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四、解决问题。
1.“八百里加急”，就是指按照每天800里的速度传递信件。边塞和长安相距三千里，士兵要八百里加急从边塞向长安传递军情。（“里”是一种长度单位）
（1）出发t天后，士兵离边塞和长安分别有多远？并画出线段图。
（2）当t＝3时，士兵离边塞和长安分别有多远？
1.“八百里加急”，就是指按照每天800里的速度传递信件。边塞和长安相距三千里，士兵要八百里加急从边塞向长安传递军情。（“里”是一种长度单位）
（1）出发t天后，士兵离边塞和长安分别有多远？并画出线段图。
（2）当t＝3时，士兵离边塞和长安分别有多远？
答案
1.(1)士兵离边塞800t里，离长安(3000－800t)里，图略
(2)$800×3=2400$(里)，$3000-800×3=600$(里)
(2)$800×3=2400$(里)，$3000-800×3=600$(里)
解析
【分析】
解题思路：首先回忆路程的基本计算公式：路程=速度×时间。第（1）问中，士兵从边塞出发，t天行走的路程就是他距离边塞的距离；总路程是边塞到长安的3000里，用总路程减去已经行走的路程，就能得到距离长安的距离。第（2）问是含字母式子的求值，直接把t=3代入第（1）问得到的两个式子，计算出结果即可。线段图可以先画出表示总路程3000里的线段，分别标注两端的地点，再标出t天后的位置，分别标注两段的长度。
【解析】
（1）已知士兵的行进速度是每天800里，行进时间是t天，根据路程=速度×时间：
离边塞的距离 = 已经行进的路程 = 800×t = 800t（里）
边塞和长安总距离是3000里，所以离长安的距离 = 总距离 - 已经行进的路程 = 3000 - 800t（里）
线段图画法：画一条线段，左端标“边塞”，右端标“长安”，线段旁标注总长“3000里”；在线段上取一点代表t天后士兵的位置，该点到边塞的线段标注“800t里”，该点到长安的线段标注“（3000-800t）里”。
（2）当t=3时，代入离边塞的距离的式子：
$800×3 = 2400$（里）
代入离长安的距离的式子：
$3000 - 800×3 = 3000 - 2400 = 600$（里）
【答案】
（1）离边塞800t里，离长安(3000－800t)里，线段图略
（2）离边塞2400里，离长安600里
【知识点】
用字母表示数量关系，路程计算公式，含字母式子求值
【点评】
本题结合传统历史情境考查代数初步知识的应用，解题关键是理清不同距离对应的数量关系，代入数值计算时注意运算顺序，即可顺利解答。
【难度系数】
0.8
解题思路：首先回忆路程的基本计算公式：路程=速度×时间。第（1）问中，士兵从边塞出发，t天行走的路程就是他距离边塞的距离；总路程是边塞到长安的3000里，用总路程减去已经行走的路程，就能得到距离长安的距离。第（2）问是含字母式子的求值，直接把t=3代入第（1）问得到的两个式子，计算出结果即可。线段图可以先画出表示总路程3000里的线段，分别标注两端的地点，再标出t天后的位置，分别标注两段的长度。
【解析】
（1）已知士兵的行进速度是每天800里，行进时间是t天，根据路程=速度×时间：
离边塞的距离 = 已经行进的路程 = 800×t = 800t（里）
边塞和长安总距离是3000里，所以离长安的距离 = 总距离 - 已经行进的路程 = 3000 - 800t（里）
线段图画法：画一条线段，左端标“边塞”，右端标“长安”，线段旁标注总长“3000里”；在线段上取一点代表t天后士兵的位置，该点到边塞的线段标注“800t里”，该点到长安的线段标注“（3000-800t）里”。
（2）当t=3时，代入离边塞的距离的式子：
$800×3 = 2400$（里）
代入离长安的距离的式子：
$3000 - 800×3 = 3000 - 2400 = 600$（里）
【答案】
（1）离边塞800t里，离长安(3000－800t)里，线段图略
