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例 有1人患了流感，经过两轮传染后共有121人患了流感，每轮传染中平均1人传染了多少人？
答案
设每轮传染中平均1人传染了x人.根据题意,得1+x+x(1+x)=121.整理,得x²+2x−120=0.解这个方程,得x₁=10,x₂=−12(不合题意,舍去).所以每轮传染中平均1人传染了10人
解析
【分析】
解决本题的核心是理清两轮传染的数量变化逻辑：初始有1名流感患者，每轮传染中1名患者可传染x人。第一轮传染时，1名传染源新增x名患者，第一轮结束后总共有(1+x)名患者；第二轮传染时，(1+x)名患者均作为传染源，共新增x(1+x)名患者，两轮结束后的总患病人数等于121，据此即可列出一元二次方程，求解后结合“传染人数不能为负数”的实际要求舍去不符合的根即可得到结果。
【解析】
解：设每轮传染中平均1人传染了x人。
根据两轮传染后总患病人数为121，列方程得：
$1 + x + x(1 + x) = 121$
整理方程：
$x^2 + 2x - 120 = 0$
对方程因式分解得：
$(x - 10)(x + 12) = 0$
解得：$x_1 = 10$，$x_2 = -12$
由于传染的人数不可能为负数，因此$x_2 = -12$不合题意，舍去。
【答案】
每轮传染中平均1人传染了10人
【知识点】
1. 一元二次方程的应用
2. 一元二次方程的解法
3. 实际问题的根取舍
【点评】
本题是典型的传染类应用题，解题关键是准确梳理每轮传染前后的患病总人数的数量关系，列方程求解后要注意结合实际情景验证根的合理性，舍去不符合实际意义的根。
【难度系数】
0.7
解决本题的核心是理清两轮传染的数量变化逻辑：初始有1名流感患者，每轮传染中1名患者可传染x人。第一轮传染时，1名传染源新增x名患者，第一轮结束后总共有(1+x)名患者；第二轮传染时，(1+x)名患者均作为传染源，共新增x(1+x)名患者，两轮结束后的总患病人数等于121，据此即可列出一元二次方程，求解后结合“传染人数不能为负数”的实际要求舍去不符合的根即可得到结果。
【解析】
解：设每轮传染中平均1人传染了x人。
根据两轮传染后总患病人数为121，列方程得：
$1 + x + x(1 + x) = 121$
整理方程：
$x^2 + 2x - 120 = 0$
对方程因式分解得：
$(x - 10)(x + 12) = 0$
解得：$x_1 = 10$，$x_2 = -12$
由于传染的人数不可能为负数，因此$x_2 = -12$不合题意，舍去。
【答案】
每轮传染中平均1人传染了10人
【知识点】
1. 一元二次方程的应用
2. 一元二次方程的解法
3. 实际问题的根取舍
【点评】
本题是典型的传染类应用题，解题关键是准确梳理每轮传染前后的患病总人数的数量关系，列方程求解后要注意结合实际情景验证根的合理性，舍去不符合实际意义的根。
【难度系数】
0.7
1. 某市为了优化环境，计划用两年时间将绿地面积增加44%.这两年平均每年绿地面积的增长率是多少？
答案
设该市原有绿地面积为A,这两年平均每年绿地面积的增长率是x.根据题意,得A(1+x)²=A+44%·A.解得x₁=0.2=20%,x₂=−2.2. x₂=−2.2不合题意,舍去.所以这两年平均每年绿地面积的增长率是20%
解析
【分析】
这是典型的平均增长率问题，解题思路如下：①首先明确平均增长率的核心等量关系：增长n次后的量=初始量×(1+平均增长率)ⁿ；②本题中增长次数为2次，两年后绿地面积比原有面积增加44%，即两年后面积是原有面积的(1+44%)倍；③原有绿地面积为固定值，可设为参数A（计算时会消去，也可直接设为1简化计算），再设平均年增长率为x，根据等量关系列一元二次方程；④解方程后，结合增长率为正数的实际意义舍去不符合题意的根，即可得到最终结果。
【解析】
设该市原有绿地面积为A，这两年平均每年绿地面积的增长率是x。
根据两年后绿地面积为原有面积的(1+44%)倍，列方程：
$ A(1+x)^2 = A + 44\% · A $
由于A≠0，两边同时除以A得：
$ (1+x)^2 = 1.44 $
开平方得：$ 1+x = \pm1.2 $
解得：$ x_1 = 0.2 = 20\% $，$ x_2 = -2.2 $
因为增长率不能为负数，所以$ x_2=-2.2 $不合题意，舍去。
【答案】
20%
【知识点】
1. 一元二次方程的应用
2. 平均增长率问题
【点评】
