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1. 如图，在$\odot O$中，若$∠ BAC = 40°$，则$∠ BOC$的度数为（
A.$80°$
B.$60°$
C.$40°$
D.$20°$
A
）。A.$80°$
B.$60°$
C.$40°$
D.$20°$
答案
1. A
解析
【分析】
解题时首先观察两个角的位置：∠BAC是圆周角，∠BOC是圆心角，二者所对的弧都是弧BC。此时联想到圆周角定理：同弧所对的圆心角是圆周角的2倍，直接代入已知的圆周角度数即可求出圆心角的度数。
【解析】
解：
∵在$\odot O$中，$∠ BAC$是弧$BC$所对的圆周角，$∠ BOC$是弧$BC$所对的圆心角，
根据圆周角定理：同弧所对的圆心角等于它所对圆周角的2倍，
∴$∠ BOC=2∠ BAC$，
又
∵$∠ BAC=40°$，
∴$∠ BOC=2×40°=80°$。
故选：A。
【答案】
A
【知识点】
圆周角定理
【点评】
本题属于基础题，直接考查圆周角定理的应用，熟练掌握同弧所对的圆心角与圆周角的数量关系即可快速解题。
【难度系数】
0.9
解题时首先观察两个角的位置：∠BAC是圆周角，∠BOC是圆心角，二者所对的弧都是弧BC。此时联想到圆周角定理：同弧所对的圆心角是圆周角的2倍，直接代入已知的圆周角度数即可求出圆心角的度数。
【解析】
解：
∵在$\odot O$中，$∠ BAC$是弧$BC$所对的圆周角，$∠ BOC$是弧$BC$所对的圆心角，
根据圆周角定理：同弧所对的圆心角等于它所对圆周角的2倍，
∴$∠ BOC=2∠ BAC$，
又
∵$∠ BAC=40°$，
∴$∠ BOC=2×40°=80°$。
故选：A。
【答案】
A
【知识点】
圆周角定理
【点评】
本题属于基础题，直接考查圆周角定理的应用，熟练掌握同弧所对的圆心角与圆周角的数量关系即可快速解题。
【难度系数】
0.9
2.如图，AB是$\odot O$的直径，C，D是圆上两点.若DC平分$∠ ODB$，$∠ BCD = 20°$，则$∠ CAB$的度数为(
A.$20°$
B.$30°$
C.$35°$
D.$40°$
C
).A.$20°$
B.$30°$
C.$35°$
D.$40°$
答案
2. C
解析
【分析】
解题时先从已知的圆周角∠BCD出发，利用同弧所对圆周角相等得到∠BAD的度数；再结合直径所对圆周角为直角，求出∠ABD的度数；接着利用角平分线性质和等腰三角形等边对等角的性质，推出OC与BD平行，得到圆心角∠COB的度数；最后根据圆周角定理，同弧所对圆周角是圆心角的一半，即可算出∠CAB的度数。
【解析】
1. 因为∠BCD和∠BAD均为弧BD所对的圆周角，由圆周角定理可得：$∠ BAD = ∠ BCD = 20°$；
2. 因为AB是$\odot O$的直径，直径所对的圆周角为直角，所以$∠ ADB = 90°$；
3. 在$Rt△ ADB$中，$∠ ABD = 90° - ∠ BAD = 90° - 20° = 70°$；
4. 因为DC平分$∠ ODB$，所以$∠ ODC = ∠ BDC$；
5. 又OC、OD都是$\odot O$的半径，即$OC=OD$，所以$△ OCD$为等腰三角形，可得$∠ ODC = ∠ OCD$；
6. 由$∠ OCD = ∠ BDC$，根据内错角相等，两直线平行，推出$OC // BD$；
7. 由两直线平行，同位角相等，可得圆心角$∠ COB = ∠ ABD = 70°$；
8. $∠ CAB$是弧BC所对的圆周角，$∠ COB$是弧BC所对的圆心角，根据圆周角定理：$∠ CAB = \frac{1}{2}∠ COB = \frac{1}{2} × 70° = 35°$。
【答案】
C
【知识点】
圆周角定理，等腰三角形性质，平行线的判定与性质
【点评】
本题是圆中角度计算的典型题型，解题核心是灵活运用圆周角的相关性质，结合角平分线、等腰三角形、平行线的性质逐步推导角度，要求学生熟练掌握圆的基础性质和几何中角度推导的基本逻辑。
【难度系数】
0.7
