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5. 已知A,B两地相距720 km,一列快车从A地开出,每小时行100 km;一列慢车从B地开出,每小时行80 km.
(1)两车同时开出,相向而行,x h相遇,则可列方程为;
(2)两车同时开出,同向而行,x h后快车追上慢车,则可列方程为;
(3)两车同时开出,背向而行,x h后两车相距1 080 km,则可列方程为;
(4)慢车先开出1 h,两车相向而行,慢车开出多少小时后两车相距280 km?
(1)两车同时开出,相向而行,x h相遇,则可列方程为;
(2)两车同时开出,同向而行,x h后快车追上慢车,则可列方程为;
(3)两车同时开出,背向而行,x h后两车相距1 080 km,则可列方程为;
(4)慢车先开出1 h,两车相向而行,慢车开出多少小时后两车相距280 km?
答案
解：
(1) $100x + 80x = 720$
(2) $100x - 80x = 720$
(3) $100x + 80x + 720 = 1080$
(4) 设慢车开出$x$小时后两车相距280 km，此时快车行驶了$(x-1)$小时。
① 两车相遇前相距280 km，根据题意得：
$80x + 100(x-1) = 720 - 280$
解得：$x=3$
② 两车相遇后相距280 km，根据题意得：
$80x + 100(x-1) = 720 + 280$
解得：$x=\frac{55}{9}$
答：慢车开出3小时或$\frac{55}{9}$小时后两车相距280 km。
(1) $100x + 80x = 720$
(2) $100x - 80x = 720$
(3) $100x + 80x + 720 = 1080$
(4) 设慢车开出$x$小时后两车相距280 km，此时快车行驶了$(x-1)$小时。
① 两车相遇前相距280 km，根据题意得：
$80x + 100(x-1) = 720 - 280$
解得：$x=3$
② 两车相遇后相距280 km，根据题意得：
$80x + 100(x-1) = 720 + 280$
解得：$x=\frac{55}{9}$
答：慢车开出3小时或$\frac{55}{9}$小时后两车相距280 km。
解析
【分析】
本题属于行程类一元一次方程应用题，核心公式为“路程=速度×时间”，解题时先明确两车行驶方向、时间、初始距离的关系，再找等量关系列方程：
(1)相向而行相遇时，两车行驶的路程之和等于A、B两地初始距离；
(2)同向而行快车追上慢车时，快车比慢车多行驶的路程等于A、B两地初始距离；
(3)背向行驶时，两车的总距离等于初始距离加上两车各自行驶的路程之和；
(4)慢车先开1小时，所以快车行驶时间比慢车少1小时，两车相距280km要分两种情况讨论：一是相遇前还相距280km，此时两车行驶路程之和等于初始距离减280km；二是相遇后继续行驶又拉开280km，此时两车行驶路程之和等于初始距离加280km，分别列方程求解即可。
【解析】
(1) 相向而行x小时相遇，快车行驶路程为100x km，慢车行驶路程为80x km，总路程等于720km，列方程：$100x + 80x = 720$；
(2) 同向而行x小时快车追上慢车，快车行驶100x km，慢车行驶80x km，快车比慢车多走720km，列方程：$100x - 80x =720$；
(3) 背向而行x小时后两车相距1080km，初始距离720km，加上两车共行驶的(100x+80x)km等于1080km，列方程：$100x +80x +720=1080$；
(4) 设慢车开出x小时后两车相距280km，此时快车行驶时间为$(x-1)$小时：
① 相遇前相距280km：两车行驶总路程为$720-280=440$km，列方程：
$80x +100(x-1) = 440$
