1 中考新考法 归纳一般结论 如图,如果直线$l$上依次有3个点$A,B,C$,那么:

(1)在直线$l$上共有多少射线?多少条线段?
(2)在直线$l$上增加一个点,共增加了多少条射线?多少条线段?
(3)如果在直线$l$上增加到$n$个点,则共有多少条射线?多少条线段?

(1)以A,B,C为端点的射线各自有2条,因而共有射线6条.
线段有:AB,AC,BC,共有线段3条.
(2)由(1)的分析,得增加一个点增加2条射线,增加3条线段.
(3)共有$2n$条射线,线段的总条数是$\frac{1}{2}n(n-1)$条.

2 已知点 C 在线段 AB 上，$AC=2BC$，点 D，E 在直线 AB 上，点 D 在点 E 的左侧，若 $AB=18$，$DE=8$，线段 DE 在线段 AB 上移动。
(1)如图，当点 E 为线段 BC 中点时，求线段 AD 的长；
(2)当点 C 是线段 DE 的三等分点时，求线段 AD 的长。

(1)$\because AC=2BC,AB=18,\therefore BC=6,AC=12.$
$\because E$为$BC$的中点,$\therefore CE=3.$
$\because DE=8,\therefore CD=5,\therefore AD=AC-CD=12-5=7.$
(2)$\because$点$C$是线段$DE$的三等分点,$DE=8$,
$\therefore$当点$C$靠近点$E$时,$CE=\frac{1}{3}DE=\frac{8}{3}$,
$\therefore CD=\frac{16}{3},\therefore AD=AC-CD=12-\frac{16}{3}=\frac{20}{3}$;
当点$C$靠近点$D$时,$DC=\frac{1}{3}DE=\frac{8}{3}$,
$\therefore AD=AC-CD=12-\frac{8}{3}=\frac{28}{3}.$
综上所述,线段$AD$的长为$\frac{20}{3}$或$\frac{28}{3}$.

3 中考新考法 新定义问题 (2024·河北邢台期中)
[新知理解]
点C在线段AB上，若$BC=2AC$或$AC=2BC$，则称点C是线段AB的“优点”，线段AC，BC称作互为“优点”伴侣线段。
例如，图(1)中线段AB的长度为6，点C在AB上，AC的长度为2，则点C是线段AB的其中一个“优点”。

(1)若点C为图(1)中线段AB的“优点”，$AC=6(AC＜BC)$，则$AB=$；
(2)若点D也是图(1)中线段AB的“优点”(不同于点C)，$AC=6$，则$AC$$BD$(填“=”或“≠”)；
[解决问题]
如图(2)，数轴上有E，F两点，其中点E表示的数为1，点F表示的数为4。

(3)若点M在点N的左侧，且M，N均为线段OF的“优点”，求线段MN的长；
(4)若点G在线段EF的延长线上，且线段EF与GF互为“优点”伴侣线段，求点G表示的数。
精题详解

(1)18
(2)=
(3)$\because$点$F$表示的数为4,$\therefore OF=4.$
当点$M$在点$N$左侧时,则$MF=2OM,ON=2NF$,
$\therefore OM=NF=\frac{1}{3}OF=\frac{4}{3}.$
$\because OF=OM+MN+NF,\therefore MN=\frac{4}{3}.$
(4)$\because$点$E$表示的数为1,点$F$表示的数为4,
$\therefore EF=4-1=3.$
当线段$EF,GF$互为“优点”伴侣线段时,有$EF=2GF$或$GF=2EF.$
当$EF=2GF$时,$GF=1.5$,$\therefore$点$G$表示的数为5.5;
当$GF=2EF$时,$GF=6$,$\therefore$点$G$表示的数为10.
综上所述,点$G$表示的数为5.5或10.