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7. 用配方法解一元二次方程 $x^2 - 2x - 2026 = 0$ 时，将它转化为 $(x + a)^2 = b$ 的形式，则 $a^b$ 的值为(
A.$-2027$
B.$2027$
C.$-1$
D.$1$
C
).A.$-2027$
B.$2027$
C.$-1$
D.$1$
答案
7. C
解析
【分析】
解题时先回忆配方法的步骤：首先将一元二次方程的常数项移到等号右侧，再给等号两边同时加上一次项系数一半的平方，将等号左侧整理为完全平方式，再对照$(x+a)^2=b$的形式确定$a$、$b$的值，最后代入计算$a^b$即可。
【解析】
解：对原方程$x^2 - 2x - 2026 = 0$进行配方：
1. 移项，将常数项移到等号右侧：$x^2 - 2x = 2026$
2. 配方：一次项系数为$-2$，其一半的平方为$(-1)^2=1$，给等号两边同时加1，得：
$x^2 - 2x + 1 = 2026 + 1$
3. 整理为完全平方式：$(x - 1)^2 = 2027$
对照$(x+a)^2 = b$的形式，可得$a = -1$，$b = 2027$。
代入计算$a^b$：$a^b = (-1)^{2027} = -1$。
【答案】
C
【知识点】
配方法解一元二次方程，完全平方公式，有理数乘方运算
【点评】
本题属于基础题，重点考查配方法的操作步骤，解题时要注意完全平方式中$a$的符号，避免符号判断错误导致结果出错，同时要熟练掌握负数乘方的符号规律。
【难度系数】
0.7
解题时先回忆配方法的步骤：首先将一元二次方程的常数项移到等号右侧，再给等号两边同时加上一次项系数一半的平方，将等号左侧整理为完全平方式，再对照$(x+a)^2=b$的形式确定$a$、$b$的值，最后代入计算$a^b$即可。
【解析】
解：对原方程$x^2 - 2x - 2026 = 0$进行配方：
1. 移项，将常数项移到等号右侧：$x^2 - 2x = 2026$
2. 配方：一次项系数为$-2$，其一半的平方为$(-1)^2=1$，给等号两边同时加1，得：
$x^2 - 2x + 1 = 2026 + 1$
3. 整理为完全平方式：$(x - 1)^2 = 2027$
对照$(x+a)^2 = b$的形式，可得$a = -1$，$b = 2027$。
代入计算$a^b$：$a^b = (-1)^{2027} = -1$。
【答案】
C
【知识点】
配方法解一元二次方程，完全平方公式，有理数乘方运算
【点评】
本题属于基础题，重点考查配方法的操作步骤，解题时要注意完全平方式中$a$的符号，避免符号判断错误导致结果出错，同时要熟练掌握负数乘方的符号规律。
【难度系数】
0.7
8.不论$x,y$为何实数,代数式$x^2 + y^2 + 2y -4x +6$的值(
A.总不小于1
B.总不大于1
C.总不小于6
D.可为任何实数
A
).A.总不小于1
B.总不大于1
C.总不小于6
D.可为任何实数
答案
8. A
解析
【分析】
要判断含两个变量的代数式的取值范围，可采用配方法求解：先将含x的项、含y的项分别分组，再对两组分别配方转化为完全平方式，最后利用完全平方的非负性求出代数式的最小值，即可判断对应选项。
【解析】
对代数式分组配方：
$\begin{aligned}x^2 + y^2 + 2y -4x +6&=(x^2-4x)+(y^2+2y)+6\\&=(x^2-4x+4-4)+(y^2+2y+1-1)+6\\&=(x-2)^2 -4 + (y+1)^2 -1 +6\\&=(x-2)^2 + (y+1)^2 +1\end{aligned}$
根据完全平方的非负性可知：$(x-2)^2≥0$，$(y+1)^2≥0$，因此：
$(x-2)^2 + (y+1)^2 +1≥0+0+1=1$
即该代数式的值总不小于1。
【答案】
A
【知识点】
配方法的应用；完全平方的非负性
【点评】
本题是配方法的典型应用题型，核心是掌握多变量代数式的分组配方技巧，结合非负数的性质判断代数式的取值范围，属于代数部分的常考基础题。
