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1 教材P8习题T1·变式（2025·江苏苏州姑苏区期中）中国是发现和研究勾股定理最古老的国家之一.中国古代数学家称直角三角形为勾股形，较短的直角边称为勾，另一直角边称为股，斜边称为弦（如图），所以勾股定理也称为勾股弦定理.小立发现勾是9，股是40，弦长为（
A.7
B.31
C.41
D.49
C
）.A.7
B.31
C.41
D.49
答案
1.C
2 教材P3随堂练习T1·拓展 如图，直角三角形的两直角边长分别为6和8，则带阴影的正方形面积是
（第2题）
100
。（第2题）答案
2.100
3 在$△ ABC$中，$∠ C=90°$，$∠ A$，$∠ B$，$∠ C$所对的边分别为$a$，$b$，$c$.
(1)若$a=6$，$c=10$，则$b=$
(2)若$a:b=3:4$，$c=5$，则$a=$
(1)若$a=6$，$c=10$，则$b=$
8
；(2)若$a:b=3:4$，$c=5$，则$a=$
3
，$b=$4
.答案
3.(1)8 (2)3 4
4 如图，$∠ MCF = ∠ FCD$，$∠ MCE = ∠ ECB$，$EF = 20$，则$CE^2 + CF^2 =$
400
。答案
4.400
5 (2025·浙江温州期末)如图，在△ABC中，D为BC上一点，BD=5，CD=4，且AC=AD。记AB长为x，AC长为y，当x，y变化时，下列代数式的值不变的是（
A.$x^2 - y^2$
B.$x^2 + y^2$
C.$x - y$
D.$x + y$
A
）。A.$x^2 - y^2$
B.$x^2 + y^2$
C.$x - y$
D.$x + y$
答案
5.A [解析]如图，过点 A 作AE⊥BC，垂足为 E，
∴∠AEB=90°.
∵AC=AD，AE⊥BC，
∴DE=CE=$\frac{1}{2}$CD=2,
∵BD=5，
∴BE=BD+DE=5+2=7.
在 Rt△ABE 中，$AE^2=AB^2-BE^2=x^2-49$,在 Rt△ADE 中，$AE^2=AD^2-DE^2=y^2-4$,
∴$x^2-49=y^2-4$,
∴$x^2-y^2=45$,
∴当 x ,y 变化时，$x^2-y^2$的值不变.故选 A.
6 教材P3随堂练习T1·变式 如图，图中的四边形均为正方形，三角形为直角三角形，最大的正方形的边长为7 cm，则图中A，B两个正方形的面积之和为(
A.28 cm²
B.42 cm²
C.49 cm²
D.63 cm²
C
)。A.28 cm²
B.42 cm²
C.49 cm²
D.63 cm²
答案
6.C
7 教材P3随堂练习T1·拓展 如图，在$\mathrm{Rt}△ ABC$中，分别以这个三角形的三边为边长作正方形，面积分别记为$S_1$，$S_2$，$S_3$，若$S_1 + S_3 - S_2 = 16$，则阴影部分的面积为
4
。答案
7.4
8 如图，在 $\mathrm{Rt}△ ABC$ 中，$∠ ACB=90°$，$AC=3$，$BC=4$，$CD⊥ AB$，垂足为 $D$. 求 $CD$ 的长.
答案
8.
∵∠ACB=90°,AC=3,BC=4,
∴$AB^2=AC^2+BC^2=3^2+4^2=5^2$,
∴AB=5.
∵CD⊥AB,
∴$S_{△ABC}=\frac{1}{2}AB·CD=\frac{1}{2}AC·BC$,
∴AB·CD=AC·BC,即5CD=3×4=12,
∴$CD=\frac{12}{5}$,即 CD 的长为$\frac{12}{5}$.
一题多解 在 Rt△ABC 中,AC=3,BC=4,
∴$AB^2=AC^2+BC^2=3^2+4^2=5^2$,
∴AB=5.设 AD=x,则 BD=5-x.在 Rt△ADC 中,$CD^2=AC^2-AD^2=3^2-x^2$,在 Rt△BDC 中,$CD^2=BC^2-BD^2=4^2-(5-x)^2$,
∴$3^2-x^2=4^2-(5-x)^2$,解得 $x=\frac{9}{5}$,
∴$CD^2=AC^2-AD^2=3^2-(\frac{9}{5})^2=\frac{144}{25}$,故 $CD=\frac{12}{5}$.
∵∠ACB=90°,AC=3,BC=4,
∴$AB^2=AC^2+BC^2=3^2+4^2=5^2$,
∴AB=5.
∵CD⊥AB,
∴$S_{△ABC}=\frac{1}{2}AB·CD=\frac{1}{2}AC·BC$,
∴AB·CD=AC·BC,即5CD=3×4=12,
∴$CD=\frac{12}{5}$,即 CD 的长为$\frac{12}{5}$.
一题多解 在 Rt△ABC 中,AC=3,BC=4,
∴$AB^2=AC^2+BC^2=3^2+4^2=5^2$,
∴AB=5.设 AD=x,则 BD=5-x.在 Rt△ADC 中,$CD^2=AC^2-AD^2=3^2-x^2$,在 Rt△BDC 中,$CD^2=BC^2-BD^2=4^2-(5-x)^2$,
∴$3^2-x^2=4^2-(5-x)^2$,解得 $x=\frac{9}{5}$,
∴$CD^2=AC^2-AD^2=3^2-(\frac{9}{5})^2=\frac{144}{25}$,故 $CD=\frac{12}{5}$.
9 传统文化 “葭生池中”问题（2024·巴中中考）“今有方池一丈，葭生其中央，出水一尺，引葭赴岸，适与岸齐.问：水深几何？”这是我国数学史上的“葭生池中”问题.即$AC=5,DC=1,$
$BD=BA$,则$BC=(\quad)$.
A.8
B.10
C.12
D.13
$BD=BA$,则$BC=(\quad)$.
A.8
B.10
C.12
D.13
答案
9.C
