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1.如图,利用一面墙,用40 m长的篱笆围成一块矩形场地,如果墙长为25 m,那么围成矩形场地的最大面积是(
A.150 m²
B.200 m²
C.250 m²
D.400 m²
B
).A.150 m²
B.200 m²
C.250 m²
D.400 m²
答案
1.B
解析
【分析】
首先明确篱笆仅围矩形的三条边（一条边靠墙），我们设垂直于墙的边长为$x\ \mathrm{m}$，即可用含$x$的式子表示出平行于墙的边长，再根据矩形面积公式得到面积关于$x$的函数表达式。接下来结合墙长限制和边长为正的要求，求出自变量$x$的取值范围，最后将二次函数整理为顶点式，结合取值范围即可求出最大面积。
【解析】
解：设垂直于墙的边长为$x\ \mathrm{m}$，矩形场地的面积为$S\ \mathrm{m}^2$，则平行于墙的边长为$(40-2x)\ \mathrm{m}$。
根据实际边长要求和墙长限制，可得不等式组：
$\begin{cases}40-2x＞0 \\40-2x≤25 \end{cases}$
解得：$7.5≤ x＜20$
矩形面积：
$\begin{aligned}S&=x(40-2x)\\&=-2x^2+40x\\&=-2(x-10)^2+200\end{aligned}$
$\because$二次项系数$-2＜0$，抛物线开口向下，且顶点横坐标$x=10$在$7.5≤ x＜20$范围内，
$\therefore$当$x=10$时，$S$取最大值$200\ \mathrm{m}^2$，此时平行于墙的边长为$20\ \mathrm{m}＜25\ \mathrm{m}$，符合题意。
【答案】
B
【知识点】
二次函数实际应用、二次函数最值、自变量取值范围确定
【点评】
本题是二次函数实际应用的典型题型，解题的关键是结合实际场景的限制条件确定自变量的取值范围，再结合二次函数的性质求最值，避免忽略实际限制直接取顶点值导致出错。
【难度系数】
0.7
首先明确篱笆仅围矩形的三条边（一条边靠墙），我们设垂直于墙的边长为$x\ \mathrm{m}$，即可用含$x$的式子表示出平行于墙的边长，再根据矩形面积公式得到面积关于$x$的函数表达式。接下来结合墙长限制和边长为正的要求，求出自变量$x$的取值范围，最后将二次函数整理为顶点式，结合取值范围即可求出最大面积。
【解析】
解：设垂直于墙的边长为$x\ \mathrm{m}$，矩形场地的面积为$S\ \mathrm{m}^2$，则平行于墙的边长为$(40-2x)\ \mathrm{m}$。
根据实际边长要求和墙长限制，可得不等式组：
$\begin{cases}40-2x＞0 \\40-2x≤25 \end{cases}$
解得：$7.5≤ x＜20$
矩形面积：
$\begin{aligned}S&=x(40-2x)\\&=-2x^2+40x\\&=-2(x-10)^2+200\end{aligned}$
$\because$二次项系数$-2＜0$，抛物线开口向下，且顶点横坐标$x=10$在$7.5≤ x＜20$范围内，
$\therefore$当$x=10$时，$S$取最大值$200\ \mathrm{m}^2$，此时平行于墙的边长为$20\ \mathrm{m}＜25\ \mathrm{m}$，符合题意。
【答案】
B
【知识点】
二次函数实际应用、二次函数最值、自变量取值范围确定
【点评】
本题是二次函数实际应用的典型题型，解题的关键是结合实际场景的限制条件确定自变量的取值范围，再结合二次函数的性质求最值，避免忽略实际限制直接取顶点值导致出错。
【难度系数】
0.7