解题时先从已知的圆周角∠BCD出发，利用同弧所对圆周角相等得到∠BAD的度数；再结合直径所对圆周角为直角，求出∠ABD的度数；接着利用角平分线性质和等腰三角形等边对等角的性质，推出OC与BD平行，得到圆心角∠COB的度数；最后根据圆周角定理，同弧所对圆周角是圆心角的一半，即可算出∠CAB的度数。
【解析】
1. 因为∠BCD和∠BAD均为弧BD所对的圆周角，由圆周角定理可得：$∠ BAD = ∠ BCD = 20°$；
2. 因为AB是$\odot O$的直径，直径所对的圆周角为直角，所以$∠ ADB = 90°$；
3. 在$Rt△ ADB$中，$∠ ABD = 90° - ∠ BAD = 90° - 20° = 70°$；
4. 因为DC平分$∠ ODB$，所以$∠ ODC = ∠ BDC$；
5. 又OC、OD都是$\odot O$的半径，即$OC=OD$，所以$△ OCD$为等腰三角形，可得$∠ ODC = ∠ OCD$；
6. 由$∠ OCD = ∠ BDC$，根据内错角相等，两直线平行，推出$OC // BD$；
7. 由两直线平行，同位角相等，可得圆心角$∠ COB = ∠ ABD = 70°$；
8. $∠ CAB$是弧BC所对的圆周角，$∠ COB$是弧BC所对的圆心角，根据圆周角定理：$∠ CAB = \frac{1}{2}∠ COB = \frac{1}{2} × 70° = 35°$。
【答案】
C
【知识点】
圆周角定理，等腰三角形性质，平行线的判定与性质
【点评】
本题是圆中角度计算的典型题型，解题核心是灵活运用圆周角的相关性质，结合角平分线、等腰三角形、平行线的性质逐步推导角度，要求学生熟练掌握圆的基础性质和几何中角度推导的基本逻辑。
【难度系数】
0.7
3.如图，$△ ABC$内接于$\odot O$，$∠ C=46°$，连接OA，则$∠ OAB$的度数为(
A.$44°$
B.$45°$
C.$54°$
D.$67°$
A
).A.$44°$
B.$45°$
C.$54°$
D.$67°$
答案
3. A
解析
【分析】
解题思路如下：首先回忆圆周角定理：同弧所对的圆心角是圆周角的2倍，已知圆周角∠C的度数，可先求出其所对的同弧AB对应的圆心角∠AOB的度数；其次，OA、OB都是⊙O的半径，因此△OAB是等腰三角形，两底角∠OAB和∠OBA相等，最后结合三角形内角和为180°，即可求出∠OAB的度数。
【解析】
解：连接OB。
∵ ∠C是弧AB所对的圆周角，∠AOB是弧AB所对的圆心角
根据圆周角定理，得∠AOB = 2∠C = 2×46° = 92°
又
∵ OA = OB（圆的半径相等）
∴ △OAB为等腰三角形，∠OAB = ∠OBA
根据三角形内角和为180°，可得：
∠OAB = (180° - ∠AOB)÷2 = (180° - 92°)÷2 = 44°
故选：A
【答案】
A
【知识点】
圆周角定理、等腰三角形的性质、三角形内角和定理
【点评】
本题属于基础题，解题关键是连接OB构造圆心角，结合圆周角定理和等腰三角形的性质进行角度计算，解题时注意同弧对应的圆周角和圆心角的对应关系不要混淆。
【难度系数】
0.8
解题思路如下：首先回忆圆周角定理：同弧所对的圆心角是圆周角的2倍，已知圆周角∠C的度数，可先求出其所对的同弧AB对应的圆心角∠AOB的度数；其次，OA、OB都是⊙O的半径，因此△OAB是等腰三角形，两底角∠OAB和∠OBA相等，最后结合三角形内角和为180°，即可求出∠OAB的度数。
【解析】
解：连接OB。
∵ ∠C是弧AB所对的圆周角，∠AOB是弧AB所对的圆心角
根据圆周角定理，得∠AOB = 2∠C = 2×46° = 92°
又
∵ OA = OB（圆的半径相等）
∴ △OAB为等腰三角形，∠OAB = ∠OBA
根据三角形内角和为180°，可得：
∠OAB = (180° - ∠AOB)÷2 = (180° - 92°)÷2 = 44°
故选：A
【答案】
A
【知识点】
圆周角定理、等腰三角形的性质、三角形内角和定理
【点评】
本题属于基础题，解题关键是连接OB构造圆心角，结合圆周角定理和等腰三角形的性质进行角度计算，解题时注意同弧对应的圆周角和圆心角的对应关系不要混淆。
