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8.若有45人参加运土劳动，有30根扁担可供使用，抬土的两人用一根扁担，挑土的一人用一根扁担，应安排多少人抬，多少人挑，可使扁担和人数相配不多不少？若设有x人挑土，则可列方程为（
A.$2x-(30-x)=45$
B.$x+\frac{45-x}{2}=30$
C.$\frac{x}{2}+(45-x)=30$
D.$30-x=45-x$
B
）A.$2x-(30-x)=45$
B.$x+\frac{45-x}{2}=30$
C.$\frac{x}{2}+(45-x)=30$
D.$30-x=45-x$
答案
8.B
解析
【分析】
这是典型的一元一次方程配套问题，解题核心是找准等量关系：挑土所用扁担数+抬土所用扁担数=总扁担数30。首先根据设出的挑土人数x，先算挑土的扁担用量：挑土1人用1根扁担，因此挑土用x根扁担；再算抬土人数：总人数45人，所以抬土人数为(45-x)人，抬土2人用1根扁担，因此抬土用的扁担数为$\frac{45-x}{2}$根，最后将两类扁担数相加等于总扁担数即可列出方程。
【解析】
解：已知安排x人挑土：
1. 挑土的扁担用量：挑土1人配1根扁担，因此挑土共需扁担x根；
2. 抬土的总人数：总人数共45人，因此抬土人数为$(45-x)$人；
3. 抬土的扁担用量：抬土2人配1根扁担，因此抬土共需扁担$\frac{45-x}{2}$根；
4. 总扁担数为30根，根据“挑土扁担数+抬土扁担数=总扁担数”的等量关系，代入得方程：$x+\frac{45-x}{2}=30$，对应选项B。
【答案】
B
【知识点】
一元一次方程应用，配套问题
【点评】
本题属于基础的配套类应用题，解题关键是明确不同劳动模式下人数和扁担数的对应规则，找准等量关系即可快速列出方程。
【难度系数】
0.7
这是典型的一元一次方程配套问题，解题核心是找准等量关系：挑土所用扁担数+抬土所用扁担数=总扁担数30。首先根据设出的挑土人数x，先算挑土的扁担用量：挑土1人用1根扁担，因此挑土用x根扁担；再算抬土人数：总人数45人，所以抬土人数为(45-x)人，抬土2人用1根扁担，因此抬土用的扁担数为$\frac{45-x}{2}$根，最后将两类扁担数相加等于总扁担数即可列出方程。
【解析】
解：已知安排x人挑土：
1. 挑土的扁担用量：挑土1人配1根扁担，因此挑土共需扁担x根；
2. 抬土的总人数：总人数共45人，因此抬土人数为$(45-x)$人；
3. 抬土的扁担用量：抬土2人配1根扁担，因此抬土共需扁担$\frac{45-x}{2}$根；
4. 总扁担数为30根，根据“挑土扁担数+抬土扁担数=总扁担数”的等量关系，代入得方程：$x+\frac{45-x}{2}=30$，对应选项B。
【答案】
B
【知识点】
一元一次方程应用，配套问题
【点评】
本题属于基础的配套类应用题，解题关键是明确不同劳动模式下人数和扁担数的对应规则，找准等量关系即可快速列出方程。
【难度系数】
0.7
9.9人14天完成一件工作的$\frac{3}{5}$，而余下的工作要在4天内完成，则需增加（
A.11人
