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9 (2025·泉州模拟)甲、乙、丙、丁四位学生参加立定跳远训练，他们近期5次训练的平均成绩相同，设甲、乙、丙、丁这5次训练成绩的方差分别是$s^2_甲$，$s^2_乙$，$s^2_丙$，$s^2_丁$，且$s^2_甲=2.1$，$s^2_乙=3.5$，$s^2_丙=5.6$，$s^2_丁=0.9$，则四位学生中这5次训练成绩最稳定的是(
A.甲
B.乙
C.丙
D.丁
D
).A.甲
B.乙
C.丙
D.丁
答案
9.D
10 小亮每天坚持体育锻炼,他记录了自己一周内每天锻炼的时间(单位:分钟),并制作了如图所示的统计图.
根据统计图,下列关于小亮该周每天锻炼时间的描述,正确的是(
A.平均数为70分钟
B.众数为88分钟
C.离差平方和为410
D.方差为0
根据统计图,下列关于小亮该周每天锻炼时间的描述,正确的是(
C
).A.平均数为70分钟
B.众数为88分钟
C.离差平方和为410
D.方差为0
答案
10.C
11 (2023·凉山州中考)若一组数据 $x_1,x_2,x_3,\dots,x_n$ 的方差为 2，则数据 $x_1+3,x_2+3,x_3+3,\dots,x_n+3$ 的方差是(
A.2
B.5
C.6
D.11
A
).A.2
B.5
C.6
D.11
答案
11.A
[解析]设原平均数为$\overline{x}$,则现在的平均数为$\overline{x}+3$,原来的方差$s_1^2=\frac{1}{n}[(x_1-\overline{x})^2+(x_2-\overline{x})^2+\dots+(x_n-\overline{x})^2]=2$,现在的方差$s_2^2=\frac{1}{n}[(x_1+3-\overline{x}-3)^2+(x_2+3-\overline{x}-3)^2+\dots+(x_n+3-\overline{x}-3)^2]=\frac{1}{n}[(x_1-\overline{x})^2+(x_2-\overline{x})^2+\dots+(x_n-\overline{x})^2]=2$. 故选A.
知识拓展 本题考查了方差的定义.当数据都加上一个数(或减去一个数)时,平均数也加或减这个数,方差不变,即数据的波动情况不变;当数据都乘一个数(或除以一个数)时,平均数也乘(或除以)这个数,方差变为这个数的平方倍(或这个数的平方分之一).
[解析]设原平均数为$\overline{x}$,则现在的平均数为$\overline{x}+3$,原来的方差$s_1^2=\frac{1}{n}[(x_1-\overline{x})^2+(x_2-\overline{x})^2+\dots+(x_n-\overline{x})^2]=2$,现在的方差$s_2^2=\frac{1}{n}[(x_1+3-\overline{x}-3)^2+(x_2+3-\overline{x}-3)^2+\dots+(x_n+3-\overline{x}-3)^2]=\frac{1}{n}[(x_1-\overline{x})^2+(x_2-\overline{x})^2+\dots+(x_n-\overline{x})^2]=2$. 故选A.
知识拓展 本题考查了方差的定义.当数据都加上一个数(或减去一个数)时,平均数也加或减这个数,方差不变,即数据的波动情况不变;当数据都乘一个数(或除以一个数)时,平均数也乘(或除以)这个数,方差变为这个数的平方倍(或这个数的平方分之一).
12（2024·大庆中考）小庆、小铁、小娜、小萌四名同学均从1,2,3,4,5,6这六个数字中选出四个数字，玩猜数游戏.下列选项中，能确定该同学选出的四个数字含有1的是(
A.小庆选出四个数字的方差等于4.25
B.小铁选出四个数字的方差等于2.5
C.小娜选出四个数字的平均数等于3.5
D.小萌选出四个数字中最大数和最小数的差等于4
A
).A.小庆选出四个数字的方差等于4.25
B.小铁选出四个数字的方差等于2.5
C.小娜选出四个数字的平均数等于3.5
D.小萌选出四个数字中最大数和最小数的差等于4
答案
12.A
[解析]A.假设选出的数据没有1,则选出的数据为2,3,5,6时,方差最大,此时$\overline{x}=(2+3+5+6)÷4=4$,方差为$s^2=\frac{1}{4}×[(2-4)^2+(3-4)^2+(5-4)^2+(6-4)^2]=2.5$,当数据为1,2,5,6时,$\overline{x}=(1+2+5+6)÷4=3.5$,
$s^2=\frac{1}{4}×[(1-3.5)^2+(2-3.5)^2+(5-3.5)^2+(6-3.5)^2]=4.25$,故该选项符合题意;
B.当该同学选出的四个数字为2,3,5,6时,$\overline{x}=(2+3+5+6)÷4=4$,$s^2=\frac{1}{4}×[(2-4)^2+(3-4)^2+(5-4)^2+(6-4)^2]=2.5$,故该选项不符合题意;
C.当该同学选出的四个数字为2,3,4,5时,$\overline{x}=(2+3+4+5)÷4=3.5$,故该选项不符合题意;
D.当选出的数据为2,4,5,6或2,3,4,6时,极差也是4,故该选项不符合题意.故选A.