（2）离边塞2400里，离长安600里
【知识点】
用字母表示数量关系，路程计算公式，含字母式子求值
【点评】
本题结合传统历史情境考查代数初步知识的应用，解题关键是理清不同距离对应的数量关系，代入数值计算时注意运算顺序，即可顺利解答。
【难度系数】
0.8
2.刘阿姨每天编53个中国结，李阿姨每天编45个中国结。
(1)经过x天，刘阿姨和李阿姨一共编了多少个中国结？
(2)经过x天，刘阿姨比李阿姨多编了多少个中国结？
(3)当x=5时，刘阿姨比李阿姨多编了多少个中国结？
(1)经过x天，刘阿姨和李阿姨一共编了多少个中国结？
(2)经过x天，刘阿姨比李阿姨多编了多少个中国结？
(3)当x=5时，刘阿姨比李阿姨多编了多少个中国结？
答案
2.(1)$98x$个 (2)$8x$个 (3)$8×5=40$(个)
解析
【分析】
本题围绕“工作总量=工作效率×工作时间”的基本数量关系解题：
1. 求两人一共编的中国结数量，可先分别算出两人x天各自编的数量再求和，也可先算两人每天共编的数量再乘天数x；
2. 求刘阿姨比李阿姨多编的数量，可先算两人x天编结总量的差，也可先算刘阿姨每天比李阿姨多编的数量再乘天数x；
3. 第三问属于代入求值，直接将x=5代入第二问得到的含字母的式子中计算即可。
【解析】
(1) 先计算两人每天一共编的中国结数量：$53+45=98$（个）
x天两人一共编的数量：$98× x=98x$（个）
(2) 先计算刘阿姨每天比李阿姨多编的中国结数量：$53-45=8$（个）
x天刘阿姨比李阿姨多编的数量：$8× x=8x$（个）
(3) 将$x=5$代入$8x$中计算：
$8×5=40$（个）
【答案】
(1)$98x$个 (2)$8x$个 (3)$8×5=40$(个)
【知识点】
用字母表示数量关系、含字母式子化简、代入求值
【点评】
本题是用字母表示数的基础应用，结合常见的工作总量计算问题出题，理清数量间的和差关系即可轻松解题，代入求值时注意计算准确即可。
【难度系数】
0.85
本题围绕“工作总量=工作效率×工作时间”的基本数量关系解题：
1. 求两人一共编的中国结数量，可先分别算出两人x天各自编的数量再求和，也可先算两人每天共编的数量再乘天数x；
2. 求刘阿姨比李阿姨多编的数量，可先算两人x天编结总量的差，也可先算刘阿姨每天比李阿姨多编的数量再乘天数x；
3. 第三问属于代入求值，直接将x=5代入第二问得到的含字母的式子中计算即可。
【解析】
(1) 先计算两人每天一共编的中国结数量：$53+45=98$（个）
x天两人一共编的数量：$98× x=98x$（个）
(2) 先计算刘阿姨每天比李阿姨多编的中国结数量：$53-45=8$（个）
x天刘阿姨比李阿姨多编的数量：$8× x=8x$（个）
(3) 将$x=5$代入$8x$中计算：
$8×5=40$（个）
【答案】
(1)$98x$个 (2)$8x$个 (3)$8×5=40$(个)
【知识点】
用字母表示数量关系、含字母式子化简、代入求值
【点评】
本题是用字母表示数的基础应用，结合常见的工作总量计算问题出题，理清数量间的和差关系即可轻松解题，代入求值时注意计算准确即可。
【难度系数】
0.85
3.下图描述的是一辆汽车从昆明开往丽江的行程,请根据图中信息回答问题。
(1)用含有字母的式子表示昆明到丽江的路程。
(2)如果$a=90$,这辆汽车要行驶多少千米到达丽江？
(1)用含有字母的式子表示昆明到丽江的路程。
(2)如果$a=90$,这辆汽车要行驶多少千米到达丽江？
答案
3.(1)$(4a+176)\mathrm{km}$ (2)$4×90+176=536(\mathrm{km})$
解析
【分析】
要解决这两个问题，首先明确总路程的构成：昆明到丽江的总路程等于已经行驶的路程加上还未行驶的大理到丽江的路程。
针对第(1)问：先根据“路程=速度×时间”算出已经行驶的路程，再加上剩余的176km，就能得到总路程的表达式。
针对第(2)问：把a=90代入第(1)问得到的式子，按照四则运算顺序计算就能得到总路程。
【解析】
