登录
1. 下列运算正确的是(
A.$(-2ab)(-3ab)^2=-54a^4b^4$
B.$5x^2 · (3x^3)^2=15x^{12}$
C.$(-0.1b)(-10b^2)^3=-b^7$
D.$(2 × 10^a)(\frac{1}{2} × 10^a)=10^{2a}$
D
).A.$(-2ab)(-3ab)^2=-54a^4b^4$
B.$5x^2 · (3x^3)^2=15x^{12}$
C.$(-0.1b)(-10b^2)^3=-b^7$
D.$(2 × 10^a)(\frac{1}{2} × 10^a)=10^{2a}$
答案
1. D
解析
【分析】
本题考查整式乘法相关运算，解题思路为：依次对每个选项进行运算验证，先按照积的乘方法则计算选项中的乘方部分，再按照单项式乘单项式的法则计算乘法，对比计算结果和选项给出的结果是否一致，最终选出运算正确的选项。
【解析】
我们结合幂的运算法则和单项式乘单项式法则逐个分析选项：
相关法则回顾：①积的乘方：$(ab)^n=a^n b^n$；②同底数幂相乘：$a^m·a^n=a^{m+n}$；③单项式乘单项式：系数相乘，同底数幂分别相乘，其余字母连同指数作为积的因式。
选项A：先算乘方$(-3ab)^2=(-3)^2a^2b^2=9a^2b^2$，再算乘法：$(-2ab)·9a^2b^2=(-2×9)·a^{1+2}b^{1+2}=-18a^3b^3$，与选项给出的$-54a^4b^4$不符，A错误。
选项B：先算乘方$(3x^3)^2=3^2x^{3×2}=9x^6$，再算乘法：$5x^2·9x^6=(5×9)·x^{2+6}=45x^8$，与选项给出的$15x^{12}$不符，B错误。
选项C：先算乘方$(-10b^2)^3=(-10)^3b^{2×3}=-1000b^6$，再算乘法：$(-0.1b)·(-1000b^6)=(0.1×1000)·b^{1+6}=100b^7$，与选项给出的$-b^7$不符，C错误。
选项D：计算可得$(2 × 10^a)(\frac{1}{2} × 10^a)=(2×\frac{1}{2})·(10^a×10^a)=1×10^{a+a}=10^{2a}$，与选项结果一致，D正确。
【答案】
D
【知识点】
单项式乘单项式；幂的乘方与积的乘方；同底数幂的乘法
【点评】
本题属于整式运算的基础题型，核心考查对幂的运算规则和单项式乘法规则的掌握程度，解题时要注意分步运算，重点关注系数符号、指数运算两个易错点，避免因粗心出错。
【难度系数】
0.8
本题考查整式乘法相关运算，解题思路为：依次对每个选项进行运算验证，先按照积的乘方法则计算选项中的乘方部分，再按照单项式乘单项式的法则计算乘法，对比计算结果和选项给出的结果是否一致，最终选出运算正确的选项。
【解析】
我们结合幂的运算法则和单项式乘单项式法则逐个分析选项：
相关法则回顾：①积的乘方：$(ab)^n=a^n b^n$；②同底数幂相乘：$a^m·a^n=a^{m+n}$；③单项式乘单项式：系数相乘，同底数幂分别相乘，其余字母连同指数作为积的因式。
选项A：先算乘方$(-3ab)^2=(-3)^2a^2b^2=9a^2b^2$，再算乘法：$(-2ab)·9a^2b^2=(-2×9)·a^{1+2}b^{1+2}=-18a^3b^3$，与选项给出的$-54a^4b^4$不符，A错误。
选项B：先算乘方$(3x^3)^2=3^2x^{3×2}=9x^6$，再算乘法：$5x^2·9x^6=(5×9)·x^{2+6}=45x^8$，与选项给出的$15x^{12}$不符，B错误。
选项C：先算乘方$(-10b^2)^3=(-10)^3b^{2×3}=-1000b^6$，再算乘法：$(-0.1b)·(-1000b^6)=(0.1×1000)·b^{1+6}=100b^7$，与选项给出的$-b^7$不符，C错误。
选项D：计算可得$(2 × 10^a)(\frac{1}{2} × 10^a)=(2×\frac{1}{2})·(10^a×10^a)=1×10^{a+a}=10^{2a}$，与选项结果一致，D正确。
【答案】
D
【知识点】
单项式乘单项式；幂的乘方与积的乘方；同底数幂的乘法
【点评】