展开得：$80x +100x -100 =440$
合并同类项：$180x=540$
解得：$x=3$
② 相遇后相距280km：两车行驶总路程为$720+280=1000$km，列方程：
$80x +100(x-1) = 1000$
展开得：$80x+100x -100 =1000$
合并同类项：$180x=1100$
解得：$x=\frac{55}{9}$
【答案】
(1) $\boldsymbol{100x + 80x = 720}$
(2) $\boldsymbol{100x - 80x = 720}$
(3) $\boldsymbol{100x + 80x + 720 = 1080}$
(4) 慢车开出3小时或$\boldsymbol{\frac{55}{9}}$小时后两车相距280 km。
【知识点】
一元一次方程应用；行程问题；分类讨论
【点评】
本题是行程问题的典型习题，覆盖了相向、同向、背向三类常见行驶场景的等量关系考查，第四问需要注意两车相距固定距离存在相遇前、相遇后两种情况，解题时要避免漏解。
【难度系数】
0.7
本题属于行程类一元一次方程应用题，核心公式为“路程=速度×时间”，解题时先明确两车行驶方向、时间、初始距离的关系，再找等量关系列方程：
(1)相向而行相遇时，两车行驶的路程之和等于A、B两地初始距离；
(2)同向而行快车追上慢车时，快车比慢车多行驶的路程等于A、B两地初始距离；
(3)背向行驶时，两车的总距离等于初始距离加上两车各自行驶的路程之和；
(4)慢车先开1小时，所以快车行驶时间比慢车少1小时，两车相距280km要分两种情况讨论：一是相遇前还相距280km，此时两车行驶路程之和等于初始距离减280km；二是相遇后继续行驶又拉开280km，此时两车行驶路程之和等于初始距离加280km，分别列方程求解即可。
【解析】
(1) 相向而行x小时相遇，快车行驶路程为100x km，慢车行驶路程为80x km，总路程等于720km，列方程：$100x + 80x = 720$；
(2) 同向而行x小时快车追上慢车，快车行驶100x km，慢车行驶80x km，快车比慢车多走720km，列方程：$100x - 80x =720$；
(3) 背向而行x小时后两车相距1080km，初始距离720km，加上两车共行驶的(100x+80x)km等于1080km，列方程：$100x +80x +720=1080$；
(4) 设慢车开出x小时后两车相距280km，此时快车行驶时间为$(x-1)$小时：
① 相遇前相距280km：两车行驶总路程为$720-280=440$km，列方程：
$80x +100(x-1) = 440$
展开得：$80x +100x -100 =440$
合并同类项：$180x=540$
解得：$x=3$
② 相遇后相距280km：两车行驶总路程为$720+280=1000$km，列方程：
$80x +100(x-1) = 1000$
展开得：$80x+100x -100 =1000$
合并同类项：$180x=1100$
解得：$x=\frac{55}{9}$
【答案】
(1) $\boldsymbol{100x + 80x = 720}$
(2) $\boldsymbol{100x - 80x = 720}$
(3) $\boldsymbol{100x + 80x + 720 = 1080}$
(4) 慢车开出3小时或$\boldsymbol{\frac{55}{9}}$小时后两车相距280 km。
【知识点】
一元一次方程应用；行程问题；分类讨论
【点评】
本题是行程问题的典型习题，覆盖了相向、同向、背向三类常见行驶场景的等量关系考查，第四问需要注意两车相距固定距离存在相遇前、相遇后两种情况，解题时要避免漏解。
【难度系数】
0.7
6.某商场在十一国庆节假日期间投入13 800元资金购进甲、乙两种矿泉水共500箱，矿泉水的成本价和销售价如下表所示.