【难度系数】
0.8
要判断含两个变量的代数式的取值范围，可采用配方法求解：先将含x的项、含y的项分别分组，再对两组分别配方转化为完全平方式，最后利用完全平方的非负性求出代数式的最小值，即可判断对应选项。
【解析】
对代数式分组配方：
$\begin{aligned}x^2 + y^2 + 2y -4x +6&=(x^2-4x)+(y^2+2y)+6\\&=(x^2-4x+4-4)+(y^2+2y+1-1)+6\\&=(x-2)^2 -4 + (y+1)^2 -1 +6\\&=(x-2)^2 + (y+1)^2 +1\end{aligned}$
根据完全平方的非负性可知：$(x-2)^2≥0$，$(y+1)^2≥0$，因此：
$(x-2)^2 + (y+1)^2 +1≥0+0+1=1$
即该代数式的值总不小于1。
【答案】
A
【知识点】
配方法的应用；完全平方的非负性
【点评】
本题是配方法的典型应用题型，核心是掌握多变量代数式的分组配方技巧，结合非负数的性质判断代数式的取值范围，属于代数部分的常考基础题。
【难度系数】
0.8
9.已知方程$x^2 -4x +1 = \boldsymbol{■}$，等号右侧的数印刷不清楚.若可以将其配方成$(x - m)^2 =5$的形式,则印刷不清楚的数是(
A.$-3$
B.$-2$
C.$3$
D.$2$
D
).A.$-3$
B.$-2$
C.$3$
D.$2$
答案
9. D
解析
【分析】
我们可先设印刷不清楚的数为$a$，结合题目给出的“可配方成$(x-m)^2=5$”的条件，对原含$a$的方程用配方法变形，再和已知的配方形式对比，即可求出$a$的值。解题思路为：先设未知参数，再对原方程按配方法步骤变形，最后根据两个配方形式的对应项相等列方程求解。
【解析】
设印刷不清楚的数为$a$，则原方程为：
$x^2 -4x +1 = a$
移项，将常数项移到等号右侧：
$x^2 -4x = a -1$
根据配方法规则，给等式左右两边同时加上一次项系数一半的平方：一次项系数为$-4$，其一半的平方为$(-2)^2=4$，因此：
$x^2 -4x +4 = a -1 +4$
左边整理为完全平方形式：
$(x-2)^2 = a + 3$
由题意可知该方程可配方为$(x-m)^2=5$，因此两个式子的右侧相等：
$a + 3 = 5$
解得$a=2$。
【答案】
D
【知识点】
配方法的应用，等式的性质
【点评】
本题是配方法的基础应用题型，解题核心是熟练掌握配方法的操作步骤，通过配方后等式的对应关系求解未知参数，掌握配方法的规则就能轻松解题。
【难度系数】
0.8
我们可先设印刷不清楚的数为$a$，结合题目给出的“可配方成$(x-m)^2=5$”的条件，对原含$a$的方程用配方法变形，再和已知的配方形式对比，即可求出$a$的值。解题思路为：先设未知参数，再对原方程按配方法步骤变形，最后根据两个配方形式的对应项相等列方程求解。
【解析】
设印刷不清楚的数为$a$，则原方程为：
$x^2 -4x +1 = a$
移项，将常数项移到等号右侧：
$x^2 -4x = a -1$
根据配方法规则，给等式左右两边同时加上一次项系数一半的平方：一次项系数为$-4$，其一半的平方为$(-2)^2=4$，因此：
$x^2 -4x +4 = a -1 +4$
左边整理为完全平方形式：
$(x-2)^2 = a + 3$
由题意可知该方程可配方为$(x-m)^2=5$，因此两个式子的右侧相等：
$a + 3 = 5$
解得$a=2$。
【答案】
D
【知识点】
配方法的应用，等式的性质
【点评】
本题是配方法的基础应用题型，解题核心是熟练掌握配方法的操作步骤，通过配方后等式的对应关系求解未知参数，掌握配方法的规则就能轻松解题。
【难度系数】
0.8
10.若方程$x^2 - 4104676 = 0$的两个根为$\pm 2026$，则方程$x^2 - 2x - 4104675 = 0$的两个根为
$x_1=2027,x_2=-2025$
。答案
10. $x_1=2027,x_2=-2025$
解析
【分析】