本题属于整式运算的基础题型，核心考查对幂的运算规则和单项式乘法规则的掌握程度，解题时要注意分步运算，重点关注系数符号、指数运算两个易错点，避免因粗心出错。
【难度系数】
0.8
2. 若单项式$-5x^{3}y^{a+4}$与$\frac{4}{15}x^{b-3}y^{4}$是同类项，则这两个单项式的积是
$-\dfrac{4}{3}x^6y^8$
。答案
2. $-\dfrac{4}{3}x^6y^8$
解析
【分析】
要解决这道题，首先回忆同类项的定义：所含字母相同，且相同字母的指数也相同的单项式是同类项。我们第一步要根据同类项的定义列出关于a、b的等式，求解得到a、b的值，确定两个单项式的具体形式，再根据单项式乘单项式的运算法则计算两者的乘积即可。
【解析】
解：
∵单项式$-5x^{3}y^{a+4}$与$\frac{4}{15}x^{b-3}y^{4}$是同类项
∴根据同类项定义，相同字母的指数相等，可得：
$\begin{cases} b-3=3 \\ a+4=4 \end{cases}$
解得：$\begin{cases} b=6 \\ a=0 \end{cases}$
∴两个单项式分别为$-5x^3y^4$和$\frac{4}{15}x^3y^4$
根据单项式乘单项式法则：系数相乘作为积的系数，同底数幂分别相乘，得：
$-5x^3y^4 × \frac{4}{15}x^3y^4 = (-5 × \frac{4}{15}) × (x^3 · x^3) × (y^4 · y^4) = -\frac{4}{3}x^6y^8$
【答案】
$-\dfrac{4}{3}x^6y^8$
【知识点】
同类项的定义；单项式乘单项式
【点评】
本题是基础运算类题型，解题核心是先利用同类项的定义确定未知参数的值，再正确运用单项式乘法法则计算，需注意系数的符号运算和同底数幂的指数加法规则。
【难度系数】
0.8
要解决这道题，首先回忆同类项的定义：所含字母相同，且相同字母的指数也相同的单项式是同类项。我们第一步要根据同类项的定义列出关于a、b的等式，求解得到a、b的值，确定两个单项式的具体形式，再根据单项式乘单项式的运算法则计算两者的乘积即可。
【解析】
解：
∵单项式$-5x^{3}y^{a+4}$与$\frac{4}{15}x^{b-3}y^{4}$是同类项
∴根据同类项定义，相同字母的指数相等，可得：
$\begin{cases} b-3=3 \\ a+4=4 \end{cases}$
解得：$\begin{cases} b=6 \\ a=0 \end{cases}$
∴两个单项式分别为$-5x^3y^4$和$\frac{4}{15}x^3y^4$
根据单项式乘单项式法则：系数相乘作为积的系数，同底数幂分别相乘，得：
$-5x^3y^4 × \frac{4}{15}x^3y^4 = (-5 × \frac{4}{15}) × (x^3 · x^3) × (y^4 · y^4) = -\frac{4}{3}x^6y^8$
【答案】
$-\dfrac{4}{3}x^6y^8$
【知识点】
同类项的定义；单项式乘单项式
【点评】
本题是基础运算类题型，解题核心是先利用同类项的定义确定未知参数的值，再正确运用单项式乘法法则计算，需注意系数的符号运算和同底数幂的指数加法规则。
【难度系数】
0.8
3. 计算:
(1)$(3x^2y)^3(-4xy^2)$;
(2)$(-xy^2z^3)^4(-x^2y)^3$;
(3)$6ab^n · (-5a^{n+1}b^2)$;
(4)$(-3ab)(-a^2c)^2 · 6ab(c^2)^3$.
(1)$(3x^2y)^3(-4xy^2)$;
(2)$(-xy^2z^3)^4(-x^2y)^3$;
(3)$6ab^n · (-5a^{n+1}b^2)$;
(4)$(-3ab)(-a^2c)^2 · 6ab(c^2)^3$.
答案
3. 解 (1)$(3x^2y)^3(-4xy^2)$
$=27x^6y^3 · (-4xy^2)$
$=[27×(-4)](x^6·x)(y^3·y^2)$
$=-108x^7y^5$.
(2)$(-xy^2z^3)^4(-x^2y)^3$
$=x^4y^8z^{12} · (-x^6y^3)$
$=-(x^4·x^6)(y^8·y^3)·z^{12}$
$=-x^{10}y^{11}z^{12}$.
