8 如图,某博览会上有一圆形展示区,在其圆形边缘的点 P 处安装了一台监视器,它的监控角度是$55°$,为了监控整个展区,则最少需要在圆形边缘上安装监视器的数量为 （ ）
A. 2台
B. 3台
C. 4台
D. 5台

C

9 如图,在平面直角坐标系中,$\odot P$的圆心在$x$轴上,且经过点$A(m,-3)$和点$B(-1,n)$,$C$是圆在第一象限内的任意一点,且$∠ ACB=45°$,则$\odot P$的圆心坐标是 （ ）
A. $(1,0)$
B. $(2,0)$
C. $(3,0)$
D. $(4,0)$

B

10（易错题）（2024宿迁宿城期中）在半径为3的$\odot O$中，弦$AB=3\sqrt{2}$，弦$AC=3$，则$∠ BAC=$______．

$105^{\circ}$或$15^{\circ}$

11 如图，A，B，O是单位为1的正方形网格上的三个格点，$\odot O$的半径为OA，P是优弧AB的中点，则$△ APB$的面积为$\underline{\hspace{5em}}$．

$\frac{\sqrt{2}+1}{2}$

12 如图,在四边形 ABCD 中,$AD=BC,∠B=∠D$,AD 不平行于 BC,过点 C 作$CE// AD$交$△ ABC$的外接圆 O 于点 E,连接 AE.
(1) 求证:四边形 AECD 为平行四边形;
(2) 连接 CO,求证:CO 平分$∠BCE$.

证明：​$(1)$​由圆周角定理，得​$∠B=∠E$​​$ $​又​$∠B=∠D，$​∴​$∠E=∠D$​∵​$CE// AD，$​∴​$∠D+∠ECD = 180°$​∴​$∠E+∠ECD = 180°，$​∴​$AE// CD$​∴四边形​$AECD$​为平行四边形​$ (2)$​过点​$O$​作​$OM\perp BC$​于点​$M，$​​$ON\perp CE$​于点​$N$​∵四边形​$AECD$​为平行四边形，∴​$AD = CE$​​$ $​又​$AD = BC，$​∴​$CE = CB$​∴​$OM = ON$​​$ $​又​$OM\perp BC，$​​$ON\perp CE$​∴​$CO$​平分​$∠BCE$​ ;

13 如图,在$\odot O$中,$P$为$\overset{\frown}{AB}$的中点,弦$AD,PC$互相垂直,垂足为$M$,$BC$分别与$AD,PD$相交于点$E,N$,连接$BD,MN$.
(1) 求证:$N$为$BE$的中点;
(2) 若$\odot O$的半径为$8$,$\overset{\frown}{AB}$的度数为$90°$,求线段$MN$的长.

​$ (1)$​证明：∵​$AD\perp P C，$​∴​$∠EMC = 90°$​∵​$P $​为​$\widehat {AB}$​的中点，∴​$\widehat {P A}=\widehat {P B}$​∴​$∠ADP=∠BCP=∠BDP$​∵​$∠CEM=∠DEN，$​∴​$∠DNE=∠EMC = 90°=∠DNB$​∵​$∠BDP=∠ADP，$​∴​$∠DEN=∠DBN$​∴​$DE = DB$​​$ $​又​$P D\perp BC，$​∴​$EN = BN$​∴​$N$​为​$BE$​的中点​$ (2)$​解：如图，连接​$OA，$​​$OB，$​​$AB，$​​$AC$​∵​$\widehat {AB}$​的度数为​$90°，$​∴​$∠AOB = 90°$​∵​$OA = OB = 8，$​∴​$AB = 8\sqrt 2$​​$ $​由​$(1)$​同理，得​$AM = EM$​∵​$EN = BN，$​∴​$MN$​是​$\triangle AEB$​的中位线∴​$MN=\frac 12\ \mathrm {A}B = 4\sqrt 2$​ ;