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10.已知点 A 在数轴上表示数$\frac{x-1}{3}$，点 B 在数轴上表示数$\frac{2x+1}{2}$，若点 A，B 到原点的距离相等，求 x 的值。
答案
解:根据题意得$\frac{x-1}{3}=\frac{2x+1}{2}$或$\frac{x-1}{3}=-\frac{2x+1}{2}$,
解得 $x=-\frac{5}{4}$或 $x=-\frac{1}{8}$。
解得 $x=-\frac{5}{4}$或 $x=-\frac{1}{8}$。
解析
【分析】
数轴上点到原点的距离等于该点所表示数的绝对值，若两点到原点距离相等，则这两个点表示的数的绝对值相等。根据绝对值的性质，绝对值相等的两个数要么相等，要么互为相反数，因此我们分两种情况列出一元一次方程，分别求解即可得到x的取值。
【解析】
解：
∵点A、B到原点的距离相等
∴$\left|\frac{x-1}{3}\right|=\left|\frac{2x+1}{2}\right|$
分两种情况讨论：
情况1：两数相等，即$\frac{x-1}{3}=\frac{2x+1}{2}$
去分母，两边同时乘以6得：$2(x-1)=3(2x+1)$
去括号得：$2x-2=6x+3$
移项、合并同类项得：$-4x=5$
系数化为1得：$x=-\frac{5}{4}$
情况2：两数互为相反数，即$\frac{x-1}{3}=-\frac{2x+1}{2}$
去分母，两边同时乘以6得：$2(x-1)=-3(2x+1)$
去括号得：$2x-2=-6x-3$
移项、合并同类项得：$8x=-1$
系数化为1得：$x=-\frac{1}{8}$
【答案】
$x=-\frac{5}{4}$或$x=-\frac{1}{8}$
【知识点】
数轴的意义；绝对值的性质；一元一次方程的解法
【点评】
本题解题的核心是结合数轴上点到原点距离的含义，利用绝对值的性质分类讨论列方程，需注意不要遗漏两数互为相反数的情况，避免出现漏解的错误。
【难度系数】
0.6
数轴上点到原点的距离等于该点所表示数的绝对值，若两点到原点距离相等，则这两个点表示的数的绝对值相等。根据绝对值的性质，绝对值相等的两个数要么相等，要么互为相反数，因此我们分两种情况列出一元一次方程，分别求解即可得到x的取值。
【解析】
解：
∵点A、B到原点的距离相等
∴$\left|\frac{x-1}{3}\right|=\left|\frac{2x+1}{2}\right|$
分两种情况讨论：
情况1：两数相等，即$\frac{x-1}{3}=\frac{2x+1}{2}$
去分母，两边同时乘以6得：$2(x-1)=3(2x+1)$
去括号得：$2x-2=6x+3$
移项、合并同类项得：$-4x=5$
系数化为1得：$x=-\frac{5}{4}$
情况2：两数互为相反数，即$\frac{x-1}{3}=-\frac{2x+1}{2}$
去分母，两边同时乘以6得：$2(x-1)=-3(2x+1)$
去括号得：$2x-2=-6x-3$
移项、合并同类项得：$8x=-1$
系数化为1得：$x=-\frac{1}{8}$
【答案】
$x=-\frac{5}{4}$或$x=-\frac{1}{8}$
【知识点】
数轴的意义；绝对值的性质；一元一次方程的解法
【点评】
本题解题的核心是结合数轴上点到原点距离的含义，利用绝对值的性质分类讨论列方程，需注意不要遗漏两数互为相反数的情况，避免出现漏解的错误。
【难度系数】
0.6
11.【综合与实践】阅读下列材料：
绝对值符号中含有未知数的方程叫作绝对值方程。绝对值方程属于代数方程的一种，可分为最简绝对值方程和复杂绝对值方程。
形如$|kx|=c(c≥0)$的方程是最简绝对值方程，根据绝对值的意义，可化为两个一元一次方程$kx=c$和$kx=-c$。
例：解方程$|x|+1=3$。
方法一：当$x≥0$时，原方程可化为$x+1=3$，解得$x=2$；
当$x＜0$时，原方程可化为$-x+1=3$，解得$x=-2$。
所以原方程的解为$x=2$或$x=-2$。
方法二：移项，得$|x|=3-1$，合并同类项，得$|x|=2$，解得$x=\pm2$。
所以原方程的解为$x=2$或$x=-2$。
解方程：
(1)$2|x|+5=13$；
(2)$\frac{2|x|+3}{4}=3-|x|$。
绝对值符号中含有未知数的方程叫作绝对值方程。绝对值方程属于代数方程的一种，可分为最简绝对值方程和复杂绝对值方程。
形如$|kx|=c(c≥0)$的方程是最简绝对值方程，根据绝对值的意义，可化为两个一元一次方程$kx=c$和$kx=-c$。