(3)$6ab^n · (-5a^{n+1}b^2)$
$=[6×(-5)](a·a^{n+1})(b^n·b^2)$
$=-30a^{n+2}b^{n+2}$.
(4)$(-3ab)(-a^2c)^2 · 6ab(c^2)^3$
$=(-3ab)·a^4c^2 · 6abc^6$
$=[(-3)×6](a·a^4·a)(b·b)(c^2·c^6)$
$=-18a^6b^2c^8$.
$=27x^6y^3 · (-4xy^2)$
$=[27×(-4)](x^6·x)(y^3·y^2)$
$=-108x^7y^5$.
(2)$(-xy^2z^3)^4(-x^2y)^3$
$=x^4y^8z^{12} · (-x^6y^3)$
$=-(x^4·x^6)(y^8·y^3)·z^{12}$
$=-x^{10}y^{11}z^{12}$.
(3)$6ab^n · (-5a^{n+1}b^2)$
$=[6×(-5)](a·a^{n+1})(b^n·b^2)$
$=-30a^{n+2}b^{n+2}$.
(4)$(-3ab)(-a^2c)^2 · 6ab(c^2)^3$
$=(-3ab)·a^4c^2 · 6abc^6$
$=[(-3)×6](a·a^4·a)(b·b)(c^2·c^6)$
$=-18a^6b^2c^8$.
解析
【分析】
这是一组单项式乘法的运算题，解题需遵循“先算乘方，再算乘法”的运算顺序：①首先处理乘方运算：运用积的乘方、幂的乘方的运算性质化简每个带乘方的单项式，注意负数乘方的符号判断，偶次幂为正、奇次幂为负；②再运用单项式乘单项式的法则计算：系数相乘作为积的系数，相同字母的幂按同底数幂乘法（底数不变，指数相加）计算，只在一个单项式中出现的字母，连同指数一起作为积的因式，计算时逐次核对符号和指数，避免出错。
【解析】
(1)$(3x^2y)^3(-4xy^2)$
$=27x^6y^3 · (-4xy^2)$
$=[27×(-4)](x^6·x)(y^3·y^2)$
$=-108x^7y^5$.
(2)$(-xy^2z^3)^4(-x^2y)^3$
$=x^4y^8z^{12} · (-x^6y^3)$
$=-(x^4·x^6)(y^8·y^3)·z^{12}$
$=-x^{10}y^{11}z^{12}$.
(3)$6ab^n · (-5a^{n+1}b^2)$
$=[6×(-5)](a·a^{n+1})(b^n·b^2)$
$=-30a^{n+2}b^{n+2}$.
(4)$(-3ab)(-a^2c)^2 · 6ab(c^2)^3$
$=(-3ab)·a^4c^2 · 6abc^6$
$=[(-3)×6](a·a^4·a)(b·b)(c^2·c^6)$
$=-18a^6b^2c^8$.
【答案】
(1) $\boldsymbol{-108x^7y^5}$；(2) $\boldsymbol{-x^{10}y^{11}z^{12}}$；(3) $\boldsymbol{-30a^{n+2}b^{n+2}}$；(4) $\boldsymbol{-18a^6b^2c^8}$
【知识点】
积的乘方运算、同底数幂的乘法、单项式乘单项式
【点评】
本题属于整式乘法的基础题型，核心考查幂的运算性质与单项式乘法法则的应用，解题时要注意运算顺序，优先计算乘方再计算乘法，重点关注负号的处理和指数的运算规则，避免因粗心出现符号错误或指数计算错误。
【难度系数】
0.8
这是一组单项式乘法的运算题，解题需遵循“先算乘方，再算乘法”的运算顺序：①首先处理乘方运算：运用积的乘方、幂的乘方的运算性质化简每个带乘方的单项式，注意负数乘方的符号判断，偶次幂为正、奇次幂为负；②再运用单项式乘单项式的法则计算：系数相乘作为积的系数，相同字母的幂按同底数幂乘法（底数不变，指数相加）计算，只在一个单项式中出现的字母，连同指数一起作为积的因式，计算时逐次核对符号和指数，避免出错。
【解析】
(1)$(3x^2y)^3(-4xy^2)$
$=27x^6y^3 · (-4xy^2)$
$=[27×(-4)](x^6·x)(y^3·y^2)$
$=-108x^7y^5$.
