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12.若$y$与$\frac{1}{x}$成正比例关系，$z$与$x$成正比例关系，则$y$与$z$成关系。
答案
反比例
解析
【分析】
要判断y与z的比例关系，首先需根据正比例关系的定义，分别写出y与$\frac{1}{x}$、z与x的关系式，再通过消元用含z的式子表示y，最后根据反比例关系的定义判断即可。解题步骤为：第一步根据正比例定义列两个表达式；第二步消去x，推导y与z的关系式；第三步对照比例定义判断关系。
【解析】
根据正比例关系的定义：若两个量成正比例，则可表示为“因变量=不为0的常数×自变量”。
1. 因为y与$\frac{1}{x}$成正比例关系，设比例常数为$k_1$（$k_1≠0$，为常数），则：
$y = k_1 · \frac{1}{x}$ ①
2. 因为z与x成正比例关系，设比例常数为$k_2$（$k_2≠0$，为常数），则：
$z = k_2 · x$ ②
3. 由②式变形得$x = \frac{z}{k_2}$，将其代入①式：
$y = k_1 · \frac{1}{\frac{z}{k_2}} = \frac{k_1k_2}{z}$
因为$k_1$、$k_2$都是不为0的常数，所以$k_1k_2$也是不为0的常数，即y与z的乘积为定值，符合反比例关系的定义。
【答案】
反比例
【知识点】
正比例关系定义、反比例关系判定
【点评】
本题是比例关系判定的基础题型，解题核心是熟练掌握正、反比例关系的表达形式，通过设比例常数、消元推导待判断两个量的关系式即可得出结论，熟练掌握该类题型能为后续函数学习打好基础。
【难度系数】
0.7
要判断y与z的比例关系，首先需根据正比例关系的定义，分别写出y与$\frac{1}{x}$、z与x的关系式，再通过消元用含z的式子表示y，最后根据反比例关系的定义判断即可。解题步骤为：第一步根据正比例定义列两个表达式；第二步消去x，推导y与z的关系式；第三步对照比例定义判断关系。
【解析】
根据正比例关系的定义：若两个量成正比例，则可表示为“因变量=不为0的常数×自变量”。
1. 因为y与$\frac{1}{x}$成正比例关系，设比例常数为$k_1$（$k_1≠0$，为常数），则：
$y = k_1 · \frac{1}{x}$ ①
2. 因为z与x成正比例关系，设比例常数为$k_2$（$k_2≠0$，为常数），则：
$z = k_2 · x$ ②
3. 由②式变形得$x = \frac{z}{k_2}$，将其代入①式：
$y = k_1 · \frac{1}{\frac{z}{k_2}} = \frac{k_1k_2}{z}$
因为$k_1$、$k_2$都是不为0的常数，所以$k_1k_2$也是不为0的常数，即y与z的乘积为定值，符合反比例关系的定义。
【答案】
反比例
【知识点】
正比例关系定义、反比例关系判定
【点评】
本题是比例关系判定的基础题型，解题核心是熟练掌握正、反比例关系的表达形式，通过设比例常数、消元推导待判断两个量的关系式即可得出结论，熟练掌握该类题型能为后续函数学习打好基础。
【难度系数】
0.7
13. 下表中的x和y两个量成反比例关系，请把表格填写完整.
