杆秤是我国传统的称重工具,它利用秤砣到秤纽的水平距离,得出秤钩上所挂物体的质量.杆秤的核心原理是杠杆平衡,即“阻力×阻力臂＝动力×动力臂”.八(3)班的宋楠利用这个原理制作了一个称量物体质量的简易杆秤.制作方法如下:
第一步:在一根均匀细木杆上标上均匀的刻度(单位长度为1 cm),确定支点O,并用细麻绳固定,在支点O左侧2 cm的点A处固定一个金属吊钩作为秤钩；
第二步:取一个质量为0.5 kg的金属物体作为秤砣.
(1)如图①,把重物挂在秤钩上,秤砣挂在支点O右侧的点B处,杆秤平衡,就能称得重物的质量.当重物的质量变化时,OB的长随之变化.设OB的长为x cm,重物的质量为$ y_1 $ kg.
① 写出$ y_1 $与$ x $之间的函数表达式,
② 若$ 0＜x＜48 $,求$ y_1 $的取值范围；
(2) 宋楠将这个简易杆秤作了小修改,改变了支点O的位置和秤砣的质量,发现重物的质量$ y_2 $(kg)是OB的长x(cm)的一次函数,所记录的若干次称重数据如下表所示:
| $ x $/cm | 2 | 4 | 6 | 8 | 10 |
| --- | --- | --- | --- | --- | --- |
| $ y_2 $/kg | 1 | 1.5 | 2 | 2.5 | 3 |
① 在图②中画出该函数的图象,并求出$ y_2 $与$ x $之间的函数表达式；
② 若OB的长的最大值是30 cm,求可称重物的最大质量.

; 解：​$(1)①$​由题意得​$2y_{1} = 0.5x，$​∴​$y_{1}=\frac {0.5x}2=\frac 14x$​ ②解：由​$①$​得​$y_{1} = \frac 14x，$​∵​$\frac 14＞0，$​∴​$y_{1}$​是关于​$x$​的一次函数，且​$y_{1}$​的值随​$x$​值的增大而增大当​$x = 0$​时，​$y_{1}=\frac 14×0 = 0；$​当​$x = 48$​时，​$y_{1}=\frac 14×48 = 12$​又∵​$0＜x＜48，$​∴​$y_{1}$​的取值范围为​$0＜y_{1}＜12$​​$ (2)①$​设​$y_{2}$​与​$x$​之间的函数表达式为​$y_{2} = kx + b$​将​$(2，$​​$1)$​和​$(4，$​​$1.5)$​分别代入​$y_{2} = kx + b$​中，得​$\begin {cases}2k + b = 1\\4k + b = 1.5\end {cases}，$​解得​$\begin {cases}{k=\frac 14}\\{b=\frac 12}\end {cases}$​∴​$y_{2}$​与​$x$​之间的函数表达式为​$y_{2}=\frac 14x+\frac 12，$​函数图象如图所示​$ ②$​由​$①$​得​$y_{2}=\frac 14x+\frac 12$​∵​$\frac 14＞0，$​∴​$y_{2}$​的值随​$x$​值的增大而增大当​$x = 30$​时，​$y_{2}=\frac 14×30+\frac 12=8$​∴可称重物的最大质量为​$8\ \mathrm {kg}$​