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例3 $\underbrace{0.7×0.7×0.7×…×0.7}_{2026个0.7}$ 的积的末位数字是几？
分析:可以运用转化法,将小数乘法转化为整数乘法来研究,本题就变成了“探究2026个7相乘的积的末位数字”。依次列出2个7、3个7、4个7……相乘的积的末位数字,如下:
可以发现,积的末位数字按“9、3、1、7”的顺序重复出现,每4个为一个周期。2026个7相乘是周期的第2025个,$2025÷4=506(\mathrm{组})\dots1(\mathrm{个})$,也就是第507组的第1个,积的末位数字是9。所以2026个0.7相乘的积的末位数字也是9。
解答:积的末位数字是9
分析:可以运用转化法,将小数乘法转化为整数乘法来研究,本题就变成了“探究2026个7相乘的积的末位数字”。依次列出2个7、3个7、4个7……相乘的积的末位数字,如下:
可以发现,积的末位数字按“9、3、1、7”的顺序重复出现,每4个为一个周期。2026个7相乘是周期的第2025个,$2025÷4=506(\mathrm{组})\dots1(\mathrm{个})$,也就是第507组的第1个,积的末位数字是9。所以2026个0.7相乘的积的末位数字也是9。
解答:积的末位数字是9
答案
7×7=49
9×7=63
3×7=21
1×7=7
2026÷4=506……2
答：积的末位数字是9。
9×7=63
3×7=21
1×7=7
2026÷4=506……2
答：积的末位数字是9。
5. $\underbrace{0.3×0.3×0.3×···×0.3}_{1001个0.3}$ 积的末位数字是几？
答案
5. 积的末位数字是3
提示:运用转化法,将小数乘法转化为整数乘法来研究,本题就变成了“探究1001个3相乘的积的末位数字”。依次列出2个3、3个3、4个3……相乘的积的末位数字,如下:
[图1]
可以发现,积的末位数字按“9、7、1、3”的顺序重复出现,每4个为一个周期。1001个7相乘是周期的第1000个,$1000÷4=250$(组),也就是第250组的第4个,积的末位数字是3。所以1001个0.3相乘的积的末位数字也是3。
提示:运用转化法,将小数乘法转化为整数乘法来研究,本题就变成了“探究1001个3相乘的积的末位数字”。依次列出2个3、3个3、4个3……相乘的积的末位数字,如下:
[图1]
可以发现,积的末位数字按“9、7、1、3”的顺序重复出现,每4个为一个周期。1001个7相乘是周期的第1000个,$1000÷4=250$(组),也就是第250组的第4个,积的末位数字是3。所以1001个0.3相乘的积的末位数字也是3。
6. 0.2×1.2×2.2×3.2×…×2026.2 的积是几位小数？积的末位数字是多少？
答案
6. 积是二千零二七位小数,积的末位数字是8
提示:观察算式可知,每一个乘数都是一位小数,乘数的小数位数一共有$2026-0+1=2027$(位),根据小数乘法的计算法则可知,积是2027位小数。这组乘数的末位数字都是2,那么就是求2027个2相乘的末位数字。依次列出2个2、3个2、4个2……相乘的积的末位数字,如下:
[图2]
可以发现,积的末位数字是以“4、8、6、2”这4个数字为一个周期循环的,2027个2相乘是周期的第2026个,$2026÷4=506$(组)……2(个),也就是第507组的第2个,积的末位数字是8。所以原式的积的末位数字也是8。
提示:观察算式可知,每一个乘数都是一位小数,乘数的小数位数一共有$2026-0+1=2027$(位),根据小数乘法的计算法则可知,积是2027位小数。这组乘数的末位数字都是2,那么就是求2027个2相乘的末位数字。依次列出2个2、3个2、4个2……相乘的积的末位数字,如下:
[图2]
可以发现,积的末位数字是以“4、8、6、2”这4个数字为一个周期循环的,2027个2相乘是周期的第2026个,$2026÷4=506$(组)……2(个),也就是第507组的第2个,积的末位数字是8。所以原式的积的末位数字也是8。
例4 有若干张卡片,其中一部分写着1.1,另一部分写着1.11,它们的和恰好等于43.21,写着1.1的卡片有多少张?写着1.11的卡片呢?