| $x$ | $2$ | $0.4$ | | $20$ | |
| --- | --- | --- | --- | --- | --- |
| $y$ | $5$ |
| $\frac{1}{5}$ | | $\frac{5}{6}$ |
| $x$ | $2$ | $0.4$ | | $20$ | |
| --- | --- | --- | --- | --- | --- |
| $y$ | $5$ |
| $\frac{1}{5}$ | | $\frac{5}{6}$ |答案
解：
因为x和y成反比例关系，所以x与y的乘积为定值。
由已知x=2，y=5，可得定值为 $2×5=10$。
1. 当$x=0.4$时，$y=10÷0.4=25$
2. 当$y=\frac{1}{5}$时，$x=10÷\frac{1}{5}=50$
3. 当$x=20$时，$y=10÷20=\frac{1}{2}$
4. 当$y=\frac{5}{6}$时，$x=10÷\frac{5}{6}=12$
填写完整后表格空缺处从左到右依次为：y行对应0.4的位置填25，x行对应$\frac{1}{5}$的位置填50，y行对应20的位置填$\frac{1}{2}$，x行对应$\frac{5}{6}$的位置填12。
答：完整表格的空缺数值依次为25、50、$\frac{1}{2}$、12。
因为x和y成反比例关系，所以x与y的乘积为定值。
由已知x=2，y=5，可得定值为 $2×5=10$。
1. 当$x=0.4$时，$y=10÷0.4=25$
2. 当$y=\frac{1}{5}$时，$x=10÷\frac{1}{5}=50$
3. 当$x=20$时，$y=10÷20=\frac{1}{2}$
4. 当$y=\frac{5}{6}$时，$x=10÷\frac{5}{6}=12$
填写完整后表格空缺处从左到右依次为：y行对应0.4的位置填25，x行对应$\frac{1}{5}$的位置填50，y行对应20的位置填$\frac{1}{2}$，x行对应$\frac{5}{6}$的位置填12。
答：完整表格的空缺数值依次为25、50、$\frac{1}{2}$、12。
解析
【分析】
首先明确反比例关系的核心性质：若两个量x和y成反比例，那么x与y的乘积是固定不变的定值。解题思路如下：第一步，利用表格中已知的x=2、y=5，计算出这个固定乘积；第二步，对每个空缺项，若已知x的值，就用固定乘积除以x得到对应的y值；若已知y的值，就用固定乘积除以y得到对应的x值，依次计算所有空缺即可。
【解析】
因为x和y成反比例关系，所以x与y的乘积为定值。
1. 先计算定值：根据已知$x=2$，$y=5$，可得定值为 $2×5=10$，即$x× y=10$。
2. 当$x=0.4$时，$y=10÷0.4=25$。
3. 当$y=\frac{1}{5}$时，$x=10÷\frac{1}{5}=50$。
4. 当$x=20$时，$y=10÷20=\frac{1}{2}$。
5. 当$y=\frac{5}{6}$时，$x=10÷\frac{5}{6}=12$。
【答案】
表格空缺处从左到右依次为$\boxed{25}$、$\boxed{50}$、$\boxed{\frac{1}{2}}$、$\boxed{12}$
【知识点】
反比例关系的意义；反比例的应用；分数除法运算
【点评】
本题是反比例性质的基础应用题，解题关键是抓住反比例关系“乘积一定”的核心特征，先求出定值再逐个计算未知量，掌握反比例的基本性质就能快速解答。
【难度系数】
0.8
首先明确反比例关系的核心性质：若两个量x和y成反比例，那么x与y的乘积是固定不变的定值。解题思路如下：第一步，利用表格中已知的x=2、y=5，计算出这个固定乘积；第二步，对每个空缺项，若已知x的值，就用固定乘积除以x得到对应的y值；若已知y的值，就用固定乘积除以y得到对应的x值，依次计算所有空缺即可。
【解析】
因为x和y成反比例关系，所以x与y的乘积为定值。
1. 先计算定值：根据已知$x=2$，$y=5$，可得定值为 $2×5=10$，即$x× y=10$。
2. 当$x=0.4$时，$y=10÷0.4=25$。
3. 当$y=\frac{1}{5}$时，$x=10÷\frac{1}{5}=50$。
4. 当$x=20$时，$y=10÷20=\frac{1}{2}$。
5. 当$y=\frac{5}{6}$时，$x=10÷\frac{5}{6}=12$。
【答案】
表格空缺处从左到右依次为$\boxed{25}$、$\boxed{50}$、$\boxed{\frac{1}{2}}$、$\boxed{12}$
【知识点】
反比例关系的意义；反比例的应用；分数除法运算
【点评】
本题是反比例性质的基础应用题，解题关键是抓住反比例关系“乘积一定”的核心特征，先求出定值再逐个计算未知量，掌握反比例的基本性质就能快速解答。
【难度系数】
0.8
14.一辆卡车计划每小时行驶 50 km，从甲地到乙地需要行驶 9 h.实际速度比计划速度慢，实际2.5 h只行驶了 112.5 km.这辆卡车从甲地到乙地实际行驶了几小时？
你能分别用正比例、反比例关系解决上面的问题吗？
