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1. 扇形的圆心角是$60°$，则扇形的面积是所在圆面积的 （
A.$\frac{1}{3}$
B.$\frac{1}{6}$
C.$\frac{1}{9}$
D.$\frac{1}{12}$
B
）A.$\frac{1}{3}$
B.$\frac{1}{6}$
C.$\frac{1}{9}$
D.$\frac{1}{12}$
答案
1.B
解析
【分析】
解题时首先明确扇形面积和它所在圆面积的关系：在同一个圆中，扇形面积占圆面积的比例等于该扇形圆心角的度数占周角（360°）的比例。因此只需计算出60°占360°的几分之几，即可得到扇形面积占所在圆面积的比例，再对应选项选择即可。
【解析】
解：
∵ 整个圆的圆心角度数为360°，同一圆内扇形面积与圆面积的比值等于扇形圆心角与360°的比值，
∴ 圆心角为60°的扇形面积占所在圆面积的比例为：$\frac{60°}{360°}=\frac{1}{6}$。
故选B。
【答案】
B
【知识点】
1. 扇形与圆的面积关系
2. 比例计算
【点评】
本题属于扇形面积相关的基础常考题，难度较低，核心考查扇形面积占比与圆心角占比的对应关系，掌握该性质即可快速计算得到结果。
【难度系数】
0.9
解题时首先明确扇形面积和它所在圆面积的关系：在同一个圆中，扇形面积占圆面积的比例等于该扇形圆心角的度数占周角（360°）的比例。因此只需计算出60°占360°的几分之几，即可得到扇形面积占所在圆面积的比例，再对应选项选择即可。
【解析】
解：
∵ 整个圆的圆心角度数为360°，同一圆内扇形面积与圆面积的比值等于扇形圆心角与360°的比值，
∴ 圆心角为60°的扇形面积占所在圆面积的比例为：$\frac{60°}{360°}=\frac{1}{6}$。
故选B。
【答案】
B
【知识点】
1. 扇形与圆的面积关系
2. 比例计算
【点评】
本题属于扇形面积相关的基础常考题，难度较低，核心考查扇形面积占比与圆心角占比的对应关系，掌握该性质即可快速计算得到结果。
【难度系数】
0.9
2.如图,半圆O的直径为6,$∠ BAC=30°$,则阴影部分的面积是 （
A.$12π -9\sqrt{3}$
B.$3π -\frac{9}{4}\sqrt{3}$
C.$3π -\frac{9}{2}\sqrt{3}$
D.$3π -\frac{3}{4}\sqrt{3}$
B
）A.$12π -9\sqrt{3}$
B.$3π -\frac{9}{4}\sqrt{3}$
C.$3π -\frac{9}{2}\sqrt{3}$
D.$3π -\frac{3}{4}\sqrt{3}$
答案
2.B
解析
【分析】
本题求解不规则阴影部分的面积，可采用割补法转化为规则图形面积的差：阴影部分面积 = 扇形AOC的面积 - △AOC的面积。首先根据直径求出半圆半径，再由圆周角定理求出扇形AOC的圆心角度数，最后分别计算扇形和三角形的面积作差即可。
【解析】
解：连接OC，过点O作OD⊥AC于点D。
1. 求半径：已知半圆直径AB=6，因此半径$OA=OC=3$。
2. 求圆心角：根据圆周角定理，同弧所对的圆心角是圆周角的2倍，$∠BAC=30°$，因此$∠BOC=2∠BAC=60°$，可得$∠AOC=180°-60°=120°$。
3. 计算扇形AOC的面积：根据扇形面积公式$S_{扇形}=\frac{nπ r^2}{360}$（n为圆心角度数，r为半径），代入n=120，r=3得：
$S_{扇形AOC}=\frac{120π × 3^2}{360}=3π$
4. 计算△AOC的面积：在Rt△AOD中，$∠OAD=30°$，$OA=3$，因此$OD=OA· sin30°=\frac{3}{2}$，$AD=OA· cos30°=\frac{3\sqrt{3}}{2}$。由垂径定理得$AC=2AD=3\sqrt{3}$，因此：
$S_{△ AOC}=\frac{1}{2}× AC × OD=\frac{1}{2}× 3\sqrt{3}× \frac{3}{2}=\frac{9\sqrt{3}}{4}$