【难度系数】
0.8
4.如图，四边形ABCD的外接圆为$\odot O$，$BC = CD$，$∠ DAC = 35°$，$∠ ACD = 45°$，则$∠ ADB$的度数为(
A.$55°$
B.$60°$
C.$65°$
D.$70°$
C
)。A.$55°$
B.$60°$
C.$65°$
D.$70°$
答案
4. C
解析
【分析】
解题时先从已知条件BC=CD入手，结合圆的基本性质：同圆中相等的弦对应相等的弧，等弧所对的圆周角相等，可得到∠BAC和∠DAC相等，算出∠BAD的度数；再利用同弧所对的圆周角相等，得到∠ABD的度数；最后利用三角形内角和定理即可求出∠ADB的度数。
【解析】
1. 已知BC=CD，根据同圆中相等的弦所对的弧相等，可得$\overset{\frown}{BC}=\overset{\frown}{CD}$；再由等弧所对的圆周角相等，得$∠ BAC=∠ DAC=35°$，因此$∠ BAD=∠ BAC+∠ DAC=35°+35°=70°$。
2. $∠ ABD$和$∠ ACD$都是$\overset{\frown}{AD}$所对的圆周角，根据同弧所对的圆周角相等，可得$∠ ABD=∠ ACD=45°$。
3. 在$△ ABD$中，三角形内角和为$180°$，因此$∠ ADB=180°-∠ BAD-∠ ABD=180°-70°-45°=65°$。
【答案】
C
【知识点】
圆周角定理，三角形内角和定理，弦与弧的关系
【点评】
本题是圆周角相关的基础题，解题核心是将弦相等的条件转化为圆周角相等的结论，结合三角形内角和即可快速求解，熟练掌握圆周角定理是解决这类题的关键。
【难度系数】
0.7
解题时先从已知条件BC=CD入手，结合圆的基本性质：同圆中相等的弦对应相等的弧，等弧所对的圆周角相等，可得到∠BAC和∠DAC相等，算出∠BAD的度数；再利用同弧所对的圆周角相等，得到∠ABD的度数；最后利用三角形内角和定理即可求出∠ADB的度数。
【解析】
1. 已知BC=CD，根据同圆中相等的弦所对的弧相等，可得$\overset{\frown}{BC}=\overset{\frown}{CD}$；再由等弧所对的圆周角相等，得$∠ BAC=∠ DAC=35°$，因此$∠ BAD=∠ BAC+∠ DAC=35°+35°=70°$。
2. $∠ ABD$和$∠ ACD$都是$\overset{\frown}{AD}$所对的圆周角，根据同弧所对的圆周角相等，可得$∠ ABD=∠ ACD=45°$。
3. 在$△ ABD$中，三角形内角和为$180°$，因此$∠ ADB=180°-∠ BAD-∠ ABD=180°-70°-45°=65°$。
【答案】
C
【知识点】
圆周角定理，三角形内角和定理，弦与弧的关系
【点评】
本题是圆周角相关的基础题，解题核心是将弦相等的条件转化为圆周角相等的结论，结合三角形内角和即可快速求解，熟练掌握圆周角定理是解决这类题的关键。
【难度系数】
0.7
5.如图，AB是$\odot O$的直径，点C，D在$\odot O$上.若$∠ ABD=20°$，则$∠ BCD$的度数为（
A.$90°$
B.$100°$
C.$110°$
D.$120°$
C
）.A.$90°$
B.$100°$
C.$110°$
D.$120°$
答案
5. C
解析
【分析】
解题时先从已知条件AB是⊙O的直径入手，首先回忆直径的性质：直径所对的圆周角为直角，因此可得∠ADB=90°，在Rt△ABD中结合已知的∠ABD=20°，即可求出∠BAD的度数；接下来要求∠BCD，可利用圆内接四边形对角互补的性质，代入∠BAD的度数即可算出∠BCD的数值。
【解析】
解：连接AD，
∵AB是⊙O的直径，
∴∠ADB=90°（直径所对的圆周角是直角），
在Rt△ABD中，∠ABD=20°，
∴∠BAD = 90° - ∠ABD = 90° - 20° = 70°，
∵四边形ABCD是⊙O的内接四边形，
∴∠BAD + ∠BCD = 180°（圆内接四边形的对角互补），
∴∠BCD = 180° - 70° = 110°。
故选：C。