(1)该商场购进甲、乙两种矿泉水各多少箱？
(2)为了促销，该商场将甲种矿泉水打九折出售，将乙种矿泉水打八五折出售，这样500箱矿泉水在“十一”国庆节假期结束时全部售完.该商场可获得利润多少元？
(1)该商场购进甲、乙两种矿泉水各多少箱？
(2)为了促销，该商场将甲种矿泉水打九折出售，将乙种矿泉水打八五折出售，这样500箱矿泉水在“十一”国庆节假期结束时全部售完.该商场可获得利润多少元？
答案
解：
(1) 设该商场购进甲种矿泉水x箱，则购进乙种矿泉水(500-x)箱。
根据题意列方程：
24x + 33(500 - x) = 13800
展开得：24x + 16500 - 33x = 13800
移项合并得：-9x = -2700
解得：x = 300
乙种矿泉水数量为：500 - 300 = 200（箱）
(2) 甲种矿泉水打折后每箱售价：36×0.9 = 32.4（元）
乙种矿泉水打折后每箱售价：48×0.85 = 40.8（元）
总利润为：
300×(32.4 - 24) + 200×(40.8 - 33)
= 300×8.4 + 200×7.8
= 2520 + 1560 = 4080（元）
答：该商场购进甲种矿泉水300箱，乙种矿泉水200箱；全部售完后可获得利润4080元。
(1) 设该商场购进甲种矿泉水x箱，则购进乙种矿泉水(500-x)箱。
根据题意列方程：
24x + 33(500 - x) = 13800
展开得：24x + 16500 - 33x = 13800
移项合并得：-9x = -2700
解得：x = 300
乙种矿泉水数量为：500 - 300 = 200（箱）
(2) 甲种矿泉水打折后每箱售价：36×0.9 = 32.4（元）
乙种矿泉水打折后每箱售价：48×0.85 = 40.8（元）
总利润为：
300×(32.4 - 24) + 200×(40.8 - 33)
= 300×8.4 + 200×7.8
= 2520 + 1560 = 4080（元）
答：该商场购进甲种矿泉水300箱，乙种矿泉水200箱；全部售完后可获得利润4080元。
解析
【分析】
（1）解决第一问的核心是找到等量关系：甲矿泉水的总成本+乙矿泉水的总成本=总投入资金。已知两种矿泉水总箱数为500箱，我们可以设甲种矿泉水的箱数为x，那么乙种矿泉水的箱数就是(500-x)，结合表格给出的成本价代入等量关系列方程，即可求解两种矿泉水的进货量。
（2）解决第二问的核心是牢记利润计算公式：总利润=单箱利润×销售数量。首先先分别计算两种矿泉水打折后的实际售价，用实际售价减去成本价得到单箱利润，再分别乘以对应的销售数量，求和后即可得到总利润。
【解析】
(1) 设该商场购进甲种矿泉水x箱，则购进乙种矿泉水(500-x)箱。
根据总投入资金列方程：
$24x + 33(500 - x) = 13800$
展开得：$24x + 16500 - 33x = 13800$
移项合并同类项得：$-9x = -2700$
解得：$x = 300$
乙种矿泉水数量为：$500 - 300 = 200$（箱）
(2) 先计算两种矿泉水打折后的实际售价：
甲种矿泉水打折后每箱售价：$36×0.9 = 32.4$（元）
乙种矿泉水打折后每箱售价：$48×0.85 = 40.8$（元）
再计算总利润：
$\begin{split}总利润&=300×(32.4 - 24) + 200×(40.8 - 33)\\&= 300×8.4 + 200×7.8\\&= 2520 + 1560\\&= 4080（元）\end{split}$
【答案】
(1) 购进甲种矿泉水300箱，乙种矿泉水200箱；
(2) 全部售完可获得利润4080元。
【知识点】
一元一次方程应用；打折销售；利润计算
【点评】
本题是典型的销售类方程应用题，解题的关键是找准成本、售价、数量之间的等量关系，计算时要注意折扣的正确换算，熟练掌握列方程解应用题的基本步骤即可轻松作答。
【难度系数】
0.7
（1）解决第一问的核心是找到等量关系：甲矿泉水的总成本+乙矿泉水的总成本=总投入资金。已知两种矿泉水总箱数为500箱，我们可以设甲种矿泉水的箱数为x，那么乙种矿泉水的箱数就是(500-x)，结合表格给出的成本价代入等量关系列方程，即可求解两种矿泉水的进货量。
（2）解决第二问的核心是牢记利润计算公式：总利润=单箱利润×销售数量。首先先分别计算两种矿泉水打折后的实际售价，用实际售价减去成本价得到单箱利润，再分别乘以对应的销售数量，求和后即可得到总利润。
【解析】
(1) 设该商场购进甲种矿泉水x箱，则购进乙种矿泉水(500-x)箱。
根据总投入资金列方程：
$24x + 33(500 - x) = 13800$
展开得：$24x + 16500 - 33x = 13800$
移项合并同类项得：$-9x = -2700$
解得：$x = 300$
乙种矿泉水数量为：$500 - 300 = 200$（箱）
(2) 先计算两种矿泉水打折后的实际售价：
甲种矿泉水打折后每箱售价：$36×0.9 = 32.4$（元）
乙种矿泉水打折后每箱售价：$48×0.85 = 40.8$（元）
再计算总利润：
$\begin{split}总利润&=300×(32.4 - 24) + 200×(40.8 - 33)\\&= 300×8.4 + 200×7.8\\&= 2520 + 1560\\&= 4080（元）\end{split}$
【答案】
(1) 购进甲种矿泉水300箱，乙种矿泉水200箱；
(2) 全部售完可获得利润4080元。
【知识点】
一元一次方程应用；打折销售；利润计算
【点评】
本题是典型的销售类方程应用题，解题的关键是找准成本、售价、数量之间的等量关系，计算时要注意折扣的正确换算，熟练掌握列方程解应用题的基本步骤即可轻松作答。
【难度系数】
0.7
7.(2025 昭通期末)某学校开设了丰富的选修课程,其中滑板运动是深受学生喜爱的课程之一.现需要购买8块滑板和若干套滑板护具,了解到A,B两家商店出售同样品牌的滑板和滑板护具,滑板定价60元一块,滑板护具定价10元一套.恰逢元旦,两个店出台优惠方案:A店可以按定价的九折优惠;B店每买一块滑板赠送滑板护具一套.若班级需购买滑板护具x(不少于8套)套.