5. 计算阴影面积：
$S_{阴影}=S_{扇形AOC}-S_{△ AOC}=3π-\frac{9\sqrt{3}}{4}$
【答案】
B
【知识点】
1. 圆周角定理
2. 扇形面积计算
3. 割补法求面积
【点评】
本题考查不规则图形面积的求解，解题核心是将不规则图形转化为规则图形的面积和差，需要熟练掌握圆周角定理、扇形面积公式及三角形面积的计算方法。
【难度系数】
0.7
本题求解不规则阴影部分的面积，可采用割补法转化为规则图形面积的差：阴影部分面积 = 扇形AOC的面积 - △AOC的面积。首先根据直径求出半圆半径，再由圆周角定理求出扇形AOC的圆心角度数，最后分别计算扇形和三角形的面积作差即可。
【解析】
解：连接OC，过点O作OD⊥AC于点D。
1. 求半径：已知半圆直径AB=6，因此半径$OA=OC=3$。
2. 求圆心角：根据圆周角定理，同弧所对的圆心角是圆周角的2倍，$∠BAC=30°$，因此$∠BOC=2∠BAC=60°$，可得$∠AOC=180°-60°=120°$。
3. 计算扇形AOC的面积：根据扇形面积公式$S_{扇形}=\frac{nπ r^2}{360}$（n为圆心角度数，r为半径），代入n=120，r=3得：
$S_{扇形AOC}=\frac{120π × 3^2}{360}=3π$
4. 计算△AOC的面积：在Rt△AOD中，$∠OAD=30°$，$OA=3$，因此$OD=OA· sin30°=\frac{3}{2}$，$AD=OA· cos30°=\frac{3\sqrt{3}}{2}$。由垂径定理得$AC=2AD=3\sqrt{3}$，因此：
$S_{△ AOC}=\frac{1}{2}× AC × OD=\frac{1}{2}× 3\sqrt{3}× \frac{3}{2}=\frac{9\sqrt{3}}{4}$
5. 计算阴影面积：
$S_{阴影}=S_{扇形AOC}-S_{△ AOC}=3π-\frac{9\sqrt{3}}{4}$
【答案】
B
【知识点】
1. 圆周角定理
2. 扇形面积计算
3. 割补法求面积
【点评】
本题考查不规则图形面积的求解，解题核心是将不规则图形转化为规则图形的面积和差，需要熟练掌握圆周角定理、扇形面积公式及三角形面积的计算方法。
【难度系数】
0.7
3.已知扇形的半径为3cm，圆心角为150°，则扇形的面积为
$\frac{15}{4}π$
cm²答案
3.$\frac{15}{4}π$
解析
【分析】
解题时首先回忆扇形面积的计算公式，题目明确给出了扇形的半径和圆心角，因此选择用圆心角度数和半径表示的扇形面积公式$S_{扇}=\frac{nπ r^2}{360}$（其中$n$为圆心角度数，$r$为扇形半径），再将已知数值代入公式，通过约分计算即可得到最终结果。
【解析】
已知扇形半径$r=3\mathrm{cm}$，圆心角$n=150°$，根据扇形面积公式：
$S_{扇}=\frac{nπ r^2}{360}$
代入对应数值计算：
$\begin{aligned}S_{扇}&=\frac{150×π×3^2}{360}\\&=\frac{150×9π}{360}\\&=\frac{1350π}{360}\\&=\frac{15}{4}π(\mathrm{cm}^2)\end{aligned}$
【答案】
$\frac{15}{4}π$
【知识点】
扇形面积计算
【点评】
本题是基础类题型，核心考查扇形面积公式的直接应用，解题关键是熟记扇形面积公式，计算过程中注意准确约分，避免因计算失误丢分。
【难度系数】
0.85
解题时首先回忆扇形面积的计算公式，题目明确给出了扇形的半径和圆心角，因此选择用圆心角度数和半径表示的扇形面积公式$S_{扇}=\frac{nπ r^2}{360}$（其中$n$为圆心角度数，$r$为扇形半径），再将已知数值代入公式，通过约分计算即可得到最终结果。
【解析】
已知扇形半径$r=3\mathrm{cm}$，圆心角$n=150°$，根据扇形面积公式：
$S_{扇}=\frac{nπ r^2}{360}$