B.12人
C.13人
D.14人
B
）A.11人
B.12人
C.13人
D.14人
答案
9.B
解析
【分析】
这是典型的工程问题，我们通常把总工作量看作单位“1”，利用“工作总量=单人工作效率×人数×工作时间”的关系求解。第一步先根据已知的9人14天完成$\frac{3}{5}$的条件，算出单人每天的工作效率；第二步根据剩余工作量和4天完成的要求，算出总共需要的人数；最后用总人数减去原有的9人，就能得到需要增加的人数。
【解析】
解：将总工作量看作单位“1”，设每人每天的工作效率为$x$。
根据9人14天完成$\frac{3}{5}$，列方程：
$9×14× x=\frac{3}{5}$
解得：$x=\frac{3}{5}÷126=\frac{1}{210}$
设需要增加$y$人，剩余工作量为$1-\frac{3}{5}=\frac{2}{5}$，要4天完成，列方程：
$(9+y)×4×\frac{1}{210}=\frac{2}{5}$
化简得：$4(9+y)=84$
解得：$y=12$
【答案】
B
【知识点】
工程问题、一元一次方程的应用
【点评】
本题是工程问题的基础考法，核心是先求出单人工作效率，再结合工作量、工作效率、人数、工作时间四者的关系计算，解题时注意所求为增加的人数，不要误算成总人数。
【难度系数】
0.7
这是典型的工程问题，我们通常把总工作量看作单位“1”，利用“工作总量=单人工作效率×人数×工作时间”的关系求解。第一步先根据已知的9人14天完成$\frac{3}{5}$的条件，算出单人每天的工作效率；第二步根据剩余工作量和4天完成的要求，算出总共需要的人数；最后用总人数减去原有的9人，就能得到需要增加的人数。
【解析】
解：将总工作量看作单位“1”，设每人每天的工作效率为$x$。
根据9人14天完成$\frac{3}{5}$，列方程：
$9×14× x=\frac{3}{5}$
解得：$x=\frac{3}{5}÷126=\frac{1}{210}$
设需要增加$y$人，剩余工作量为$1-\frac{3}{5}=\frac{2}{5}$，要4天完成，列方程：
$(9+y)×4×\frac{1}{210}=\frac{2}{5}$
化简得：$4(9+y)=84$
解得：$y=12$
【答案】
B
【知识点】
工程问题、一元一次方程的应用
【点评】
本题是工程问题的基础考法，核心是先求出单人工作效率，再结合工作量、工作效率、人数、工作时间四者的关系计算，解题时注意所求为增加的人数，不要误算成总人数。
【难度系数】
0.7
10.东方红机械厂加工车间有90名工人，平均每人每天加工大齿轮20个或小齿轮15个，已知2个大齿轮与3个小齿轮配成一套，问一天最多可以生产多少套这样成套的产品？
答案
10. 解:设安排 $x$ 名工人加工大齿轮,则加工小齿轮的人数为$(90-x)$人.由题意,得 $20x× 3=15(90-x)× 2$.解得 $x=30$.所以 $90-x=60$.故需要安排 30 人加工大齿轮,60 人加工小齿轮,才能使每天加工的大、小齿轮刚好配套.$20× 30÷ 2=300$(套).答:一天最多可以生产 300 套这样成套的产品.