你能分别用正比例、反比例关系解决上面的问题吗？
答案
解：
1. 利用正比例关系解答：
卡车实际行驶速度不变，行驶路程与行驶时间成正比例。
设这辆卡车从甲地到乙地实际行驶了$x$小时。
甲乙两地总路程：$50×9=450\ \mathrm{km}$
$\frac{450}{x}=\frac{112.5}{2.5}$
$112.5x=450×2.5$
$x=10$
2. 利用反比例关系解答：
甲乙两地总路程一定，行驶速度与行驶时间成反比例。
设这辆卡车从甲地到乙地实际行驶了$x$小时。
卡车实际速度：$112.5÷2.5=45\ \mathrm{km/h}$
$45x=50×9$
$45x=450$
$x=10$
答：这辆卡车从甲地到乙地实际行驶了10小时。
1. 利用正比例关系解答：
卡车实际行驶速度不变，行驶路程与行驶时间成正比例。
设这辆卡车从甲地到乙地实际行驶了$x$小时。
甲乙两地总路程：$50×9=450\ \mathrm{km}$
$\frac{450}{x}=\frac{112.5}{2.5}$
$112.5x=450×2.5$
$x=10$
2. 利用反比例关系解答：
甲乙两地总路程一定，行驶速度与行驶时间成反比例。
设这辆卡车从甲地到乙地实际行驶了$x$小时。
卡车实际速度：$112.5÷2.5=45\ \mathrm{km/h}$
$45x=50×9$
$45x=450$
$x=10$
答：这辆卡车从甲地到乙地实际行驶了10小时。
解析
【分析】
要解决这个问题，需先结合正反比例的定义判断对应数量关系：①用正比例方法解答时，卡车实际行驶速度恒定，路程÷时间=速度（定值），因此行驶路程和行驶时间成正比例，先算出甲乙两地总路程，再根据“总路程:实际总时间=已行驶路程:已行驶时间”列比例式求解即可；②用反比例方法解答时，甲乙两地总路程固定，速度×时间=路程（定值），因此行驶速度和行驶时间成反比例，先算出卡车实际行驶速度，再根据“实际速度×实际总时间=计划速度×计划时间”列方程求解即可。
【解析】
方法一：利用正比例关系解答
卡车实际行驶速度不变，行驶路程与行驶时间成正比例。
设这辆卡车从甲地到乙地实际行驶了$x$小时。
先计算甲乙两地总路程：$50×9=450\ \mathrm{km}$
根据正比例关系列比例式：$\frac{450}{x}=\frac{112.5}{2.5}$
交叉相乘得：$112.5x=450×2.5$
计算得：$112.5x=1125$，解得$x=10$
方法二：利用反比例关系解答
甲乙两地总路程一定，行驶速度与行驶时间成反比例。
设这辆卡车从甲地到乙地实际行驶了$x$小时。
先计算卡车实际速度：$112.5÷2.5=45\ \mathrm{km/h}$
根据反比例关系列方程：$45x=50×9$
计算得：$45x=450$，解得$x=10$
【答案】
这辆卡车从甲地到乙地实际行驶了10小时。
【知识点】
正比例的应用；反比例的应用；行程问题基本关系
【点评】
本题是比例关系在行程问题中的典型应用，解题核心是先根据定量准确判断两个相关联的量成正比例还是反比例，再对应列等式求解，能有效考查对比例性质的理解和实际应用能力。
【难度系数】
0.7
要解决这个问题，需先结合正反比例的定义判断对应数量关系：①用正比例方法解答时，卡车实际行驶速度恒定，路程÷时间=速度（定值），因此行驶路程和行驶时间成正比例，先算出甲乙两地总路程，再根据“总路程:实际总时间=已行驶路程:已行驶时间”列比例式求解即可；②用反比例方法解答时，甲乙两地总路程固定，速度×时间=路程（定值），因此行驶速度和行驶时间成反比例，先算出卡车实际行驶速度，再根据“实际速度×实际总时间=计划速度×计划时间”列方程求解即可。
【解析】
方法一：利用正比例关系解答
卡车实际行驶速度不变，行驶路程与行驶时间成正比例。
设这辆卡车从甲地到乙地实际行驶了$x$小时。
先计算甲乙两地总路程：$50×9=450\ \mathrm{km}$
根据正比例关系列比例式：$\frac{450}{x}=\frac{112.5}{2.5}$
交叉相乘得：$112.5x=450×2.5$
计算得：$112.5x=1125$，解得$x=10$
方法二：利用反比例关系解答
甲乙两地总路程一定，行驶速度与行驶时间成反比例。
设这辆卡车从甲地到乙地实际行驶了$x$小时。
先计算卡车实际速度：$112.5÷2.5=45\ \mathrm{km/h}$
根据反比例关系列方程：$45x=50×9$
计算得：$45x=450$，解得$x=10$
【答案】
这辆卡车从甲地到乙地实际行驶了10小时。
【知识点】
正比例的应用；反比例的应用；行程问题基本关系
【点评】
本题是比例关系在行程问题中的典型应用，解题核心是先根据定量准确判断两个相关联的量成正比例还是反比例，再对应列等式求解，能有效考查对比例性质的理解和实际应用能力。
【难度系数】
0.7
15.(推理能力)如图,用24 cm长的绳子在桌子上摆正方形,先用这根绳子摆出1个正方形,再用这根绳子摆出2个正方形,再用这根绳子摆出3个正方形……
(1)根据图形,把下表填写完整;
(2)正方形的个数与边长;正方形的个数与顶点数;正方形的个数与总面积;正方形的边长与总面积.