本题可利用配方法求解，观察已知方程和待解方程的常数项存在关联：待解方程移项后左边配方时，常数项加1后右侧刚好等于已知方程的常数项，因此无需直接计算大数，借助已知给出的根的结论即可快速求解。解题步骤：首先将待解方程的常数项移到等号右侧，再对左侧二次式配方，转化为完全平方式等于常数的形式，最后利用直接开平方法结合已知条件求根即可。
【解析】
解：对方程$x^2 - 2x - 4104675 = 0$移项，得：
$x^2 - 2x = 4104675$
方程两边同时加上一次项系数一半的平方，即加上$(\frac{-2}{2})^2=1$，得：
$x^2 - 2x + 1 = 4104675 + 1$
左边写成完全平方形式，右侧计算得：
$(x-1)^2 = 4104676$
由题可知$x^2=4104676$的根为$\pm2026$，因此开方得：
$x-1 = 2026$ 或 $x-1 = -2026$
分别求解两个一次方程：
当$x-1=2026$时，$x=2027$；
当$x-1=-2026$时，$x=-2025$。
【答案】
$x_1=2027,x_2=-2025$
【知识点】
配方法解一元二次方程；直接开平方法；完全平方公式
【点评】
本题解题关键是灵活运用配方法，结合题干给出的已知条件简化计算，避免了直接计算大数的繁琐，考查了对配方法步骤的掌握程度，配方时注意要给等式两边同时加上一次项系数一半的平方，保证等式成立。
【难度系数】
0.7
本题可利用配方法求解，观察已知方程和待解方程的常数项存在关联：待解方程移项后左边配方时，常数项加1后右侧刚好等于已知方程的常数项，因此无需直接计算大数，借助已知给出的根的结论即可快速求解。解题步骤：首先将待解方程的常数项移到等号右侧，再对左侧二次式配方，转化为完全平方式等于常数的形式，最后利用直接开平方法结合已知条件求根即可。
【解析】
解：对方程$x^2 - 2x - 4104675 = 0$移项，得：
$x^2 - 2x = 4104675$
方程两边同时加上一次项系数一半的平方，即加上$(\frac{-2}{2})^2=1$，得：
$x^2 - 2x + 1 = 4104675 + 1$
左边写成完全平方形式，右侧计算得：
$(x-1)^2 = 4104676$
由题可知$x^2=4104676$的根为$\pm2026$，因此开方得：
$x-1 = 2026$ 或 $x-1 = -2026$
分别求解两个一次方程：
当$x-1=2026$时，$x=2027$；
当$x-1=-2026$时，$x=-2025$。
【答案】
$x_1=2027,x_2=-2025$
【知识点】
配方法解一元二次方程；直接开平方法；完全平方公式
【点评】
本题解题关键是灵活运用配方法，结合题干给出的已知条件简化计算，避免了直接计算大数的繁琐，考查了对配方法步骤的掌握程度，配方时注意要给等式两边同时加上一次项系数一半的平方，保证等式成立。
【难度系数】
0.7
11.【方法呈现】
(1)配方法在代数式求值、解方程、解决最值问题中都有广泛的应用.
例如：$x^2 + 2x + 3 = (x^2 + 2x + 1) + 2 = (x+1)^2 + 2.$
因为$(x+1)^2 ≥ 0$，所以$(x+1)^2 + 2 ≥ 2.$
所以代数式 $x^2 + 2x + 3$ 的最小值为
【尝试应用】
(2)求代数式 $x^2 -8x +10$ 的最小值或最大值.
【拓展提高】
(3)已知 $a,b,c$ 是$△ ABC$ 的三边长，满足 $a^2 + b^2 =10a +8b -41$，求 $c$ 的取值范围.
(1)配方法在代数式求值、解方程、解决最值问题中都有广泛的应用.
例如：$x^2 + 2x + 3 = (x^2 + 2x + 1) + 2 = (x+1)^2 + 2.$
因为$(x+1)^2 ≥ 0$，所以$(x+1)^2 + 2 ≥ 2.$
所以代数式 $x^2 + 2x + 3$ 的最小值为
2
，此时 $x$ 的值是 -1
.【尝试应用】
(2)求代数式 $x^2 -8x +10$ 的最小值或最大值.
【拓展提高】
(3)已知 $a,b,c$ 是$△ ABC$ 的三边长，满足 $a^2 + b^2 =10a +8b -41$，求 $c$ 的取值范围.