代入对应数值计算：
$\begin{aligned}S_{扇}&=\frac{150×π×3^2}{360}\\&=\frac{150×9π}{360}\\&=\frac{1350π}{360}\\&=\frac{15}{4}π(\mathrm{cm}^2)\end{aligned}$
【答案】
$\frac{15}{4}π$
【知识点】
扇形面积计算
【点评】
本题是基础类题型，核心考查扇形面积公式的直接应用，解题关键是熟记扇形面积公式，计算过程中注意准确约分，避免因计算失误丢分。
【难度系数】
0.85
4.已知圆的半径为4，弧长为6，则此扇形的面积是
12
。答案
4.12
解析
【分析】
解题时首先明确题目给出的已知条件：圆的半径即扇形半径$r=4$，对应弧长$l=6$，要求扇形面积。回忆扇形面积的计算公式，除了用圆心角和半径计算的公式外，还有直接结合弧长和半径的公式$S_{扇形}=\frac{1}{2}lr$，不需要额外求解圆心角，直接代入已知数据计算即可，是最简便的解题思路。
【解析】
已知扇形的半径$r=4$，对应弧长$l=6$，根据扇形面积公式：
$S_{扇形}=\frac{1}{2}lr$
将数值代入公式得：
$S_{扇形}=\frac{1}{2}×6×4=12$
【答案】
12
【知识点】
扇形面积计算
【点评】
本题是基础运算题，核心考查扇形面积公式的应用，只要熟记弧长与半径结合的扇形面积公式，代入数据计算即可得出正确结果，计算时注意不要漏掉公式里的$\frac{1}{2}$。
【难度系数】
0.9
解题时首先明确题目给出的已知条件：圆的半径即扇形半径$r=4$，对应弧长$l=6$，要求扇形面积。回忆扇形面积的计算公式，除了用圆心角和半径计算的公式外，还有直接结合弧长和半径的公式$S_{扇形}=\frac{1}{2}lr$，不需要额外求解圆心角，直接代入已知数据计算即可，是最简便的解题思路。
【解析】
已知扇形的半径$r=4$，对应弧长$l=6$，根据扇形面积公式：
$S_{扇形}=\frac{1}{2}lr$
将数值代入公式得：
$S_{扇形}=\frac{1}{2}×6×4=12$
【答案】
12
【知识点】
扇形面积计算
【点评】
本题是基础运算题，核心考查扇形面积公式的应用，只要熟记弧长与半径结合的扇形面积公式，代入数据计算即可得出正确结果，计算时注意不要漏掉公式里的$\frac{1}{2}$。
【难度系数】
0.9
5. 已知扇形的半径为2cm，面积是$\frac{4}{3}π \ \mathrm{cm}^2$，则扇形的弧长是
$\frac{4}{3}π$
cm，扇形的圆心角为$120°$
。答案
5.$\frac{4}{3}π$，$120°$
解析
【分析】
本题可根据扇形的相关公式分步求解：首先回忆扇形面积与弧长、半径的关系公式，已知扇形半径和面积，可先通过变形公式求出弧长；再结合弧长公式或者扇形面积与圆心角的关系公式，代入已知量求出圆心角即可。
【解析】
已知扇形半径$r=2\mathrm{cm}$，面积$S_{\mathrm{扇}}=\frac{4}{3}π\mathrm{cm}^2$。
1. 求弧长$l$：
根据扇形面积公式$S_{\mathrm{扇}}=\frac{1}{2}lr$，变形可得$l=\frac{2S_{\mathrm{扇}}}{r}$，代入数值：
$l=\frac{2×\frac{4}{3}π}{2}=\frac{4}{3}π\mathrm{cm}$。
2. 求圆心角$n$：
根据扇形面积公式$S_{\mathrm{扇}}=\frac{nπ r^2}{360}$，代入已知量：
$\frac{4}{3}π=\frac{nπ×2^2}{360}$
两边同时约去$π$，整理得：
$\frac{4}{3}=\frac{4n}{360}$
解得$n=120°$。
（也可通过弧长公式$l=\frac{nπ r}{180}$代入求解，结果一致）
【答案】
$\frac{4}{3}π$；$120°$
【知识点】
1. 扇形面积公式
2. 弧长公式
【点评】