A.不成比例关系
B.成正比例关系
C.成反比例关系
(3)如果正方形的个数是x,顶点数是y,用一个等式表示x与y之间的关系:.
(1)根据图形,把下表填写完整;
(2)正方形的个数与边长;正方形的个数与顶点数;正方形的个数与总面积;正方形的边长与总面积.
A.不成比例关系
B.成正比例关系
C.成反比例关系
(3)如果正方形的个数是x,顶点数是y,用一个等式表示x与y之间的关系:.
答案
解：
(1)
| 正方形的个数 | 1 | 2 | 3 | 4 | … |
| ---- | ---- | ---- | ---- | ---- | ---- |
| 正方形的边长/cm | 6 | 3 | 2 | 1.5 | … |
| 顶点数 | 4 | 7 | 10 | 13 | … |
| 总面积/cm² | 36 | 18 | 12 | 9 | … |
(2) C；A；C；B
(3) $y=3x+1$
(1)
| 正方形的个数 | 1 | 2 | 3 | 4 | … |
| ---- | ---- | ---- | ---- | ---- | ---- |
| 正方形的边长/cm | 6 | 3 | 2 | 1.5 | … |
| 顶点数 | 4 | 7 | 10 | 13 | … |
| 总面积/cm² | 36 | 18 | 12 | 9 | … |
(2) C；A；C；B
(3) $y=3x+1$
解析
【分析】
1. 第(1)问解题思路：首先明确24cm是摆出的所有正方形的周长总和。①计算边长：设正方形个数为n，每个边长为a，可得4×n×a=24，即a=6/n，代入n的数值即可算出对应边长；②计算顶点数：观察规律可知，1个正方形有4个顶点，每增加1个正方形就新增3个顶点，顶点数符合规律3n+1，代入n的数值即可得到对应顶点数；③计算总面积：总面积是n个正方形的面积和，即S=n×a²，代入a和n的数值即可算出对应面积。
2. 第(2)问解题思路：根据正反比例的定义判断：两种相关联的量，若比值为定值则成正比例，若乘积为定值则成反比例，否则不成比例，分别分析每组两个量的关系即可选择。
3. 第(3)问解题思路：结合第(1)问得到的顶点数与正方形个数的规律，直接写出关系式即可。
【解析】
(1) 填表计算过程：
① 边长：n=1时，$a=24÷(4×1)=6\mathrm{cm}$；n=2时，$a=24÷(4×2)=3\mathrm{cm}$；n=3时，$a=24÷(4×3)=2\mathrm{cm}$；n=4时，$a=24÷(4×4)=1.5\mathrm{cm}$。
② 顶点数：n=1时为4个；n=2时为$4+3=7$个；n=3时为$7+3=10$个；n=4时为$10+3=13$个。
③ 总面积：n=1时，$S=6^2=36\mathrm{cm}^2$；n=2时，$S=2×3^2=18\mathrm{cm}^2$；n=3时，$S=3×2^2=12\mathrm{cm}^2$；n=4时，$S=4×1.5^2=9\mathrm{cm}^2$。
填表结果如下：
| 正方形的个数 | 1 | 2 | 3 | 4 | … |
| ---- | ---- | ---- | ---- | ---- | ---- |
| 正方形的边长/cm | 6 | 3 | 2 | 1.5 | … |
| 顶点数 | 4 | 7 | 10 | 13 | … |
| 总面积/cm² | 36 | 18 | 12 | 9 | … |
(2) 比例关系判断：
① 正方形个数与边长：二者乘积为定值6，成反比例关系，选C；
② 正方形个数与顶点数：二者既无定值比值也无定值乘积，不成比例关系，选A；
③ 正方形个数与总面积：二者乘积为定值36，成反比例关系，选C；
④ 正方形的边长与总面积：二者比值为定值6，成正比例关系，选B。
(3) 由顶点数的变化规律可得，x个正方形对应的顶点数$y=3x+1$。
【答案】