解析
【分析】
这是典型的产品配套类一元一次方程应用题，解题思路清晰：首先要明确，要让生产的成套产品最多，需使每天生产的大、小齿轮刚好全部配套，没有剩余。第一步先设加工大齿轮的工人数为未知数，加工小齿轮的人数就等于总人数减去加工大齿轮的人数；第二步找准等量关系：已知2个大齿轮和3个小齿轮配成一套，可得“大齿轮总数量×3 = 小齿轮总数量×2”，只有满足这个关系，两种齿轮才不会有多余；第三步根据每人每天加工的齿轮数量，分别表示出大、小齿轮的总数量，代入等量关系列方程求解工人数；最后根据工人数算出大齿轮（或小齿轮）的总数量，除以每套需要的对应齿轮数，就能得到总套数。
【解析】
解：设安排$x$名工人加工大齿轮，则加工小齿轮的人数为$(90-x)$人。
根据配套的数量关系列方程：
$20x× 3=15(90-x)× 2$
化简得：$60x=30(90-x)$
$60x=2700-30x$
$90x=2700$
解得 $x=30$
则加工小齿轮的人数为$90-30=60$（人）
每天生产大齿轮的总数量为$20×30=600$（个）
每套产品需要2个大齿轮，总套数为$600÷2=300$（套）
（用小齿轮验证：每天生产小齿轮$15×60=900$个，$900÷3=300$套，结果一致）
【答案】
300套
【知识点】
一元一次方程的应用；产品配套问题
【点评】
本题是产品配套问题的典型习题，解题核心是准确抓住两种配套部件之间的数量比例关系，建立正确的等量关系列方程求解，解题时要注意不要将比例关系写反，避免列错方程。
【难度系数】
0.7
这是典型的产品配套类一元一次方程应用题，解题思路清晰：首先要明确，要让生产的成套产品最多，需使每天生产的大、小齿轮刚好全部配套，没有剩余。第一步先设加工大齿轮的工人数为未知数，加工小齿轮的人数就等于总人数减去加工大齿轮的人数；第二步找准等量关系：已知2个大齿轮和3个小齿轮配成一套，可得“大齿轮总数量×3 = 小齿轮总数量×2”，只有满足这个关系，两种齿轮才不会有多余；第三步根据每人每天加工的齿轮数量，分别表示出大、小齿轮的总数量，代入等量关系列方程求解工人数；最后根据工人数算出大齿轮（或小齿轮）的总数量，除以每套需要的对应齿轮数，就能得到总套数。
【解析】
解：设安排$x$名工人加工大齿轮，则加工小齿轮的人数为$(90-x)$人。
根据配套的数量关系列方程：
$20x× 3=15(90-x)× 2$
化简得：$60x=30(90-x)$
$60x=2700-30x$
$90x=2700$
解得 $x=30$
则加工小齿轮的人数为$90-30=60$（人）
每天生产大齿轮的总数量为$20×30=600$（个）
每套产品需要2个大齿轮，总套数为$600÷2=300$（套）
（用小齿轮验证：每天生产小齿轮$15×60=900$个，$900÷3=300$套，结果一致）
【答案】
300套
【知识点】
一元一次方程的应用；产品配套问题
【点评】
本题是产品配套问题的典型习题，解题核心是准确抓住两种配套部件之间的数量比例关系，建立正确的等量关系列方程求解，解题时要注意不要将比例关系写反，避免列错方程。
【难度系数】
0.7
11.安装某住宅小区的自来水管，甲单独完成需要14天，乙单独完成需要18天，丙单独完成需要12天，前7天由甲、乙两人合作，但乙中途离开一段时间，后2天由乙、丙合作完成任务，问乙中途离开了几天？
答案
11. 解:设乙中途离开了 $x$ 天.根据题意,得$\frac{7}{14}+\frac{7-x+2}{18}+\frac{2}{12}=1$.解得 $x=3$.答:乙中途离开了 3 天.