本题属于基础题型，重点考查扇形相关公式的灵活运用，解题的核心是熟练掌握扇形面积的两种表达形式以及弧长公式，根据已知条件选择合适的公式代入计算即可。
【难度系数】
0.85
本题可根据扇形的相关公式分步求解：首先回忆扇形面积与弧长、半径的关系公式，已知扇形半径和面积，可先通过变形公式求出弧长；再结合弧长公式或者扇形面积与圆心角的关系公式，代入已知量求出圆心角即可。
【解析】
已知扇形半径$r=2\mathrm{cm}$，面积$S_{\mathrm{扇}}=\frac{4}{3}π\mathrm{cm}^2$。
1. 求弧长$l$：
根据扇形面积公式$S_{\mathrm{扇}}=\frac{1}{2}lr$，变形可得$l=\frac{2S_{\mathrm{扇}}}{r}$，代入数值：
$l=\frac{2×\frac{4}{3}π}{2}=\frac{4}{3}π\mathrm{cm}$。
2. 求圆心角$n$：
根据扇形面积公式$S_{\mathrm{扇}}=\frac{nπ r^2}{360}$，代入已知量：
$\frac{4}{3}π=\frac{nπ×2^2}{360}$
两边同时约去$π$，整理得：
$\frac{4}{3}=\frac{4n}{360}$
解得$n=120°$。
（也可通过弧长公式$l=\frac{nπ r}{180}$代入求解，结果一致）
【答案】
$\frac{4}{3}π$；$120°$
【知识点】
1. 扇形面积公式
2. 弧长公式
【点评】
本题属于基础题型，重点考查扇形相关公式的灵活运用，解题的核心是熟练掌握扇形面积的两种表达形式以及弧长公式，根据已知条件选择合适的公式代入计算即可。
【难度系数】
0.85
6. 扇形的圆心角为$210°$，弧长是$28π$，求扇形的面积。
答案
6.扇形的面积为 336π
解析
【分析】
要计算扇形的面积，常用公式为$S=\frac{1}{2}lr$或$S=\frac{nπ r^2}{360}$，已知圆心角$n$和弧长$l$，缺少半径$r$，因此第一步先利用弧长公式$l=\frac{nπ r}{180}$求出半径$r$，再将$l$和$r$代入扇形面积公式即可算出结果。
【解析】
解：已知扇形圆心角$n=210°$，弧长$l=28π$。
1. 求半径$r$：
根据弧长公式$l=\frac{nπ r}{180}$，代入已知数值：
$28π=\frac{210π r}{180}$
两边同时除以$π$化简得：$28=\frac{7r}{6}$
解得：$r=24$
2. 计算扇形面积：
代入扇形面积公式$S=\frac{1}{2}lr$：
$S=\frac{1}{2}×28π×24=336π$
【答案】
$336π$
【知识点】
弧长公式应用，扇形面积公式应用
【点评】
本题属于基础计算类题型，核心考查弧长、扇形面积公式的掌握情况，解题关键是先通过弧长公式求出未知的半径，再代入面积公式计算，注意不要混淆两个公式的结构。
【难度系数】
0.8
要计算扇形的面积，常用公式为$S=\frac{1}{2}lr$或$S=\frac{nπ r^2}{360}$，已知圆心角$n$和弧长$l$，缺少半径$r$，因此第一步先利用弧长公式$l=\frac{nπ r}{180}$求出半径$r$，再将$l$和$r$代入扇形面积公式即可算出结果。
【解析】
解：已知扇形圆心角$n=210°$，弧长$l=28π$。
1. 求半径$r$：
根据弧长公式$l=\frac{nπ r}{180}$，代入已知数值：
$28π=\frac{210π r}{180}$
两边同时除以$π$化简得：$28=\frac{7r}{6}$
解得：$r=24$
2. 计算扇形面积：
代入扇形面积公式$S=\frac{1}{2}lr$：
$S=\frac{1}{2}×28π×24=336π$
【答案】
$336π$
【知识点】
弧长公式应用，扇形面积公式应用
【点评】
本题属于基础计算类题型，核心考查弧长、扇形面积公式的掌握情况，解题关键是先通过弧长公式求出未知的半径，再代入面积公式计算，注意不要混淆两个公式的结构。
【难度系数】
0.8
7. 如图，已知AB是$\odot O$的直径，E为弦CD的中点.
