -2或2 (3) $-2＜x＜0$,或$x＞2$
解析
【分析】
首先明确新函数的构成：原二次函数$y=x^2-4$与$x$轴交于$(\pm2,0)$，将$x$轴下方（即$-2＜x＜2$的区间）的图象沿$x$轴翻折后，该区间的函数值为原函数值的相反数，其余区间（$x≤-2$或$x≥2$）的函数与原函数一致。解题时先确定不同区间对应的新函数表达式，再结合图象的性质分别求解：(1)判断$x$所在区间代入对应表达式计算；(2)观察图象找最低点对应的$x$值；(3)结合图象的升降趋势确定$y$随$x$增大而增大的$x$范围。
【解析】
先推导新函数的表达式：
令原函数$y=x^2-4=0$，解得$x=\pm2$，即原函数与$x$轴交点为$(-2,0)$、$(2,0)$。
根据翻折的性质：沿$x$轴翻折后图象上的点纵坐标互为相反数，因此新函数为：
①当$x≤-2$或$x≥2$时，原函数图象在$x$轴上方，函数值不变，即$y=x^2-4$；
②当$-2＜x＜2$时，原函数图象在$x$轴下方，翻折后$y=-(x^2-4)=-x^2+4$。
(1) 当$x=-3$时，$x≤-2$，代入$y=x^2-4$得：$y=(-3)^2-4=5$；
当$x=1$时，$-2＜x＜2$，代入$y=-x^2+4$得：$y=-1^2+4=3$。
(2) 观察新函数图象，最低点为与$x$轴的两个交点，纵坐标为0，对应$x$的值为$-2$或$2$，即当$x=-2$或$2$时，新函数有最小值。
(3) 结合图象分析增减性：
在$-2＜x＜0$区间，开口向下的抛物线$y=-x^2+4$在对称轴（$y$轴）左侧，$y$随$x$的增大而增大；
在$x＞2$区间，开口向上的抛物线$y=x^2-4$在对称轴右侧，$y$随$x$的增大而增大；
因此$y$随$x$增大而增大时，$x$的取值范围是$-2＜x＜0$或$x＞2$。
【答案】
(1) 5，3；(2) -2或2；(3) $-2＜x＜0$，或$x＞2$
【知识点】
二次函数的性质，翻折变换，函数增减性
【点评】
本题是二次函数图象变换的典型题型，核心是结合翻折的性质确定不同区间的函数表达式，侧重考察数形结合思想的运用，需要结合图象直观判断函数的最值和增减性，避免漏解。
【难度系数】
0.7
首先明确新函数的构成：原二次函数$y=x^2-4$与$x$轴交于$(\pm2,0)$，将$x$轴下方（即$-2＜x＜2$的区间）的图象沿$x$轴翻折后，该区间的函数值为原函数值的相反数，其余区间（$x≤-2$或$x≥2$）的函数与原函数一致。解题时先确定不同区间对应的新函数表达式，再结合图象的性质分别求解：(1)判断$x$所在区间代入对应表达式计算；(2)观察图象找最低点对应的$x$值；(3)结合图象的升降趋势确定$y$随$x$增大而增大的$x$范围。
【解析】
先推导新函数的表达式：
令原函数$y=x^2-4=0$，解得$x=\pm2$，即原函数与$x$轴交点为$(-2,0)$、$(2,0)$。
根据翻折的性质：沿$x$轴翻折后图象上的点纵坐标互为相反数，因此新函数为：
①当$x≤-2$或$x≥2$时，原函数图象在$x$轴上方，函数值不变，即$y=x^2-4$；
②当$-2＜x＜2$时，原函数图象在$x$轴下方，翻折后$y=-(x^2-4)=-x^2+4$。
(1) 当$x=-3$时，$x≤-2$，代入$y=x^2-4$得：$y=(-3)^2-4=5$；
当$x=1$时，$-2＜x＜2$，代入$y=-x^2+4$得：$y=-1^2+4=3$。
(2) 观察新函数图象，最低点为与$x$轴的两个交点，纵坐标为0，对应$x$的值为$-2$或$2$，即当$x=-2$或$2$时，新函数有最小值。
(3) 结合图象分析增减性：
在$-2＜x＜0$区间，开口向下的抛物线$y=-x^2+4$在对称轴（$y$轴）左侧，$y$随$x$的增大而增大；
在$x＞2$区间，开口向上的抛物线$y=x^2-4$在对称轴右侧，$y$随$x$的增大而增大；
因此$y$随$x$增大而增大时，$x$的取值范围是$-2＜x＜0$或$x＞2$。
【答案】
(1) 5，3；(2) -2或2；(3) $-2＜x＜0$，或$x＞2$
【知识点】
二次函数的性质，翻折变换，函数增减性
【点评】
本题是二次函数图象变换的典型题型，核心是结合翻折的性质确定不同区间的函数表达式，侧重考察数形结合思想的运用，需要结合图象直观判断函数的最值和增减性，避免漏解。
【难度系数】
0.7