(1) 首先计算汽车已经行驶的路程：已知行驶速度是每小时a km，行驶时间是4小时，根据路程=速度×时间，已行驶路程为 $4× a=4a$（km）。
剩余未行驶的大理到丽江的路程是176km，因此昆明到丽江的总路程为已行驶路程加剩余路程，即 $(4a+176)\mathrm{km}$。
(2) 当$a=90$时，将其代入总路程的表达式计算：
$4a+176$
$=4×90+176$
$=360+176$
$=536(\mathrm{km})$
【答案】
(1) $(4a+176)\mathrm{km}$
(2) $536\mathrm{km}$
【知识点】
用字母表示数量关系、含字母式子求值、行程问题公式
【点评】
本题结合实际行程场景，考查对数量关系的梳理能力和用字母表示数的应用能力，解题关键是清晰拆分总路程的组成部分，代入求值时注意运算顺序即可。
【难度系数】
0.85
要解决这两个问题，首先明确总路程的构成：昆明到丽江的总路程等于已经行驶的路程加上还未行驶的大理到丽江的路程。
针对第(1)问：先根据“路程=速度×时间”算出已经行驶的路程，再加上剩余的176km，就能得到总路程的表达式。
针对第(2)问：把a=90代入第(1)问得到的式子，按照四则运算顺序计算就能得到总路程。
【解析】
(1) 首先计算汽车已经行驶的路程：已知行驶速度是每小时a km，行驶时间是4小时，根据路程=速度×时间，已行驶路程为 $4× a=4a$（km）。
剩余未行驶的大理到丽江的路程是176km，因此昆明到丽江的总路程为已行驶路程加剩余路程，即 $(4a+176)\mathrm{km}$。
(2) 当$a=90$时，将其代入总路程的表达式计算：
$4a+176$
$=4×90+176$
$=360+176$
$=536(\mathrm{km})$
【答案】
(1) $(4a+176)\mathrm{km}$
(2) $536\mathrm{km}$
【知识点】
用字母表示数量关系、含字母式子求值、行程问题公式
【点评】
本题结合实际行程场景，考查对数量关系的梳理能力和用字母表示数的应用能力，解题关键是清晰拆分总路程的组成部分，代入求值时注意运算顺序即可。
【难度系数】
0.85
1.观察图形,思考下面的问题并填空。
(1)第4个图形中有(
(2)第n个图形中有(
(3)照这样的规律摆下去,当摆到第27根火柴时,摆出的图形的形状是(
(1)第4个图形中有(
9
)根火柴。(2)第n个图形中有(
2n+1
)根火柴。(3)照这样的规律摆下去,当摆到第27根火柴时,摆出的图形的形状是(
梯
)形。答案
1.(1)9 (2)$2n+1$ (3)梯
解析
【分析】
我们可以先数出前几个图形的火柴数量，对比数量和图形序号的关系找规律：首先数得第1个图形有3根火柴，第2个有5根，第3个有7根，能发现每多1个三角形，火柴就增加2根。再推导通用规律：第1个对应3=2×1+1，第2个对应5=2×2+1，第3个对应7=2×3+1，就能得到第n个图形的火柴数公式。第三问先把火柴数27代入公式算出对应的图形序号，再观察序号奇偶性和图形形状的对应关系，就能判断形状。
【解析】
(1) 依次统计前3个图形的火柴数：第①个3根，第②个5根，第③个7根，规律是后一个图形比前一个多2根火柴，所以第④个图形的火柴数为7+2=9根。
(2) 观察火柴数和序号n的关系：
n=1时，火柴数=2×1+1=3
n=2时，火柴数=2×2+1=5
n=3时，火柴数=2×3+1=7
以此类推，第n个图形的火柴数为2n+1根。
(3) 当火柴数为27时，代入公式得2n+1=27，计算得2n=26，n=13。
观察图形形状规律：n=1是三角形，n为大于1的偶数时是平行四边形，n为大于1的奇数时是梯形，13是大于1的奇数，所以图形是梯形。
【答案】
(1)9 (2)$2n+1$ (3)梯
【知识点】
图形找规律、用字母表示数、简易方程应用
【点评】
本题是图形规律类的基础题，需要通过观察已知图形的数量变化归纳出通用规律，再用规律解决实际问题，能很好地锻炼观察能力和归纳应用能力。
