10 中考新考法 规律探究 (2024·四川成都双流区期末)如图,点 M 在线段 AN 的延长线上,且线段$MN=20$,第一次操作:分别取线段 AM 和 AN 的中点$M_1,N_1$;第二次操作:分别取线段$AM_1$和$AN_1$的中点$M_2,N_2$;第三次操作:分别取线段$AM_2$和$AN_2$的中点$M_3,N_3$;…;连续这样操作 10 次,则每次的两个中点所形成的所有线段之和$M_1N_1+M_2N_2+\dots+M_{10}N_{10}$等于().


A.$20-\dfrac{10}{2^9}$
B.$20+\dfrac{10}{2^9}$
C.$20-\dfrac{10}{2^{10}}$
D.$20+\dfrac{10}{2^{20}}$

10.A

11 如图,线段AB表示一根对折的绳子,点P在AB上,且$AP=\frac{1}{2}PB$,若在P处将绳子剪断,所得三段绳长的最大值为8 cm,则整条绳子剪断前的长度为cm.

11.12或24

12 若关于$x,y$的多项式$(8-2m)x^2 + (-n+3)x -5y +1$的值与字母$x$的取值无关.
(1)求$m,n$的值;
(2)若点$D$是线段$AB$的中点,点$C$在直线$AB$上,点$E$是线段$BC$的中点,且$AB=m$, $BC=n$,那么线段$DE$的长度是多少?(请把图画完整并写出推理计算的过程)

12.(1)由题意,得 $8-2m=0,-n+3=0$,
解得 $m=4,n=3$。
(2)因为点 D 是线段 AB 的中点,点 E 是线段 BC 的中点,且 $AB=4,BC=3$,所以 $DB=2,BE=\frac{3}{2}$。
①如图(1),当点 C 在线段 AB 上时，

$\therefore DE=DB-BE=\frac{1}{2}$；
②如图(2),当点 C 在线段 AB 的延长线上时，

$\therefore DE=DB+BE=\frac{7}{2}$。
综上所述,线段 DE 的长度为$\frac{1}{2}$或$\frac{7}{2}$。

13 中考新考法 类比猜想 (2024·江苏徐州期中)如图(1),AB是一条拉直的绳子,C是AB上的点,M是AC的中点,N是BC的中点,且AC=40 cm,BC=30 cm.

(1)求AB,MN的长;
(2)若固定点C,将CB折向CA,使CB重叠在CA上(注:在折叠过程中绳子CB和CA都拉直),如图(2),请你分别求出AB,MN的长;
(3)归纳与猜想:若固定点C,将CB折向CA,使得A,B两点的距离为50 cm(注:在折叠过程中绳子CB和CA都拉直),如图(3).请你根据上述规律直接写出MN的长.

13.(1)$\because AC=40\ \mathrm{cm},BC=30\ \mathrm{cm}$,
$\therefore AB=AC+BC=40+30=70(\mathrm{cm})$。
$\because M$ 是 AC 的中点,N 是 BC 的中点，
$\therefore CM=\frac{1}{2}AC,CN=\frac{1}{2}BC$,
$\therefore MN=CM+CN=\frac{1}{2}(AC+BC)=\frac{1}{2}AB=\frac{1}{2}×70=35(\mathrm{cm})$。
(2)$\because AC=40\ \mathrm{cm},BC=30\ \mathrm{cm}$,
$\therefore AB=AC-BC=40-30=10(\mathrm{cm})$。
$\because M$ 是 AC 的中点,N 是 BC 的中点，
$\therefore CM=\frac{1}{2}AC,CN=\frac{1}{2}BC$,
$\therefore MN=CM-CN=\frac{1}{2}AC-\frac{1}{2}BC=\frac{1}{2}(AC-BC)=\frac{1}{2}AB=\frac{1}{2}×10=5(\mathrm{cm})$。
(3)由(1)(2),得 $MN=\frac{1}{2}AB$。
$\because AB=50\ \mathrm{cm},\therefore MN=25\ \mathrm{cm}$。