本题是平均增长率类的基础常考题，解题核心是牢记增长率的计算公式，列方程时要找准等量关系，求解后一定要结合实际问题的意义检验根的合理性，舍去不符合要求的根。
【难度系数】
0.8
这是典型的平均增长率问题，解题思路如下：①首先明确平均增长率的核心等量关系：增长n次后的量=初始量×(1+平均增长率)ⁿ；②本题中增长次数为2次，两年后绿地面积比原有面积增加44%，即两年后面积是原有面积的(1+44%)倍；③原有绿地面积为固定值，可设为参数A（计算时会消去，也可直接设为1简化计算），再设平均年增长率为x，根据等量关系列一元二次方程；④解方程后，结合增长率为正数的实际意义舍去不符合题意的根，即可得到最终结果。
【解析】
设该市原有绿地面积为A，这两年平均每年绿地面积的增长率是x。
根据两年后绿地面积为原有面积的(1+44%)倍，列方程：
$ A(1+x)^2 = A + 44\% · A $
由于A≠0，两边同时除以A得：
$ (1+x)^2 = 1.44 $
开平方得：$ 1+x = \pm1.2 $
解得：$ x_1 = 0.2 = 20\% $，$ x_2 = -2.2 $
因为增长率不能为负数，所以$ x_2=-2.2 $不合题意，舍去。
【答案】
20%
【知识点】
1. 一元二次方程的应用
2. 平均增长率问题
【点评】
本题是平均增长率类的基础常考题，解题核心是牢记增长率的计算公式，列方程时要找准等量关系，求解后一定要结合实际问题的意义检验根的合理性，舍去不符合要求的根。
【难度系数】
0.8
2. 据统计，某校今年的近视学生人数是前年的近视学生人数的81％.这两年平均每年近视学生人数降低的百分率是多少？
答案
10%
解析
【分析】
这是典型的平均降低率问题，解题思路如下：1. 先设平均每年近视人数降低的百分率为x，可将前年近视学生人数设为单位“1”（或任意非零字母，最终会约去）；2. 明确变化规律：每次降低后的量=降低前的量×(1-降低率)，经过两年降低后，今年的近视人数是前年的$(1-x)^2$倍；3. 根据“今年近视人数是前年的81%”列方程求解，最后检验根是否符合实际意义，舍去不合理的根。
【解析】
解：设这两年平均每年近视学生人数降低的百分率是x，将前年近视学生人数看作单位“1”。
根据题意列方程得：
$(1-x)^2 = 81\%$
两边开平方得：
$1-x = \pm0.9$
解得：
$x_1=1-0.9=0.1=10\%$，$x_2=1+0.9=1.9$
由于降低率不能大于1，$x_2=1.9$不符合实际意义，故舍去。
【答案】
10%
【知识点】
降低率问题，一元二次方程的应用，实际问题验根
【点评】
本题是百分率类的常规应用题，解题核心是掌握平均变化率的数量关系，列方程求解后一定要结合实际场景判断根的合理性，避免出现不符合常识的结果。
【难度系数】
0.7
这是典型的平均降低率问题，解题思路如下：1. 先设平均每年近视人数降低的百分率为x，可将前年近视学生人数设为单位“1”（或任意非零字母，最终会约去）；2. 明确变化规律：每次降低后的量=降低前的量×(1-降低率)，经过两年降低后，今年的近视人数是前年的$(1-x)^2$倍；3. 根据“今年近视人数是前年的81%”列方程求解，最后检验根是否符合实际意义，舍去不合理的根。
【解析】
解：设这两年平均每年近视学生人数降低的百分率是x，将前年近视学生人数看作单位“1”。
根据题意列方程得：
$(1-x)^2 = 81\%$
两边开平方得：
$1-x = \pm0.9$
解得：
$x_1=1-0.9=0.1=10\%$，$x_2=1+0.9=1.9$
由于降低率不能大于1，$x_2=1.9$不符合实际意义，故舍去。
【答案】
10%
【知识点】
降低率问题，一元二次方程的应用，实际问题验根
【点评】
本题是百分率类的常规应用题，解题核心是掌握平均变化率的数量关系，列方程求解后一定要结合实际场景判断根的合理性，避免出现不符合常识的结果。
【难度系数】
0.7
3. 甲飞机以300 m/s的速度由南向北飞行，下午2:00经过A市上空；乙飞机以400 m/s的速度由西向东飞行，下午2:20经过A市上空。如果两架飞机的飞行高度相同，几点钟时两架飞机相距360 km？
答案
300 m/s=18 km/min, 400 m/s=24 km/min. 设从下午2:00开始,经过 t min 后,两架飞机相距 360 km. 根据题意,得[24(20−t)]²+(18t)²=360².解得t₁=5.6,t₂=20.所以在下午2时5分36秒或下午2时20分的时候,两架飞机相距360 km
解析
【分析】