[解析]A.假设选出的数据没有1,则选出的数据为2,3,5,6时,方差最大,此时$\overline{x}=(2+3+5+6)÷4=4$,方差为$s^2=\frac{1}{4}×[(2-4)^2+(3-4)^2+(5-4)^2+(6-4)^2]=2.5$,当数据为1,2,5,6时,$\overline{x}=(1+2+5+6)÷4=3.5$,
$s^2=\frac{1}{4}×[(1-3.5)^2+(2-3.5)^2+(5-3.5)^2+(6-3.5)^2]=4.25$,故该选项符合题意;
B.当该同学选出的四个数字为2,3,5,6时,$\overline{x}=(2+3+5+6)÷4=4$,$s^2=\frac{1}{4}×[(2-4)^2+(3-4)^2+(5-4)^2+(6-4)^2]=2.5$,故该选项不符合题意;
C.当该同学选出的四个数字为2,3,4,5时,$\overline{x}=(2+3+4+5)÷4=3.5$,故该选项不符合题意;
D.当选出的数据为2,4,5,6或2,3,4,6时,极差也是4,故该选项不符合题意.故选A.
13 数据0,1,2,3,x的平均数是2,则这组数据的标准差是
$\sqrt{2}$
.答案
13.$\sqrt{2}$
14 小明正确地用 $ s^2 = \frac{1}{10}[(x_1 - 3)^2 + (x_2 - 3)^2 + \dots + (x_{10} - 3)^2] $计算出一组数据的方差，那么 $ x_1 + x_2 + x_3 + \dots + x_{10} = \_\_\_\_\_\_ $
答案
14.30
15 已知一组正数$x_1,x_2,x_3,x_4,x_5$的方差为$s^2=\frac{1}{5}(x_1^2+x_2^2+x_3^2+x_4^2+x_5^2-20)$，则关于数据$x_1+2,x_2+2,x_3+2,x_4+2,x_5+2$的四个说法：①方差为$s^2$；②平均数为2；③平均数为4；④方差为$4s^2$。其中正确的说法是
①③
。答案
15.①③
16 镇政府想了解王家村一年来村民的经济情况，统计员小李用简单随机抽样的方法，在全村130户家庭中随机抽取20户，调查过去一年的收入(单位:万元)，从而去估计全村家庭年收入情况.已知调查得到的数据如下:
1.9,1.3,1.7,1.4,1.6,1.5,2.7,2.1,1.5,0.9,2.6,2.0,2.1,1.0,1.8,2.2,2.4,3.2,1.3,2.8.
为了便于计算,小李在原数据的每个数上都减去1.5,得到下面第二组数据:
0.4,−0.2,0.2,−0.1,0.1,0,1.2,0.6,0,−0.6,1.1,0.5,0.6,−0.5,0.3,0.7,0.9,1.7,−0.2,1.3.
(1)请你用小李得到的第二组数据计算这20户家庭的平均年收入,并估计全村年收入及全村家庭年收入超过1.5万元的百分比.
(2)已知小李算得第二组数据的方差是$s^2$,小王依据第二组数据的方差得出原数据的方差为$(1.5+s)^2$,你认为小王的结果正确吗?如果不正确,直接写出你认为正确的结果.
1.9,1.3,1.7,1.4,1.6,1.5,2.7,2.1,1.5,0.9,2.6,2.0,2.1,1.0,1.8,2.2,2.4,3.2,1.3,2.8.
为了便于计算,小李在原数据的每个数上都减去1.5,得到下面第二组数据:
0.4,−0.2,0.2,−0.1,0.1,0,1.2,0.6,0,−0.6,1.1,0.5,0.6,−0.5,0.3,0.7,0.9,1.7,−0.2,1.3.
(1)请你用小李得到的第二组数据计算这20户家庭的平均年收入,并估计全村年收入及全村家庭年收入超过1.5万元的百分比.
(2)已知小李算得第二组数据的方差是$s^2$,小王依据第二组数据的方差得出原数据的方差为$(1.5+s)^2$,你认为小王的结果正确吗?如果不正确,直接写出你认为正确的结果.
答案
16.(1)第二组数据的平均数为$\frac{1}{20}×(0.4-0.2+0.2-0.1+0.1+0+1.2+0.6+0-0.6+1.1+0.5+0.6-0.5+0.3+0.7+0.9+1.7-0.2+1.3)=0.4$(万元),所以这20户家庭的平均年收入为$1.5+0.4=1.9$(万元),
$130×1.9=247$(万元),故估计全村年收入为247万元.
抽取的20户中有13户家庭年收入超过1.5万元,故估计全村家庭年收入超过1.5万元的百分比为$\frac{13}{20}×100\%=65\%$.
(2)小王的结果不正确.
第一组数据的方差和第二组数据的方差一样.
它们的方差为$\frac{1}{20}×[(0.4-0.4)^2+(-0.2-0.4)^2+(0.2-0.4)^2+\dots+(1.3-0.4)^2]=0.365$.
$130×1.9=247$(万元),故估计全村年收入为247万元.
抽取的20户中有13户家庭年收入超过1.5万元,故估计全村家庭年收入超过1.5万元的百分比为$\frac{13}{20}×100\%=65\%$.
(2)小王的结果不正确.
第一组数据的方差和第二组数据的方差一样.
它们的方差为$\frac{1}{20}×[(0.4-0.4)^2+(-0.2-0.4)^2+(0.2-0.4)^2+\dots+(1.3-0.4)^2]=0.365$.