(1)用含x的代数式,分别表示到A,B两店购买所需的费用;(列式并化简)
(2)试探究,当购买滑板护具的套数x取什么值时,去哪家商店购买更划算?
(1)用含x的代数式,分别表示到A,B两店购买所需的费用;(列式并化简)
(2)试探究,当购买滑板护具的套数x取什么值时,去哪家商店购买更划算?
答案
解：
(1) 到A店购买所需费用：
$(8×60 + 10x)×0.9 = 9x + 432$（元）
到B店购买所需费用：
$8×60 + 10(x-8) = 10x + 400$（元）
(2) ① 若到A店购买更划算：
$9x + 432 ＜ 10x + 400$
解得 $x ＞ 32$
② 若到两家店购买费用相同：
$9x + 432 = 10x + 400$
解得 $x = 32$
③ 若到B店购买更划算：
$9x + 432 ＞ 10x + 400$
解得 $x ＜ 32$
结合题意$x≥8$，可得$8≤ x ＜ 32$。
答：当购买滑板护具套数大于32时，去A店购买更划算；当购买滑板护具套数等于32时，两家店购买费用相同；当购买滑板护具套数不少于8且小于32时，去B店购买更划算。
(1) 到A店购买所需费用：
$(8×60 + 10x)×0.9 = 9x + 432$（元）
到B店购买所需费用：
$8×60 + 10(x-8) = 10x + 400$（元）
(2) ① 若到A店购买更划算：
$9x + 432 ＜ 10x + 400$
解得 $x ＞ 32$
② 若到两家店购买费用相同：
$9x + 432 = 10x + 400$
解得 $x = 32$
③ 若到B店购买更划算：
$9x + 432 ＞ 10x + 400$
解得 $x ＜ 32$
结合题意$x≥8$，可得$8≤ x ＜ 32$。
答：当购买滑板护具套数大于32时，去A店购买更划算；当购买滑板护具套数等于32时，两家店购买费用相同；当购买滑板护具套数不少于8且小于32时，去B店购买更划算。
解析
【分析】
(1) 要表示两店的购买费用，先分别梳理两店的优惠规则：A店所有商品总价打九折，先计算8块滑板和x套护具的原价总和，再乘0.9即可得到A店费用；B店买1块滑板送1套护具，买8块滑板会赠送8套护具，因此仅需要额外购买（x-8）套护具，分别计算滑板的费用和需要付费的护具费用，相加即可得到B店费用。
(2) 要判断哪家店更划算，本质是比较两店费用的大小，分三种情况讨论：A店费用更低、两店费用相等、B店费用更低，分别列不等式或方程求解，最后结合题目给出的x≥8的条件整理结果即可。
【解析】
(1) 计算A店购买所需费用：
先算总原价为8块滑板的总价加x套护具的总价，即$8×60 + 10x$，打九折后费用为：
$(8×60 + 10x)×0.9 = (480 + 10x)×0.9 = 9x + 432$（元）
计算B店购买所需费用：
买8块滑板赠送8套护具，因此需要付费的护具数量为$(x-8)$套，总费用为8块滑板的总价加付费护具的总价：
$8×60 + 10(x-8) = 480 + 10x - 80 = 10x + 400$（元）
(2) 分三种情况讨论：
① 若到A店购买更划算，即A店费用小于B店费用：
$9x + 432 ＜ 10x + 400$
移项得：$432 - 400 ＜ 10x - 9x$
解得：$x ＞ 32$
② 若两家店购买费用相同，即两店费用相等：
$9x + 432 = 10x + 400$
移项得：$432 - 400 = 10x - 9x$
解得：$x = 32$