【答案】
C
【知识点】
直径所对圆周角的性质；直角三角形的性质；圆内接四边形的性质
【点评】
本题是圆周角性质的基础应用类题目，解题的核心是熟练掌握与圆相关的角度性质，通过辅助线构造直角三角形过渡求解，整体思路清晰，技巧性不强。
【难度系数】
0.8
解题时先从已知条件AB是⊙O的直径入手，首先回忆直径的性质：直径所对的圆周角为直角，因此可得∠ADB=90°，在Rt△ABD中结合已知的∠ABD=20°，即可求出∠BAD的度数；接下来要求∠BCD，可利用圆内接四边形对角互补的性质，代入∠BAD的度数即可算出∠BCD的数值。
【解析】
解：连接AD，
∵AB是⊙O的直径，
∴∠ADB=90°（直径所对的圆周角是直角），
在Rt△ABD中，∠ABD=20°，
∴∠BAD = 90° - ∠ABD = 90° - 20° = 70°，
∵四边形ABCD是⊙O的内接四边形，
∴∠BAD + ∠BCD = 180°（圆内接四边形的对角互补），
∴∠BCD = 180° - 70° = 110°。
故选：C。
【答案】
C
【知识点】
直径所对圆周角的性质；直角三角形的性质；圆内接四边形的性质
【点评】
本题是圆周角性质的基础应用类题目，解题的核心是熟练掌握与圆相关的角度性质，通过辅助线构造直角三角形过渡求解，整体思路清晰，技巧性不强。
【难度系数】
0.8
6.如图，AB是$\odot O$的直径，C，D，E都是$\odot O$上的点，则$∠ 1+∠ 2=$
90
°.答案
6. 90
解析
【分析】
解题思路如下：首先回忆圆周角定理：同弧所对的圆周角等于对应圆心角的一半。观察图形可知，∠1所对的弧是弧AE，∠2所对的弧是弧BE，两段弧相加刚好是直径AB对应的半圆弧，半圆弧对应的圆心角为180°，因此两个圆周角的和就是180°的一半，即可算出结果。
【解析】
根据圆周角定理：圆周角的度数等于它所对弧上的圆心角度数的一半。
可得：$∠ 1 = \frac{1}{2}∠ AOE$，$∠ 2 = \frac{1}{2}∠ BOE$，其中$∠ AOE$是弧AE对应的圆心角，$∠ BOE$是弧BE对应的圆心角。
因为AB是$\odot O$的直径，所以$∠ AOE + ∠ BOE = 180°$。
因此$∠ 1 + ∠ 2 = \frac{1}{2}(∠ AOE + ∠ BOE) = \frac{1}{2} × 180° = 90°$。
【答案】
90
【知识点】
圆周角定理，直径的性质
【点评】
本题是圆周角定理的基础应用题型，解题的核心是将两个圆周角的和转化为对应圆心角和的一半，结合直径对应的平角即可快速求解，解题时要注意观察角对应的弧的关系。
【难度系数】
0.8
解题思路如下：首先回忆圆周角定理：同弧所对的圆周角等于对应圆心角的一半。观察图形可知，∠1所对的弧是弧AE，∠2所对的弧是弧BE，两段弧相加刚好是直径AB对应的半圆弧，半圆弧对应的圆心角为180°，因此两个圆周角的和就是180°的一半，即可算出结果。
【解析】
根据圆周角定理：圆周角的度数等于它所对弧上的圆心角度数的一半。
可得：$∠ 1 = \frac{1}{2}∠ AOE$，$∠ 2 = \frac{1}{2}∠ BOE$，其中$∠ AOE$是弧AE对应的圆心角，$∠ BOE$是弧BE对应的圆心角。
因为AB是$\odot O$的直径，所以$∠ AOE + ∠ BOE = 180°$。
因此$∠ 1 + ∠ 2 = \frac{1}{2}(∠ AOE + ∠ BOE) = \frac{1}{2} × 180° = 90°$。
【答案】
90
【知识点】
圆周角定理，直径的性质
【点评】
本题是圆周角定理的基础应用题型，解题的核心是将两个圆周角的和转化为对应圆心角和的一半，结合直径对应的平角即可快速求解，解题时要注意观察角对应的弧的关系。
【难度系数】
0.8
7.如图，点A，B，C在⊙O上，且∠ACB=110°，则α=
140
°。答案
7. 140
解析
【分析】
要求圆心角∠α的度数，首先观察已知的∠ACB是圆周角，且为钝角，它所对的是优弧AB，而∠α所对的是劣弧AB。我们可以利用圆内接四边形对角互补的性质，先求出劣弧AB所对的圆周角度数，再根据圆周角定理（同弧所对的圆心角是圆周角的2倍）计算出∠α的度数。