【难度系数】
0.75
我们可以先数出前几个图形的火柴数量，对比数量和图形序号的关系找规律：首先数得第1个图形有3根火柴，第2个有5根，第3个有7根，能发现每多1个三角形，火柴就增加2根。再推导通用规律：第1个对应3=2×1+1，第2个对应5=2×2+1，第3个对应7=2×3+1，就能得到第n个图形的火柴数公式。第三问先把火柴数27代入公式算出对应的图形序号，再观察序号奇偶性和图形形状的对应关系，就能判断形状。
【解析】
(1) 依次统计前3个图形的火柴数：第①个3根，第②个5根，第③个7根，规律是后一个图形比前一个多2根火柴，所以第④个图形的火柴数为7+2=9根。
(2) 观察火柴数和序号n的关系：
n=1时，火柴数=2×1+1=3
n=2时，火柴数=2×2+1=5
n=3时，火柴数=2×3+1=7
以此类推，第n个图形的火柴数为2n+1根。
(3) 当火柴数为27时，代入公式得2n+1=27，计算得2n=26，n=13。
观察图形形状规律：n=1是三角形，n为大于1的偶数时是平行四边形，n为大于1的奇数时是梯形，13是大于1的奇数，所以图形是梯形。
【答案】
(1)9 (2)$2n+1$ (3)梯
【知识点】
图形找规律、用字母表示数、简易方程应用
【点评】
本题是图形规律类的基础题，需要通过观察已知图形的数量变化归纳出通用规律，再用规律解决实际问题，能很好地锻炼观察能力和归纳应用能力。
【难度系数】
0.75
2.小明将测得的某一弹簧的长度与悬挂的物体的质量之间的关系记录如下表(弹簧未损坏)。
(1)弹簧的总长度是(
(2)当$x=2.5$时,弹簧长(
(1)弹簧的总长度是(
5+0.5x
)cm。(2)当$x=2.5$时,弹簧长(
6.25
)cm。答案
2.(1)$5+0.5x$ (2)6.25
解析
【分析】
解题时先观察表格找规律：首先看x=0时弹簧的长度，这是弹簧的原长；再对比每组数据，看悬挂物体质量每增加1kg时弹簧长度的变化量，就能得到弹簧总长度和质量x的数量关系。第二问直接把x的数值代入第一问得到的关系式计算即可。
【解析】
(1) 观察表格，当悬挂物体质量x=0kg时，弹簧总长度是5cm，这是弹簧的原长。
当x增加1kg时，弹簧长度增加：$5.5-5=0.5\mathrm{cm}$，所以挂xkg物体时，弹簧伸长的长度是$0.5x$cm。
弹簧总长度=原长+伸长的长度，即总长度为$5+0.5x$cm。
(2) 当$x=2.5$时，代入$5+0.5x$计算：
$5+0.5×2.5$
$=5+1.25$
$=6.25(\mathrm{cm})$
【答案】
(1)$5+0.5x$；(2)6.25
【知识点】
用字母表示数，含字母式子的求值，找规律
【点评】
本题结合弹簧伸长的实际场景，考查对数量关系的梳理能力，只要找准弹簧原长和单位质量对应的伸长量，就能轻松列出关系式，代入求值时注意计算准确率即可。
【难度系数】
0.85
解题时先观察表格找规律：首先看x=0时弹簧的长度，这是弹簧的原长；再对比每组数据，看悬挂物体质量每增加1kg时弹簧长度的变化量，就能得到弹簧总长度和质量x的数量关系。第二问直接把x的数值代入第一问得到的关系式计算即可。
【解析】
(1) 观察表格，当悬挂物体质量x=0kg时，弹簧总长度是5cm，这是弹簧的原长。
当x增加1kg时，弹簧长度增加：$5.5-5=0.5\mathrm{cm}$，所以挂xkg物体时，弹簧伸长的长度是$0.5x$cm。
弹簧总长度=原长+伸长的长度，即总长度为$5+0.5x$cm。
(2) 当$x=2.5$时，代入$5+0.5x$计算：
$5+0.5×2.5$
$=5+1.25$
$=6.25(\mathrm{cm})$
【答案】
(1)$5+0.5x$；(2)6.25
【知识点】
用字母表示数，含字母式子的求值，找规律
【点评】
本题结合弹簧伸长的实际场景，考查对数量关系的梳理能力，只要找准弹簧原长和单位质量对应的伸长量，就能轻松列出关系式，代入求值时注意计算准确率即可。
【难度系数】
0.85