(2)$(-xy^2z^3)^4(-x^2y)^3$
$=x^4y^8z^{12} · (-x^6y^3)$
$=-(x^4·x^6)(y^8·y^3)·z^{12}$
$=-x^{10}y^{11}z^{12}$.
(3)$6ab^n · (-5a^{n+1}b^2)$
$=[6×(-5)](a·a^{n+1})(b^n·b^2)$
$=-30a^{n+2}b^{n+2}$.
(4)$(-3ab)(-a^2c)^2 · 6ab(c^2)^3$
$=(-3ab)·a^4c^2 · 6abc^6$
$=[(-3)×6](a·a^4·a)(b·b)(c^2·c^6)$
$=-18a^6b^2c^8$.
【答案】
(1) $\boldsymbol{-108x^7y^5}$；(2) $\boldsymbol{-x^{10}y^{11}z^{12}}$；(3) $\boldsymbol{-30a^{n+2}b^{n+2}}$；(4) $\boldsymbol{-18a^6b^2c^8}$
【知识点】
积的乘方运算、同底数幂的乘法、单项式乘单项式
【点评】
本题属于整式乘法的基础题型，核心考查幂的运算性质与单项式乘法法则的应用，解题时要注意运算顺序，优先计算乘方再计算乘法，重点关注负号的处理和指数的运算规则，避免因粗心出现符号错误或指数计算错误。
【难度系数】
0.8
4. 先化简，再求值：$\frac{1}{7}xy^2 · 14(xy)^2 · \frac{1}{4}x^5$，其中$x=4, y=\frac{1}{8}$。
答案
4. 解 $\dfrac{1}{7}xy^2 · 14(xy)^2 · \dfrac{1}{4}x^5$
$=\dfrac{1}{7}xy^2 · 14x^2y^2 · \dfrac{1}{4}x^5$
$=(\dfrac{1}{7}×14×\dfrac{1}{4})(x·x^2·x^5)(y^2·y^2)$
$=\dfrac{1}{2}x^8y^4$.
当 $x=4,y=\dfrac{1}{8}$时，
原式$=\dfrac{1}{2}×4^8×(\dfrac{1}{8})^4=8$.
$=\dfrac{1}{7}xy^2 · 14x^2y^2 · \dfrac{1}{4}x^5$
$=(\dfrac{1}{7}×14×\dfrac{1}{4})(x·x^2·x^5)(y^2·y^2)$
$=\dfrac{1}{2}x^8y^4$.
当 $x=4,y=\dfrac{1}{8}$时，
原式$=\dfrac{1}{2}×4^8×(\dfrac{1}{8})^4=8$.
解析
【分析】
本题是整式化简求值类题目，遵循“先化简，再求值”的思路解题即可：首先处理算式中的乘方运算，根据积的乘方法则展开$(xy)^2$；再依据单项式乘单项式的运算法则，将系数、同底数幂分别结合相乘，得到最简整式；最后将$x、y$的取值代入最简式计算，计算时可利用幂的运算性质转化高次幂，降低计算难度，避免直接计算大数幂出错。
【解析】
先对原式化简：
$\begin{aligned}&\frac{1}{7}xy^2 · 14(xy)^2 · \frac{1}{4}x^5\\=&\frac{1}{7}xy^2 · 14x^2y^2 · \frac{1}{4}x^5\\=&(\frac{1}{7}×14×\frac{1}{4})·(x·x^2·x^5)·(y^2·y^2)\\=&\frac{1}{2}x^8y^4\end{aligned}$
将$x=4,y=\frac{1}{8}$代入化简后的式子计算：
$\begin{aligned}\mathrm{原式}&=\frac{1}{2}×4^8×(\frac{1}{8})^4\\&=\frac{1}{2}×(2^2)^8×(\frac{1}{2^3})^4\\&=\frac{1}{2}×2^{16}×\frac{1}{2^{12}}\\&=\frac{1}{2}×16\\&=8\end{aligned}$
【答案】
化简结果为$\frac{1}{2}x^8y^4$，求值结果为$\boxed{8}$
【知识点】
单项式乘单项式；积的乘方；同底数幂的乘法
【点评】
本题是整式运算的基础题型，核心考查单项式乘法运算法则的应用，先化简后代入求值是此类题的标准解题思路，代入计算时灵活转化幂的底数可以有效简化运算，减少计算失误。