答案
11.(1) 2，-1
(2) 最小值为-6
(3) $1＜c＜9$
(2) 最小值为-6
(3) $1＜c＜9$
解析
【分析】
(1) 第一小问根据配方法得到的完全平方式的非负性，直接确定代数式最小值，再令完全平方式等于0即可求出对应x的值；
(2) 第二小问先对二次代数式进行配方，结合二次项系数为正可知代数式有最小值，再根据平方的非负性求出最小值即可；
(3) 第三小问先将等式移项后，对a、b分别配方，利用非负数的性质求出a、b的边长，再根据三角形三边关系求出c的取值范围。
【解析】
(1) 由题可知$x^2 + 2x + 3=(x+1)^2 + 2$，
∵$(x+1)^2 ≥ 0$，
∴当$(x+1)^2=0$时，代数式取得最小值，最小值为2，
此时$x+1=0$，解得$x=-1$。
(2) 对$x^2 -8x +10$配方：
$x^2 -8x +10=(x^2 -8x +16) -16 +10=(x-4)^2 -6$，
∵$(x-4)^2 ≥ 0$，且二次项系数$1＞0$，代数式图象开口向上，
∴$(x-4)^2 -6 ≥ -6$，即代数式的最小值为-6，无最大值。
(3) 对$a^2 + b^2 =10a +8b -41$移项得：
$a^2 -10a + b^2 -8b +41=0$，
将41拆分为25+16，分别配方得：
$(a^2 -10a +25)+(b^2 -8b +16)=0$，即$(a-5)^2 + (b-4)^2=0$，
∵$(a-5)^2 ≥ 0$，$(b-4)^2 ≥ 0$，
∴只有当$(a-5)^2=0$且$(b-4)^2=0$时等式成立，
解得$a=5$，$b=4$，
根据三角形三边关系：两边之和大于第三边，两边之差小于第三边，
可得$5-4 ＜ c ＜ 5+4$，即$1 ＜ c ＜ 9$。
【答案】
(1) 2，-1；(2) 最小值为-6；(3) $1＜c＜9$
【知识点】
配方法的应用，非负数的性质，三角形三边关系
【点评】
本题围绕配方法设置了梯度性的问题，从基础的代数式最值求解到结合几何性质的应用，重点考查对完全平方公式结构的掌握，以及非负性、三角形三边关系等基础知识的综合运用，是配方法的典型考查题型。
【难度系数】
0.7
(1) 第一小问根据配方法得到的完全平方式的非负性，直接确定代数式最小值，再令完全平方式等于0即可求出对应x的值；
(2) 第二小问先对二次代数式进行配方，结合二次项系数为正可知代数式有最小值，再根据平方的非负性求出最小值即可；
(3) 第三小问先将等式移项后，对a、b分别配方，利用非负数的性质求出a、b的边长，再根据三角形三边关系求出c的取值范围。
【解析】
(1) 由题可知$x^2 + 2x + 3=(x+1)^2 + 2$，
∵$(x+1)^2 ≥ 0$，
∴当$(x+1)^2=0$时，代数式取得最小值，最小值为2，
此时$x+1=0$，解得$x=-1$。
(2) 对$x^2 -8x +10$配方：
$x^2 -8x +10=(x^2 -8x +16) -16 +10=(x-4)^2 -6$，
∵$(x-4)^2 ≥ 0$，且二次项系数$1＞0$，代数式图象开口向上，
∴$(x-4)^2 -6 ≥ -6$，即代数式的最小值为-6，无最大值。
(3) 对$a^2 + b^2 =10a +8b -41$移项得：
$a^2 -10a + b^2 -8b +41=0$，
将41拆分为25+16，分别配方得：
$(a^2 -10a +25)+(b^2 -8b +16)=0$，即$(a-5)^2 + (b-4)^2=0$，
∵$(a-5)^2 ≥ 0$，$(b-4)^2 ≥ 0$，
∴只有当$(a-5)^2=0$且$(b-4)^2=0$时等式成立，
解得$a=5$，$b=4$，
根据三角形三边关系：两边之和大于第三边，两边之差小于第三边，
可得$5-4 ＜ c ＜ 5+4$，即$1 ＜ c ＜ 9$。
【答案】
(1) 2，-1；(2) 最小值为-6；(3) $1＜c＜9$
【知识点】
配方法的应用，非负数的性质，三角形三边关系
【点评】
本题围绕配方法设置了梯度性的问题，从基础的代数式最值求解到结合几何性质的应用，重点考查对完全平方公式结构的掌握，以及非负性、三角形三边关系等基础知识的综合运用，是配方法的典型考查题型。
【难度系数】
0.7