这是行程结合几何的一元二次方程应用题，解题思路如下：首先统一单位，题干中速度单位为m/s，距离为km，时间差为分钟，将速度换算为km/min更便于计算；其次明确两架飞机飞行方向垂直，距离符合直角三角形斜边的特征，可用勾股定理建模；接着设从下午2:00开始经过t min两架飞机相距360km，分别表示t时刻两架飞机到A市的距离：甲2点已在A市，向北飞行t min后距A市18t km，乙2:20才到A市，t min时距A市的距离为24|20-t| km，平方运算可消去绝对值，无需额外分类讨论；最后根据勾股定理列方程求解，换算为对应时间后验证合理性即可。
【解析】
第一步：单位换算
$300\ \mathrm{m/s}=300× 3.6÷ 60=18\ \mathrm{km/min}$，$400\ \mathrm{m/s}=400× 3.6÷ 60=24\ \mathrm{km/min}$
第二步：设未知数列方程
设从下午2:00开始，经过$t\ \mathrm{min}$后两架飞机相距360 km。
甲飞机距A市的距离为$18t\ \mathrm{km}$，乙飞机距A市的距离为$24(20-t)\ \mathrm{km}$（平方后绝对值已消去），由勾股定理得：
$[24(20-t)]^2+(18t)^2=360^2$
第三步：解方程
展开化简：
$576(400-40t+t^2)+324t^2=129600$
$900t^2-23040t+100800=0$
两边同除以180得：$5t^2-128t+560=0$
由求根公式得：
$t=\frac{128\pm\sqrt{128^2-4×5×560}}{2×5}=\frac{128\pm72}{10}$
解得$t_1=5.6$，$t_2=20$
第四步：换算时间
$5.6\ \mathrm{min}=5\ \mathrm{min}36\ \mathrm{s}$，对应时间为下午2时5分36秒；$20\ \mathrm{min}$对应时间为下午2时20分，两个结果均符合实际。
【答案】
下午2时5分36秒或下午2时20分
【知识点】
勾股定理、一元二次方程应用、行程问题
【点评】
本题是代数与几何结合的典型应用题，解题核心是准确梳理运动物体的位置关系，借助几何性质列方程，求解后要注意验证结果是否符合实际运动情境。
【难度系数】
0.6
这是行程结合几何的一元二次方程应用题，解题思路如下：首先统一单位，题干中速度单位为m/s，距离为km，时间差为分钟，将速度换算为km/min更便于计算；其次明确两架飞机飞行方向垂直，距离符合直角三角形斜边的特征，可用勾股定理建模；接着设从下午2:00开始经过t min两架飞机相距360km，分别表示t时刻两架飞机到A市的距离：甲2点已在A市，向北飞行t min后距A市18t km，乙2:20才到A市，t min时距A市的距离为24|20-t| km，平方运算可消去绝对值，无需额外分类讨论；最后根据勾股定理列方程求解，换算为对应时间后验证合理性即可。
【解析】
第一步：单位换算
$300\ \mathrm{m/s}=300× 3.6÷ 60=18\ \mathrm{km/min}$，$400\ \mathrm{m/s}=400× 3.6÷ 60=24\ \mathrm{km/min}$
第二步：设未知数列方程
设从下午2:00开始，经过$t\ \mathrm{min}$后两架飞机相距360 km。
甲飞机距A市的距离为$18t\ \mathrm{km}$，乙飞机距A市的距离为$24(20-t)\ \mathrm{km}$（平方后绝对值已消去），由勾股定理得：
$[24(20-t)]^2+(18t)^2=360^2$
第三步：解方程
展开化简：
$576(400-40t+t^2)+324t^2=129600$
$900t^2-23040t+100800=0$
两边同除以180得：$5t^2-128t+560=0$
由求根公式得：
$t=\frac{128\pm\sqrt{128^2-4×5×560}}{2×5}=\frac{128\pm72}{10}$
解得$t_1=5.6$，$t_2=20$
第四步：换算时间
$5.6\ \mathrm{min}=5\ \mathrm{min}36\ \mathrm{s}$，对应时间为下午2时5分36秒；$20\ \mathrm{min}$对应时间为下午2时20分，两个结果均符合实际。
【答案】
下午2时5分36秒或下午2时20分
【知识点】
勾股定理、一元二次方程应用、行程问题
【点评】
本题是代数与几何结合的典型应用题，解题核心是准确梳理运动物体的位置关系，借助几何性质列方程，求解后要注意验证结果是否符合实际运动情境。
【难度系数】
0.6