【难度系数】
0.8
本题是整式化简求值类题目，遵循“先化简，再求值”的思路解题即可：首先处理算式中的乘方运算，根据积的乘方法则展开$(xy)^2$；再依据单项式乘单项式的运算法则，将系数、同底数幂分别结合相乘，得到最简整式；最后将$x、y$的取值代入最简式计算，计算时可利用幂的运算性质转化高次幂，降低计算难度，避免直接计算大数幂出错。
【解析】
先对原式化简：
$\begin{aligned}&\frac{1}{7}xy^2 · 14(xy)^2 · \frac{1}{4}x^5\\=&\frac{1}{7}xy^2 · 14x^2y^2 · \frac{1}{4}x^5\\=&(\frac{1}{7}×14×\frac{1}{4})·(x·x^2·x^5)·(y^2·y^2)\\=&\frac{1}{2}x^8y^4\end{aligned}$
将$x=4,y=\frac{1}{8}$代入化简后的式子计算：
$\begin{aligned}\mathrm{原式}&=\frac{1}{2}×4^8×(\frac{1}{8})^4\\&=\frac{1}{2}×(2^2)^8×(\frac{1}{2^3})^4\\&=\frac{1}{2}×2^{16}×\frac{1}{2^{12}}\\&=\frac{1}{2}×16\\&=8\end{aligned}$
【答案】
化简结果为$\frac{1}{2}x^8y^4$，求值结果为$\boxed{8}$
【知识点】
单项式乘单项式；积的乘方；同底数幂的乘法
【点评】
本题是整式运算的基础题型，核心考查单项式乘法运算法则的应用，先化简后代入求值是此类题的标准解题思路，代入计算时灵活转化幂的底数可以有效简化运算，减少计算失误。
【难度系数】
0.8
5.某成年女子体内的血量约为$4× 10^{3}$毫升，每毫升血中红细胞的数量约为$4.2× 10^{9}$个，则该成年女子体内的红细胞大约为多少个？
答案
5. 解 $4×10^3×4.2×10^9$
$=16.8×10^{12}$
$=1.68×10^{13}$(个).
答:该成年女子体内的红细胞大约为 $1.68×10^{13}$ 个.
$=16.8×10^{12}$
$=1.68×10^{13}$(个).
答:该成年女子体内的红细胞大约为 $1.68×10^{13}$ 个.
解析
【分析】
要计算该成年女子体内的红细胞总数，首先明确数量关系：红细胞总个数=体内总血量×每毫升血液中红细胞的数量。已知两个量都是用科学记数法表示的单项式，可按照单项式乘单项式的运算法则计算：先将两个单项式的系数相乘，再将同底数幂部分相乘，最后把结果调整为符合规范的科学记数法形式（即a的取值范围为$1≤|a|＜10$）即可。
【解析】
根据题意列算式计算：
$4×10^3×4.2×10^9$
$=(4×4.2)×(10^3×10^9)$
$=16.8×10^{12}$
$=1.68×10^{13}$(个)
答：该成年女子体内的红细胞大约为$1.68×10^{13}$个。
【答案】
$1.68×10^{13}$个
【知识点】
单项式乘单项式；同底数幂的乘法；科学记数法
【点评】
本题结合生活场景考查整式乘法运算，解题核心是熟练掌握单项式乘单项式的运算法则，同时要注意科学记数法的书写规范，避免出现结果不符合科学记数法要求的错误。
【难度系数】
0.9
要计算该成年女子体内的红细胞总数，首先明确数量关系：红细胞总个数=体内总血量×每毫升血液中红细胞的数量。已知两个量都是用科学记数法表示的单项式，可按照单项式乘单项式的运算法则计算：先将两个单项式的系数相乘，再将同底数幂部分相乘，最后把结果调整为符合规范的科学记数法形式（即a的取值范围为$1≤|a|＜10$）即可。
【解析】
根据题意列算式计算：
$4×10^3×4.2×10^9$
$=(4×4.2)×(10^3×10^9)$
$=16.8×10^{12}$
$=1.68×10^{13}$(个)
答：该成年女子体内的红细胞大约为$1.68×10^{13}$个。
【答案】
$1.68×10^{13}$个
【知识点】
单项式乘单项式；同底数幂的乘法；科学记数法
【点评】
本题结合生活场景考查整式乘法运算，解题核心是熟练掌握单项式乘单项式的运算法则，同时要注意科学记数法的书写规范，避免出现结果不符合科学记数法要求的错误。
【难度系数】
0.9