分析:假设这些卡片全部写着1.1,用43.21除以1.1,求出里面有几个1.1,43.21÷1.1 = 39……0.31,即43.21里面有39个1.1,还多出0.31。因为把1.11当作1.1来算,每个1.11少算了0.01,用0.31除以0.01即可求出写着1.11卡片的张数,写着1.11的卡片有0.31÷0.01 = 31(张)。再用39减去1.11卡片的张数即可求出写着1.1的卡片张数,写着1.1的卡片有39-31=8(张)。
解答:43.21÷1.1 = 39……0.31
写着1.11的卡片:0.31÷(1.11-1.1)=31(张)
写着1.1的卡片:39-31=8(张)
答:写着1.11的卡片有31张,写着1.1的卡片有8张。
分析:假设这些卡片全部写着1.1,用43.21除以1.1,求出里面有几个1.1,43.21÷1.1 = 39……0.31,即43.21里面有39个1.1,还多出0.31。因为把1.11当作1.1来算,每个1.11少算了0.01,用0.31除以0.01即可求出写着1.11卡片的张数,写着1.11的卡片有0.31÷0.01 = 31(张)。再用39减去1.11卡片的张数即可求出写着1.1的卡片张数,写着1.1的卡片有39-31=8(张)。
解答:43.21÷1.1 = 39……0.31
写着1.11的卡片:0.31÷(1.11-1.1)=31(张)
写着1.1的卡片:39-31=8(张)
答:写着1.11的卡片有31张,写着1.1的卡片有8张。
答案
43.21÷1.1 = 39……0.31
写着1.11的卡片：0.31÷(1.11-1.1)=31(张)
写着1.1的卡片：39-31=8(张)
答：写着1.1的卡片有8张，写着1.11的卡片有31张。
写着1.11的卡片：0.31÷(1.11-1.1)=31(张)
写着1.1的卡片：39-31=8(张)
答：写着1.1的卡片有8张，写着1.11的卡片有31张。
7. 玻璃厂委托物流公司运送玻璃2000块，规定搬一块得运费8角，每损坏一块，需扣除对应运费，还需赔付10元。物流配送结束后，玻璃厂支付运费1556.8元，那么配送途中损坏了多少块玻璃？
答案
7. 8角=0.8元
$(2000×0.8-1556.8)÷(10+0.8)=4$(块)
答:配送途中损坏了4块玻璃。
提示:2000块玻璃的运费是$(2000×0.8)$元,运费与支付费用的差就是赔付的总价,总价÷单价=数量,损坏了$(2000×0.8-1556.8)÷(10+0.8)=4$(块)。
$(2000×0.8-1556.8)÷(10+0.8)=4$(块)
答:配送途中损坏了4块玻璃。
提示:2000块玻璃的运费是$(2000×0.8)$元,运费与支付费用的差就是赔付的总价,总价÷单价=数量,损坏了$(2000×0.8-1556.8)÷(10+0.8)=4$(块)。
8. 乐乐去文具店购买文具，每支铅笔标价0.5元，每支水笔标价1.2元。乐乐购买的水笔和铅笔一共有30支，购买水笔花的钱比购买铅笔花的钱多5.4元。你知道乐乐一共买了多少支铅笔和多少支水笔吗？
答案
8. $30×0.5+5.4=20.4$(元)
水笔:$20.4÷(1.2+0.5)=12$(支)
铅笔:$30-12=18$(支)
答:乐乐一共买了12支水笔和18支铅笔。
提示:假设乐乐购买的全是铅笔,那么乐乐一共花费$30×0.5=15$(元),此时铅笔和水笔的支数相差30支,购买水笔花的钱比购买铅笔花的钱少15元。实际上,购买水笔花的钱比购买铅笔花的钱多5.4元,相差$15+5.4=20.4$(元)。把一支铅笔换成一支水笔,购买水笔花的钱多1.2元,购买铅笔花的钱少0.5元,购买水笔、铅笔的钱数之差就变化$1.2+0.5=1.7$(元)。用$20.4÷1.7$即可求出水笔的支数,进而求出铅笔的支数。
水笔:$20.4÷(1.2+0.5)=12$(支)
铅笔:$30-12=18$(支)
答:乐乐一共买了12支水笔和18支铅笔。
提示:假设乐乐购买的全是铅笔,那么乐乐一共花费$30×0.5=15$(元),此时铅笔和水笔的支数相差30支,购买水笔花的钱比购买铅笔花的钱少15元。实际上,购买水笔花的钱比购买铅笔花的钱多5.4元,相差$15+5.4=20.4$(元)。把一支铅笔换成一支水笔,购买水笔花的钱多1.2元,购买铅笔花的钱少0.5元,购买水笔、铅笔的钱数之差就变化$1.2+0.5=1.7$(元)。用$20.4÷1.7$即可求出水笔的支数,进而求出铅笔的支数。