【解析】
在优弧AB上取一点D（不与A、B重合），连接AD、BD。
∵ 四边形ACBD是⊙O的内接四边形，
∴ ∠ACB + ∠ADB = 180°，
∵ ∠ACB=110°，
∴ ∠ADB=180°-110°=70°。
∵ ∠ADB和∠α分别是劣弧AB所对的圆周角和圆心角，
∴ 根据圆周角定理可得：α=2∠ADB=2×70°=140°。
【答案】
140
【知识点】
圆内接四边形的性质；圆周角定理
【点评】
本题是圆的性质的基础应用题，解题的关键是合理构造辅助线，利用圆内接四边形的性质得到待求圆心角对应的圆周角，再结合圆周角定理求解，是圆章节的常见题型。
【难度系数】
0.7
要求圆心角∠α的度数，首先观察已知的∠ACB是圆周角，且为钝角，它所对的是优弧AB，而∠α所对的是劣弧AB。我们可以利用圆内接四边形对角互补的性质，先求出劣弧AB所对的圆周角度数，再根据圆周角定理（同弧所对的圆心角是圆周角的2倍）计算出∠α的度数。
【解析】
在优弧AB上取一点D（不与A、B重合），连接AD、BD。
∵ 四边形ACBD是⊙O的内接四边形，
∴ ∠ACB + ∠ADB = 180°，
∵ ∠ACB=110°，
∴ ∠ADB=180°-110°=70°。
∵ ∠ADB和∠α分别是劣弧AB所对的圆周角和圆心角，
∴ 根据圆周角定理可得：α=2∠ADB=2×70°=140°。
【答案】
140
【知识点】
圆内接四边形的性质；圆周角定理
【点评】
本题是圆的性质的基础应用题，解题的关键是合理构造辅助线，利用圆内接四边形的性质得到待求圆心角对应的圆周角，再结合圆周角定理求解，是圆章节的常见题型。
【难度系数】
0.7
8.(教材P132习题T4变式)一圆形玻璃镜面损坏了一部分,为得到同样大小的镜面,工人师傅用直尺进行了如图所示的测量,测得AB=8 cm,BC=6 cm,则圆形玻璃镜面的半径为
5
cm.答案
8. 5
解析
【分析】
首先观察图形可知，测量所用的是直角尺，因此∠ABC=90°。根据圆周角定理的推论：90°的圆周角所对的弦是圆的直径，连接AC后AC就是圆形玻璃的直径。接下来在Rt△ABC中，已知两条直角边的长度，用勾股定理求出AC的长度，再除以2即可得到圆形镜面的半径。
【解析】
连接AC，
∵∠ABC=90°，且点A、B、C均在圆上，
∴AC是该圆的直径（90°的圆周角所对的弦是直径）。
在Rt△ABC中，AB=8cm，BC=6cm，由勾股定理得：
$AC^2=AB^2+BC^2=8^2+6^2=64+36=100$，
∴$AC=10\mathrm{cm}$（线段长度为正），
则圆形玻璃镜面的半径为$\frac{1}{2}AC=\frac{1}{2}×10=5\mathrm{cm}$。
【答案】
5
【知识点】
圆周角定理推论，勾股定理
【点评】
本题结合实际生活场景考查几何知识的应用，解题关键是根据直角判断出AC为圆的直径，再结合勾股定理计算即可，体现了数学与实际生活的紧密联系。
【难度系数】
0.7
首先观察图形可知，测量所用的是直角尺，因此∠ABC=90°。根据圆周角定理的推论：90°的圆周角所对的弦是圆的直径，连接AC后AC就是圆形玻璃的直径。接下来在Rt△ABC中，已知两条直角边的长度，用勾股定理求出AC的长度，再除以2即可得到圆形镜面的半径。
【解析】
连接AC，
∵∠ABC=90°，且点A、B、C均在圆上，
∴AC是该圆的直径（90°的圆周角所对的弦是直径）。
在Rt△ABC中，AB=8cm，BC=6cm，由勾股定理得：
$AC^2=AB^2+BC^2=8^2+6^2=64+36=100$，
∴$AC=10\mathrm{cm}$（线段长度为正），
则圆形玻璃镜面的半径为$\frac{1}{2}AC=\frac{1}{2}×10=5\mathrm{cm}$。
【答案】
5
【知识点】
圆周角定理推论，勾股定理
【点评】
本题结合实际生活场景考查几何知识的应用，解题关键是根据直角判断出AC为圆的直径，再结合勾股定理计算即可，体现了数学与实际生活的紧密联系。
【难度系数】
0.7