(1)
| 正方形的个数 | 1 | 2 | 3 | 4 | … |
| ---- | ---- | ---- | ---- | ---- | ---- |
| 正方形的边长/cm | 6 | 3 | 2 | 1.5 | … |
| 顶点数 | 4 | 7 | 10 | 13 | … |
| 总面积/cm² | 36 | 18 | 12 | 9 | … |
(2) C；A；C；B
(3) $y=3x+1$
【知识点】
正反比例判断，图形规律探究，用字母表示数
【点评】
本题结合图形摆放问题，既考查了学生探究图形变化规律的能力，又考查了对正反比例定义的理解与运用，能够有效锻炼推理分析能力。
【难度系数】
0.65
1. 第(1)问解题思路：首先明确24cm是摆出的所有正方形的周长总和。①计算边长：设正方形个数为n，每个边长为a，可得4×n×a=24，即a=6/n，代入n的数值即可算出对应边长；②计算顶点数：观察规律可知，1个正方形有4个顶点，每增加1个正方形就新增3个顶点，顶点数符合规律3n+1，代入n的数值即可得到对应顶点数；③计算总面积：总面积是n个正方形的面积和，即S=n×a²，代入a和n的数值即可算出对应面积。
2. 第(2)问解题思路：根据正反比例的定义判断：两种相关联的量，若比值为定值则成正比例，若乘积为定值则成反比例，否则不成比例，分别分析每组两个量的关系即可选择。
3. 第(3)问解题思路：结合第(1)问得到的顶点数与正方形个数的规律，直接写出关系式即可。
【解析】
(1) 填表计算过程：
① 边长：n=1时，$a=24÷(4×1)=6\mathrm{cm}$；n=2时，$a=24÷(4×2)=3\mathrm{cm}$；n=3时，$a=24÷(4×3)=2\mathrm{cm}$；n=4时，$a=24÷(4×4)=1.5\mathrm{cm}$。
② 顶点数：n=1时为4个；n=2时为$4+3=7$个；n=3时为$7+3=10$个；n=4时为$10+3=13$个。
③ 总面积：n=1时，$S=6^2=36\mathrm{cm}^2$；n=2时，$S=2×3^2=18\mathrm{cm}^2$；n=3时，$S=3×2^2=12\mathrm{cm}^2$；n=4时，$S=4×1.5^2=9\mathrm{cm}^2$。
填表结果如下：
| 正方形的个数 | 1 | 2 | 3 | 4 | … |
| ---- | ---- | ---- | ---- | ---- | ---- |
| 正方形的边长/cm | 6 | 3 | 2 | 1.5 | … |
| 顶点数 | 4 | 7 | 10 | 13 | … |
| 总面积/cm² | 36 | 18 | 12 | 9 | … |
(2) 比例关系判断：
① 正方形个数与边长：二者乘积为定值6，成反比例关系，选C；
② 正方形个数与顶点数：二者既无定值比值也无定值乘积，不成比例关系，选A；
③ 正方形个数与总面积：二者乘积为定值36，成反比例关系，选C；
④ 正方形的边长与总面积：二者比值为定值6，成正比例关系，选B。
(3) 由顶点数的变化规律可得，x个正方形对应的顶点数$y=3x+1$。
【答案】
(1)
| 正方形的个数 | 1 | 2 | 3 | 4 | … |
| ---- | ---- | ---- | ---- | ---- | ---- |
| 正方形的边长/cm | 6 | 3 | 2 | 1.5 | … |
| 顶点数 | 4 | 7 | 10 | 13 | … |
| 总面积/cm² | 36 | 18 | 12 | 9 | … |
(2) C；A；C；B
(3) $y=3x+1$
【知识点】
正反比例判断，图形规律探究，用字母表示数
【点评】
本题结合图形摆放问题，既考查了学生探究图形变化规律的能力，又考查了对正反比例定义的理解与运用，能够有效锻炼推理分析能力。
【难度系数】
0.65