③ 若到B店购买更划算，即B店费用小于A店费用：
$9x + 432 ＞ 10x + 400$
移项得：$432 - 400 ＞ 10x - 9x$
解得：$x ＜ 32$
结合题目中$x≥8$的条件，可得此时$8≤ x ＜ 32$。
【答案】
(1) 到A店购买所需费用为$\boldsymbol{9x + 432}$元，到B店购买所需费用为$\boldsymbol{10x + 400}$元；
(2) 当购买滑板护具套数大于32时，去A店购买更划算；当购买滑板护具套数等于32时，两家店购买费用相同；当购买滑板护具套数不少于8且小于32时，去B店购买更划算。
【知识点】
列代数式；一元一次方程的应用；一元一次不等式的应用
【点评】
本题属于生活中的方案选择类应用题，紧密结合消费优惠的实际场景，需要准确理解优惠规则列出代数式，再通过分类讨论比较费用大小，解题时要注意题目中隐含的自变量取值范围，避免结果不符合实际要求。
【难度系数】
0.7
(1) 要表示两店的购买费用，先分别梳理两店的优惠规则：A店所有商品总价打九折，先计算8块滑板和x套护具的原价总和，再乘0.9即可得到A店费用；B店买1块滑板送1套护具，买8块滑板会赠送8套护具，因此仅需要额外购买（x-8）套护具，分别计算滑板的费用和需要付费的护具费用，相加即可得到B店费用。
(2) 要判断哪家店更划算，本质是比较两店费用的大小，分三种情况讨论：A店费用更低、两店费用相等、B店费用更低，分别列不等式或方程求解，最后结合题目给出的x≥8的条件整理结果即可。
【解析】
(1) 计算A店购买所需费用：
先算总原价为8块滑板的总价加x套护具的总价，即$8×60 + 10x$，打九折后费用为：
$(8×60 + 10x)×0.9 = (480 + 10x)×0.9 = 9x + 432$（元）
计算B店购买所需费用：
买8块滑板赠送8套护具，因此需要付费的护具数量为$(x-8)$套，总费用为8块滑板的总价加付费护具的总价：
$8×60 + 10(x-8) = 480 + 10x - 80 = 10x + 400$（元）
(2) 分三种情况讨论：
① 若到A店购买更划算，即A店费用小于B店费用：
$9x + 432 ＜ 10x + 400$
移项得：$432 - 400 ＜ 10x - 9x$
解得：$x ＞ 32$
② 若两家店购买费用相同，即两店费用相等：
$9x + 432 = 10x + 400$
移项得：$432 - 400 = 10x - 9x$
解得：$x = 32$
③ 若到B店购买更划算，即B店费用小于A店费用：
$9x + 432 ＞ 10x + 400$
移项得：$432 - 400 ＞ 10x - 9x$
解得：$x ＜ 32$
结合题目中$x≥8$的条件，可得此时$8≤ x ＜ 32$。
【答案】
(1) 到A店购买所需费用为$\boldsymbol{9x + 432}$元，到B店购买所需费用为$\boldsymbol{10x + 400}$元；
(2) 当购买滑板护具套数大于32时，去A店购买更划算；当购买滑板护具套数等于32时，两家店购买费用相同；当购买滑板护具套数不少于8且小于32时，去B店购买更划算。
【知识点】
列代数式；一元一次方程的应用；一元一次不等式的应用
【点评】
本题属于生活中的方案选择类应用题，紧密结合消费优惠的实际场景，需要准确理解优惠规则列出代数式，再通过分类讨论比较费用大小，解题时要注意题目中隐含的自变量取值范围，避免结果不符合实际要求。
【难度系数】
0.7