(1)求证：$∠ BOD=2∠ BAC$.
(2)若$CD=AC=4$，求阴影部分的面积.
(1)求证：$∠ BOD=2∠ BAC$.
(2)若$CD=AC=4$，求阴影部分的面积.
答案
7.(1)证明:连结AD(图略),
∵AB是$\odot O$的直径,E为弦CD的中点,
∴$\overset{\frown}{BC}=\overset{\frown}{BD}$,
∴$∠CAB=∠BAD$,
∵$∠BOD=2∠BAD$,
∴$∠BOD=2∠BAC$
(2)
∵AB是$\odot O$的直径,E为弦CD的中点,
∴$AB⊥CD$,
∴AB是CD的垂直平分线,
∴$AC=AD$,
∵$CD=AC=4$,
∴$CD=AC=AD=4$,
∴$△ACD$是等边三角形,
∴$OA=OC=OD=\frac{4\sqrt{3}}{3}$,
∴$∠AOC=120°$,$S_{△ AOC}=\frac{1}{2}×\frac{4\sqrt{3}}{3}×4×\frac{1}{2}=\frac{4\sqrt{3}}{3}$,
∴$S_{扇形AOC}=\frac{120π×(\frac{4\sqrt{3}}{3})^2}{360}=\frac{16π}{9}$,
∴$S_{阴影}=S_{扇形AOC}-S_{△ AOC}=\frac{16π}{9}-\frac{4\sqrt{3}}{3}$
∵AB是$\odot O$的直径,E为弦CD的中点,
∴$\overset{\frown}{BC}=\overset{\frown}{BD}$,
∴$∠CAB=∠BAD$,
∵$∠BOD=2∠BAD$,
∴$∠BOD=2∠BAC$
(2)
∵AB是$\odot O$的直径,E为弦CD的中点,
∴$AB⊥CD$,
∴AB是CD的垂直平分线,
∴$AC=AD$,
∵$CD=AC=4$,
∴$CD=AC=AD=4$,
∴$△ACD$是等边三角形,
∴$OA=OC=OD=\frac{4\sqrt{3}}{3}$,
∴$∠AOC=120°$,$S_{△ AOC}=\frac{1}{2}×\frac{4\sqrt{3}}{3}×4×\frac{1}{2}=\frac{4\sqrt{3}}{3}$,
∴$S_{扇形AOC}=\frac{120π×(\frac{4\sqrt{3}}{3})^2}{360}=\frac{16π}{9}$,
∴$S_{阴影}=S_{扇形AOC}-S_{△ AOC}=\frac{16π}{9}-\frac{4\sqrt{3}}{3}$
解析
【分析】
(1) 要证明∠BOD=2∠BAC，首先结合已知条件：AB是直径、E是CD中点，可根据垂径定理推出弧BC与弧BD相等，对应圆周角∠BAC=∠BAD；再根据圆周角定理，同弧所对圆心角是圆周角的2倍，可得∠BOD=2∠BAD，等量代换即可完成证明。
(2) 阴影部分是不规则图形，可转化为扇形AOC面积减去△AOC面积求解。首先由AB是CD的垂直平分线可得AC=AD，结合CD=AC=4，可判定△ACD为等边三角形，进而求出圆的半径和∠AOC的度数，再分别代入扇形、三角形面积公式计算，最后作差即可得到阴影面积。
【解析】
(1) 证明：连结AD，
∵AB是$\odot O$的直径，E为弦CD的中点，
∴$\overset{\frown}{BC}=\overset{\frown}{BD}$，
∴$∠CAB=∠BAD$，
∵同弧所对的圆心角是圆周角的2倍，即$∠BOD=2∠BAD$，
