10 在$\mathrm{Rt}△ ABC$中，$∠ C=90°$，$∠ A$，$∠ B$，$∠ C$的对边分别为$a$，$b$，$c$，$a+b=14\ \mathrm{cm}$，$c=10\ \mathrm{cm}$，则$\mathrm{Rt}△ ABC$的面积等于________。

10.$24\ \mathrm{cm}^2$

11 如图,在$△ ABC$中,$∠ ACB=90°$,$BC=8$,$BE=4$,$AE=AC$,求$AE$的长.解题思路:设$AE=AC=x$,根据勾股定理,得$AC^2 + BC^2 = AB^2$,则$AE=$.

11.6

12 如图，$AB⊥ BC$于点$B$，$AB⊥ AD$于点$A$，点$E$是$CD$的中点，若$BC=5$，$AD=10$，$BE=\frac{13}{2}$，则$AB$的长是。

12.12

13 (2025·江苏扬州江都区期中)如图,在$Rt△ ABC$中,已知$∠ A=90°$,D是斜边BC的中点,$DE⊥ BC$交AB于点E,连接CE.
(1)求证:$BE^2 - AE^2 = AC^2$;
(2)若$AC=6$,$BD=5$,求AE的长.

13. (1)
∵DE⊥BC,D 是斜边 BC 的中点，
∴DE 是线段 BC 的垂直平分线，
∴BE=CE.
垂直平分线上的点到线段两个端点的距离相等
在 Rt△ACE 中,由勾股定理,得$CE^2=AC^2+AE^2$,
∴$BE^2=AC^2+AE^2$,
∴$BE^2-AE^2=AC^2$.
(2)
∵BD=5,D 是斜边 BC 的中点,
∴BC=2BD=10.
在 Rt△ABC 中,由勾股定理,得 AB=8,
∴AB=BE+AE=8.设 AE=x,则 BE=CE=8-x.在 Rt△ACE 中,由勾股定理,得$CE^2=AC^2+AE^2$,即$(8-x)^2=6^2+x^2$,解得 $x=\frac{7}{4}$,
∴$AE=\frac{7}{4}$,即 AE 的长为$\frac{7}{4}$.

14 中考新考法 解题方法型阅读理解题 在△ABC中，BC＝a，CA＝b，AB＝c.若∠C为直角，则$a^2 + b^2 = c^2$；若∠C为锐角或钝角，则$a^2 + b^2$与$c^2$之间有怎样的大小关系呢？我们一起进行探究吧！
(1)阅读并填空：
如图(1)，若∠C为锐角，则$a^2 + b^2 ＞ c^2$.
证明：如图(2)，过点A作AD⊥BC于点D，则BD＝BC－CD＝a－CD.
在Rt△ABD中，$AD^2 = AB^2 - BD^2$，
在Rt△ACD中，$AD^2 = \_\_\_\_\_\_$，
∴______，
即$c^2 - (a - CD)^2 = b^2 - CD^2$，
∴$a^2 + b^2 - c^2 = 2a · CD$.
∵$a ＞ 0$，$CD ＞ 0$，∴$a^2 + b^2 - c^2 ＞ 0$，
∴$a^2 + b^2 ＞ c^2$.
(2)解答问题：如图(3)，若∠C为钝角，试推导$a^2 + b^2$与$c^2$的大小关系.

14. (1)$AC^2-CD^2$ $AB^2-BD^2=AC^2-CD^2$
(2)$a^2+b^2＜c^2$.理由如下：
如图,过点 A 作 AD⊥BC 交 BC 的延长线于点 D,则 BD=BC+CD.
在 Rt△ABD 中,$AD^2=AB^2-BD^2$,在 Rt△ACD 中,$AD^2=AC^2-CD^2$,
∴$AB^2-BD^2=AC^2-CD^2$,
∴$c^2-(a+CD)^2=b^2-CD^2$,整理,得$a^2+b^2-c^2=-2a·CD$.
∵a＞0,CD＞0,
∴$-2a·CD＜0$,
∴$a^2+b^2＜c^2$.