8. 亮点原创·已知在$△ ABC$中，$AC = 12$，$AB = 15$，$BC = 9$，$E$，$F$两点分别在边$AB$，$AC$上，连接$EF$，过点$B$作$BD // EF$。若$∠ EFC = 120°$，则$∠ CBD$的度数为______。

30°或150°

9. (2025·江苏苏州模拟)如图,在$△ ABC$中,直线$EF$,$MN$分别为边$AB$,$AC$的垂直平分线,交$BC$于$F$,$N$两点,连接$AF$,$AN$.若$BF = 4$,$FN = 3$,$CN = 5$,则$S_{△ ABC}=$______．

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10. * 如图,在$5×5$的正方形网格(每个小正方形的边长均为1)中,从格点$A,B,C,D$四点中任取三点构成一个三角形,其中恰好是直角三角形的有______个.

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11. (2025·江苏扬州模拟)已知$△ ABC$的三边长分别是$a,b,c$，且$a = n^2 - 1, b = 2n, c = n^2 + 1$($n$为大于1的正整数).
（1）判断$△ ABC$的形状；
（2）若以$b$为直径的半圆面积为$2π$，求$△ ABC$的面积；
（3）若以$a,b$为直径的半圆面积分别为$p,q$，求以$c$为直径的半圆面积(用含$p,q$的代数式表示).

解：​$(1)\triangle ABC$​是直角三角形，理由如下：∵​$\triangle ABC$​的三边长分别是​$a，$​​$b，$​​$c$​且​$a = n^2-1，$​​$b = 2n，$​​$c = n^2+1$​∴​$a^2+b^2=(n^2-1)^2+(2n)^2$​​$=n^4-2n^2+1 + 4n^2=n^4+2n^2+1，$​​$c^2=(n^2+1)^2=n^4+2n^2+1$​即​$a^2+b^2=c^2$​∴​$\triangle ABC$​是直角三角形，且​$∠C = 90°$​​$ (2)$​∵以​$b$​为直径的半圆面积为​$2\pi$​∴​$\frac 12\pi ·(\frac {b}2)^2=2\pi ，$​解得​$b = 4$​又​$b = 2n，$​∴​$2n = 4，$​解得​$n = 2$​又​$a = n^2-1，$​∴​$a = 3$​由​$(1)$​得​$∠C = 90°$​∴​$\triangle ABC$​的面积为​$\frac 12ab=\frac 12×3×4 = 6$​​$ (3)$​∵以​$a，$​​$b$​为直径的半圆面积分别为​$p，$​​$q$​∴​$p=\frac 12\pi ·(\frac {a}2)^2=\frac {\pi a^2}8，$​​$q=\frac 12\pi ·(\frac {b}2)^2=\frac {\pi b^2}8$​由​$(1)$​得​$a^2+b^2=c^2$​∴以​$c $​为直径的半圆面积为​$\frac 12\pi ·(\frac {c}2)^2=\frac {\pi c^2}8=\frac {\pi (a^2+b^2)}8$​​$=\frac {\pi a^2}8+\frac {\pi b^2}8=p + q$​

12. 如图,在$△ ABC$中,$∠ ACB = 90°,AC = BC,P$是$△ ABC$内部一点,且$PB = 1$,$PC = 2,PA = 3$,则$∠ BPC$的度数为( )

A. $135°$
B. $145°$
C. $155°$
D. $165°$

A

13. 已知在 $\mathrm{Rt}△ ABC$ 中，$∠ ABC = 90°$，$AB = BC = 4$，平面内有一点 $D$，连接 $CD,AD$。若 $CD = 2,AD = 6$，则 $∠ BCD$ 的度数为______。

45°或135°

14. 新趋势 推导探究 如图,在 $Rt△ ABC$ 中, $∠ ACB = 90°, CD ⊥ AB$, 设 $AC = b$, $BC = a, AB = c, CD = h$.
(1) 求证: $\dfrac{1}{a^2} + \dfrac{1}{b^2} = \dfrac{1}{h^2}$;
(2) 求证: $a + b ＜ c + h$;
(3) 判断以 $a + b, h, c + h$ 为三边长的三角形的形状,并说明理由.

证明：​$(1)$​∵​$∠ACB = 90°，$​​$CD\perp AB$​∴​$S_{\triangle ABC}=\frac 12BC·AC=\frac 12\ \mathrm {A}B·CD$​∵​$AC = b，$​​$BC = a，$​​$AB = c，$​​$CD = h$​∴​$ab = ch，$​即​$a^2b^2=c^2\ \mathrm {h}^2$​在​$Rt\triangle ABC$​中，由勾股定理，得​$AC^2+BC^2=AB^2$​∴​$a^2+b^2=c^2，$​即​$a^2b^2=(a^2+b^2)h^2$​∴​$\frac {a^2+b^2}{a^2b^2}=\frac 1{h^2}，$​即​$\frac {a^2}{a^2b^2}+\frac {b^2}{a^2b^2}=\frac 1{h^2}$​∴​$\frac 1{a^2}+\frac 1{b^2}=\frac 1{h^2}$​​$(2)$​由​$(1)$​得​$a^2+b^2=c^2，$​​$ab = ch$​∴​$a^2+b^2＜c^2+h^2$​∴​$a^2+b^2+2ab＜c^2+h^2+2ch$​又​$(a + b)^2=a^2+b^2+2ab，$​​$(c + h)^2=c^2+h^2+2ch$​∴​$(a + b)^2＜(c + h)^2$​又​$a + b>0，$​​$c + h>0$​∴​$a + b＜c+h$​​$(3)$​解：以​$a + b，$​​$h，$​​$c + h $​为三边长的三角形是直角三角形，理由如下：由​$(1)$​得​$a^2+b^2=c^2，$​​$ab = ch$​∴​$h^2+(a + b)^2=h^2+a^2+2ab + b^2$​​$=h^2+2ch + c^2，$​​$(c + h)^2=c^2+2ch + h^2$​∴​$(a + b)^2+h^2=(c + h)^2$​∴以​$a + b，$​​$h，$​​$c + h $​为三边长的三角形是直角三角形