例：解方程$|x|+1=3$。
方法一：当$x≥0$时，原方程可化为$x+1=3$，解得$x=2$；
当$x＜0$时，原方程可化为$-x+1=3$，解得$x=-2$。
所以原方程的解为$x=2$或$x=-2$。
方法二：移项，得$|x|=3-1$，合并同类项，得$|x|=2$，解得$x=\pm2$。
所以原方程的解为$x=2$或$x=-2$。
解方程：
(1)$2|x|+5=13$；
(2)$\frac{2|x|+3}{4}=3-|x|$。
答案
解：(1) 原方程可化为2|x|=8，|x|=4，解得$x=\pm4$，所以原方程的解为$x=4$或$x=-4$。
(2) 原方程可化为$2|x|+3=12-4|x|$，
$2|x|+4|x|=12-3$，
$6|x|=9$，
$|x|=\frac{3}{2}$，
解得$x=\pm\frac{3}{2}$，
所以原方程的解为$x=\frac{3}{2}$或$x=-\frac{3}{2}$。
(2) 原方程可化为$2|x|+3=12-4|x|$，
$2|x|+4|x|=12-3$，
$6|x|=9$，
$|x|=\frac{3}{2}$，
解得$x=\pm\frac{3}{2}$，
所以原方程的解为$x=\frac{3}{2}$或$x=-\frac{3}{2}$。
解析
【分析】
这两道题都是最简绝对值方程的变形，解题时可先将$\vert x\vert$看作一个整体，按照解一元一次方程的步骤先求出$\vert x\vert$的值，再根据绝对值的性质：正数的绝对值是它本身、负数的绝对值是它的相反数，即可得到$x$的两个互为相反数的解。具体解题时，第(1)题先移项合并求出$\vert x\vert$的值即可得解；第(2)题先去分母，再移项合并求出$\vert x\vert$的值，最后得到方程的解。
【解析】
(1) 移项，得$2\vert x\vert=13-5$，合并同类项得$2\vert x\vert=8$，系数化为1得$\vert x\vert=4$，根据绝对值的意义，解得$x=\pm4$。
(2) 去分母，两边同时乘4得$2\vert x\vert+3=12-4\vert x\vert$，移项得$2\vert x\vert+4\vert x\vert=12-3$，合并同类项得$6\vert x\vert=9$，系数化为1得$\vert x\vert=\frac{3}{2}$，根据绝对值的意义，解得$x=\pm\frac{3}{2}$。
【答案】
(1) $x=4$或$x=-4$；
(2) $x=\frac{3}{2}$或$x=-\frac{3}{2}$。
【知识点】
绝对值的性质、解一元一次方程、绝对值方程解法
【点评】
本题属于材料阅读类基础题，重点考查对材料中绝对值方程解法的迁移运用能力，解题核心是将$\vert x\vert$看作整体先行求解，再结合绝对值性质得到最终解，熟练掌握一元一次方程的解法是解题的前提。
【难度系数】
0.8
这两道题都是最简绝对值方程的变形，解题时可先将$\vert x\vert$看作一个整体，按照解一元一次方程的步骤先求出$\vert x\vert$的值，再根据绝对值的性质：正数的绝对值是它本身、负数的绝对值是它的相反数，即可得到$x$的两个互为相反数的解。具体解题时，第(1)题先移项合并求出$\vert x\vert$的值即可得解；第(2)题先去分母，再移项合并求出$\vert x\vert$的值，最后得到方程的解。
【解析】
(1) 移项，得$2\vert x\vert=13-5$，合并同类项得$2\vert x\vert=8$，系数化为1得$\vert x\vert=4$，根据绝对值的意义，解得$x=\pm4$。
(2) 去分母，两边同时乘4得$2\vert x\vert+3=12-4\vert x\vert$，移项得$2\vert x\vert+4\vert x\vert=12-3$，合并同类项得$6\vert x\vert=9$，系数化为1得$\vert x\vert=\frac{3}{2}$，根据绝对值的意义，解得$x=\pm\frac{3}{2}$。
【答案】
(1) $x=4$或$x=-4$；
(2) $x=\frac{3}{2}$或$x=-\frac{3}{2}$。
【知识点】
绝对值的性质、解一元一次方程、绝对值方程解法
【点评】
本题属于材料阅读类基础题，重点考查对材料中绝对值方程解法的迁移运用能力，解题核心是将$\vert x\vert$看作整体先行求解，再结合绝对值性质得到最终解，熟练掌握一元一次方程的解法是解题的前提。
【难度系数】
0.8