解析
【分析】
这是典型的工程问题，解题时先将总工作量看作单位“1”，由此可得甲、乙、丙的工作效率分别为$\frac{1}{14}$、$\frac{1}{18}$、$\frac{1}{12}$。设乙中途离开了$x$天，梳理三人的工作时长：甲全程参与前7天的工作，总工作时长为7天；乙前7天中仅工作了$(7-x)$天，加上后2天的合作时长，总工作时长为$(7-x+2)$天；丙仅参与后2天的工作，总工作时长为2天。根据“各主体工作量之和=总工作量1”的等量关系即可列方程求解。
【解析】
解：设乙中途离开了$x$天，将总工作量看作单位“1”。
甲的工作效率为$\frac{1}{14}$，7天的工作量为$\frac{7}{14}$；
乙的总工作时长为$(7-x+2)$天，工作量为$\frac{7-x+2}{18}$；
丙的工作效率为$\frac{1}{12}$，2天的工作量为$\frac{2}{12}$。
根据总工作量为1，列方程得：
$\frac{7}{14}+\frac{7-x+2}{18}+\frac{2}{12}=1$
化简方程：
$\frac{1}{2}+\frac{9-x}{18}+\frac{1}{6}=1$
两边同乘18消去分母：
$9 + 9 - x + 3 = 18$
合并同类项得：
$21 - x = 18$
解得：$x=3$
【答案】
乙中途离开了3天。
【知识点】
1. 工程问题
2. 一元一次方程的应用
【点评】
本题属于工程类常规应用题，解题核心是将总工作量设为单位“1”，准确梳理每个施工主体的工作时长是列方程的关键，能有效锻炼学生用方程解决实际问题的逻辑思维。
【难度系数】
0.7
这是典型的工程问题，解题时先将总工作量看作单位“1”，由此可得甲、乙、丙的工作效率分别为$\frac{1}{14}$、$\frac{1}{18}$、$\frac{1}{12}$。设乙中途离开了$x$天，梳理三人的工作时长：甲全程参与前7天的工作，总工作时长为7天；乙前7天中仅工作了$(7-x)$天，加上后2天的合作时长，总工作时长为$(7-x+2)$天；丙仅参与后2天的工作，总工作时长为2天。根据“各主体工作量之和=总工作量1”的等量关系即可列方程求解。
【解析】
解：设乙中途离开了$x$天，将总工作量看作单位“1”。
甲的工作效率为$\frac{1}{14}$，7天的工作量为$\frac{7}{14}$；
乙的总工作时长为$(7-x+2)$天，工作量为$\frac{7-x+2}{18}$；
丙的工作效率为$\frac{1}{12}$，2天的工作量为$\frac{2}{12}$。
根据总工作量为1，列方程得：
$\frac{7}{14}+\frac{7-x+2}{18}+\frac{2}{12}=1$
化简方程：
$\frac{1}{2}+\frac{9-x}{18}+\frac{1}{6}=1$
两边同乘18消去分母：
$9 + 9 - x + 3 = 18$
合并同类项得：
$21 - x = 18$
解得：$x=3$
【答案】
乙中途离开了3天。
【知识点】
1. 工程问题
2. 一元一次方程的应用
【点评】
本题属于工程类常规应用题，解题核心是将总工作量设为单位“1”，准确梳理每个施工主体的工作时长是列方程的关键，能有效锻炼学生用方程解决实际问题的逻辑思维。
【难度系数】
0.7
12.(核心素养·应用意识)甲、乙两人打算共同承包一项工程.甲单独做需要30天完成,乙单独做需要20天完成,合同规定15天完成,若未能完成视为违约.甲、乙两人经过商量后签订了该合同.
(1)甲、乙两人能否在合同规定时间内完成该项工程?为什么?
(2)两人合作了9天后,因别处有急事,必须调走1人,两人是否会违约?
(1)甲、乙两人能否在合同规定时间内完成该项工程?为什么?
(2)两人合作了9天后,因别处有急事,必须调走1人,两人是否会违约?
答案
12.(1)解:能.理由如下:设甲、乙两人合作完成此项工程需 $x$ 天.根据题意,得$\frac{x}{30}+\frac{x}{20}=1$,解得$x=12$.因为 $12＜15$,所以甲、乙两人能在合同规定时间内完成该项工程. (2)设剩下的工程由甲继续完成还需 $a$ 天.根据题意,得$\frac{9+a}{30}+\frac{9}{20}=1$,解得 $a=7.5$.因为 $9+7.5=16.5＞15$,所以此时两人违约.设剩下的工程由乙继续完成还需 $b$ 天.根据题意,得$\frac{9}{30}+\frac{9+b}{20}=1$,解得 $b=5$.因为 $9+5=14＜15$,所以此时两人不违约.综上所述,若调走乙,两人会违约;若调走甲,两人不会违约.