∴$∠BOD=2∠BAC$。
(2) 解：
∵AB是$\odot O$的直径，E为弦CD的中点，
∴$AB⊥CD$，即AB是CD的垂直平分线，
∴$AC=AD$，
∵$CD=AC=4$，
∴$CD=AC=AD=4$，即$△ ACD$是等边三角形，
∴$OA=OC=OD=\frac{4\sqrt{3}}{3}$，$∠AOC=120°$，
$S_{△ AOC}=\frac{1}{2}×\frac{4\sqrt{3}}{3}×4×\frac{1}{2}=\frac{4\sqrt{3}}{3}$，
$S_{扇形AOC}=\frac{120π×(\frac{4\sqrt{3}}{3})^2}{360}=\frac{16π}{9}$，
∴$S_{阴影}=S_{扇形AOC}-S_{△ AOC}=\frac{16π}{9}-\frac{4\sqrt{3}}{3}$。
【答案】
(1) 证明成立；
(2) $\frac{16π}{9}-\frac{4\sqrt{3}}{3}$
【知识点】
垂径定理；圆周角定理；扇形面积计算
【点评】
本题属于圆的常考题型，核心是利用垂径定理、圆周角定理得到圆内角、弧的等量关系，同时要掌握不规则阴影面积的求解方法：转化为规则图形的面积和差计算。
【难度系数】
0.6
(1) 要证明∠BOD=2∠BAC，首先结合已知条件：AB是直径、E是CD中点，可根据垂径定理推出弧BC与弧BD相等，对应圆周角∠BAC=∠BAD；再根据圆周角定理，同弧所对圆心角是圆周角的2倍，可得∠BOD=2∠BAD，等量代换即可完成证明。
(2) 阴影部分是不规则图形，可转化为扇形AOC面积减去△AOC面积求解。首先由AB是CD的垂直平分线可得AC=AD，结合CD=AC=4，可判定△ACD为等边三角形，进而求出圆的半径和∠AOC的度数，再分别代入扇形、三角形面积公式计算，最后作差即可得到阴影面积。
【解析】
(1) 证明：连结AD，
∵AB是$\odot O$的直径，E为弦CD的中点，
∴$\overset{\frown}{BC}=\overset{\frown}{BD}$，
∴$∠CAB=∠BAD$，
∵同弧所对的圆心角是圆周角的2倍，即$∠BOD=2∠BAD$，
∴$∠BOD=2∠BAC$。
(2) 解：
∵AB是$\odot O$的直径，E为弦CD的中点，
∴$AB⊥CD$，即AB是CD的垂直平分线，
∴$AC=AD$，
∵$CD=AC=4$，
∴$CD=AC=AD=4$，即$△ ACD$是等边三角形，
∴$OA=OC=OD=\frac{4\sqrt{3}}{3}$，$∠AOC=120°$，
$S_{△ AOC}=\frac{1}{2}×\frac{4\sqrt{3}}{3}×4×\frac{1}{2}=\frac{4\sqrt{3}}{3}$，
$S_{扇形AOC}=\frac{120π×(\frac{4\sqrt{3}}{3})^2}{360}=\frac{16π}{9}$，
∴$S_{阴影}=S_{扇形AOC}-S_{△ AOC}=\frac{16π}{9}-\frac{4\sqrt{3}}{3}$。
【答案】
(1) 证明成立；
(2) $\frac{16π}{9}-\frac{4\sqrt{3}}{3}$
【知识点】
垂径定理；圆周角定理；扇形面积计算
【点评】
本题属于圆的常考题型，核心是利用垂径定理、圆周角定理得到圆内角、弧的等量关系，同时要掌握不规则阴影面积的求解方法：转化为规则图形的面积和差计算。
【难度系数】
0.6