解析
【分析】
（1）工程问题通常将总工作量设为单位“1”，先得到甲、乙各自的工作效率，再根据“合作总工作量=甲完成工作量+乙完成工作量”列方程，求出两人合作完成工程的总时间，和合同规定的15天比较即可判断能否按时完成。
（2）先计算两人合作9天完成的工作量，再分两种情况讨论：调走甲后剩余工作由乙单独完成、调走乙后剩余工作由甲单独完成，分别计算剩余工作所需时间，加上已用的9天，与15天比较即可判断是否违约。
【解析】
(1) 能，理由如下：
设甲、乙两人合作完成此项工程需$x$天，把总工作量看作单位“1”，甲的工作效率为$\frac{1}{30}$，乙的工作效率为$\frac{1}{20}$。
根据题意列方程：$\frac{x}{30}+\frac{x}{20}=1$
解得$x=12$。
因为$12＜15$，所以甲、乙两人能在合同规定时间内完成该项工程。
(2) 分两种情况讨论：
① 若调走乙，剩下的工程由甲继续完成，设还需$a$天：
根据总工作量为1列方程：$\frac{9+a}{30}+\frac{9}{20}=1$
解得$a=7.5$。
总用时$9+7.5=16.5＞15$，此时两人违约。
② 若调走甲，剩下的工程由乙继续完成，设还需$b$天：
根据总工作量为1列方程：$\frac{9}{30}+\frac{9+b}{20}=1$
解得$b=5$。
总用时$9+5=14＜15$，此时两人不违约。
【答案】
(1) 能，因为甲乙合作完成该项工程仅需12天，小于合同规定的15天期限；
(2) 若调走乙，两人会违约；若调走甲，两人不会违约。
【知识点】
一元一次方程应用，工程问题，分类讨论
【点评】
本题结合实际工程承包场景命题，考查工程问题中工作量、工作效率、工作时间三者的数量关系应用，第二问需注意存在调走不同人员的两种情况，需分类讨论避免漏解，可有效提升应用意识和逻辑严谨性。
【难度系数】
0.7
（1）工程问题通常将总工作量设为单位“1”，先得到甲、乙各自的工作效率，再根据“合作总工作量=甲完成工作量+乙完成工作量”列方程，求出两人合作完成工程的总时间，和合同规定的15天比较即可判断能否按时完成。
（2）先计算两人合作9天完成的工作量，再分两种情况讨论：调走甲后剩余工作由乙单独完成、调走乙后剩余工作由甲单独完成，分别计算剩余工作所需时间，加上已用的9天，与15天比较即可判断是否违约。
【解析】
(1) 能，理由如下：
设甲、乙两人合作完成此项工程需$x$天，把总工作量看作单位“1”，甲的工作效率为$\frac{1}{30}$，乙的工作效率为$\frac{1}{20}$。
根据题意列方程：$\frac{x}{30}+\frac{x}{20}=1$
解得$x=12$。
因为$12＜15$，所以甲、乙两人能在合同规定时间内完成该项工程。
(2) 分两种情况讨论：
① 若调走乙，剩下的工程由甲继续完成，设还需$a$天：
根据总工作量为1列方程：$\frac{9+a}{30}+\frac{9}{20}=1$
解得$a=7.5$。
总用时$9+7.5=16.5＞15$，此时两人违约。
② 若调走甲，剩下的工程由乙继续完成，设还需$b$天：
根据总工作量为1列方程：$\frac{9}{30}+\frac{9+b}{20}=1$
解得$b=5$。
总用时$9+5=14＜15$，此时两人不违约。
【答案】
(1) 能，因为甲乙合作完成该项工程仅需12天，小于合同规定的15天期限；
(2) 若调走乙，两人会违约；若调走甲，两人不会违约。
【知识点】
一元一次方程应用，工程问题，分类讨论
【点评】
本题结合实际工程承包场景命题，考查工程问题中工作量、工作效率、工作时间三者的数量关系应用，第二问需注意存在调走不同人员的两种情况，需分类讨论避免漏解，可有效提升应用意识和逻辑严谨性。
【难度系数】
0.7
