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12. 2026重庆巴蜀中学期末 为测试实心圆柱形量子材料A在低温环境下的电气性能，在A的侧面包裹厚度均匀的冰。现将A和冰一起放入足够高的薄壁柱形容器B的底部，并将容器B置于电子秤上，如图甲所示。然后向容器中匀速注水，直到$t_2$时刻停止注水，停止注水后冰才开始熔化，直至$t_3$时刻熔化结束。整个过程量子材料不吸水，且保持竖直，忽略水的汽化和冰的升华。图乙和图丙分别是水的深度和电子秤示数随时间变化的图像，已知容器B的质量为750 g，冰的密度$\rho_{\mathrm{冰}}=0.9×10^3\ \mathrm{kg/m}^3$，$t_1=100\ \mathrm{s}$，$t_2=105\ \mathrm{s}$。求：(1)注水的速度。(2)量子材料A的密度。
答案
12.【解】(1)从0到$t_2$时刻,向容器中匀速注水。由图丙可知,在$t=0$时,电子秤的示数为$m_0=35.00\ \mathrm{kg}$,在$t_2=105\ \mathrm{s}$时,电子秤的示数为$m_2=40.25\ \mathrm{kg}$,注入水的质量$m_{水}=m_2 - m_0=40.25\ \mathrm{kg}-35.00\ \mathrm{kg}=5.25\ \mathrm{kg}$,由$\rho=\frac{m}{V}$得,注入水的体积$V_{水}=\frac{m_{水}}{\rho_{水}}=\frac{5.25\ \mathrm{kg}}{1.0×10^3\ \mathrm{kg/m}^3}=5.25×10^{-3}\ \mathrm{m}^3=5250\ \mathrm{cm}^3$,注水速度$v=\frac{V_{水}}{t_2}=\frac{5250\ \mathrm{cm}^3}{105\ \mathrm{s}}=50\ \mathrm{cm}^3/\mathrm{s}$。
(2)设容器B的底面积为$S_B$,量子材料A的底面积为$S_A$,高度为$h_A$,冰的质量为$m_{冰}$。由图乙可知,在$t_1$时刻,水面恰好到达材料A和冰的顶部,此时水深为$h_1$,即$h_A=h_1$,在$t_3$时刻,冰完全熔化,水面高度也为$h_1$;在$t_1$到$t_2$阶段,继续注水,水面从$h_1$上升到$1.02h_1$。此过程注入水的体积$\Delta V_1=v×(t_2 - t_1)=50\ \mathrm{cm}^3/\mathrm{s}×(105\ \mathrm{s}-100\ \mathrm{s})=250\ \mathrm{cm}^3=2.5×10^{-4}\ \mathrm{m}^3$,这部分水的体积等于容器底面积$S_B$与水面升高高度的乘积,即$\Delta V_1=S_B×(1.02h_1 - h_1)=0.02S_B h_1$,所以$0.02S_B h_1=2.5×10^{-4}\ \mathrm{m}^3$①,
在$t_2$到$t_3$阶段,冰熔化成水,水面从$1.02h_1$下降到$h_1$。冰熔化成水,质量不变,体积减小。体积的减少量为$\Delta V_2=V_{冰}-V_{水}=\frac{m_{冰}}{\rho_{冰}}-\frac{m_{冰}}{\rho_{水}}=m_{冰}(\frac{1}{\rho_{冰}}-\frac{1}{\rho_{水}})$,这个体积的减少量导致液面下降,其体积变化等于容器底面积$S_B$与水面下降高度的乘积,即$\Delta V_2=S_B×(1.02h_1 - h_1)=0.02S_B h_1$,所以$m_{冰}(\frac{1}{\rho_{冰}}-\frac{1}{\rho_{水}})=0.02S_B h_1$②,
联立①②可得,$m_{冰}(\frac{1}{\rho_{冰}}-\frac{1}{\rho_{水}})=2.5×10^{-4}\ \mathrm{m}^3$,则$m_{冰}(\frac{1}{0.9×10^3\ \mathrm{kg/m}^3}-\frac{1}{1.0×10^3\ \mathrm{kg/m}^3})=2.5×10^{-4}\ \mathrm{m}^3$,解得$m_{冰}=2.25\ \mathrm{kg}$,由图丙可知,当$t=0$时,容器、材料A和冰的总质量为35.00 kg,则$m_B + m_A + m_{冰}=35.00\ \mathrm{kg}$,已知容器质量$m_B=750\ \mathrm{g}=0.75\ \mathrm{kg}$,量子材料A的质量$m_A=35.00\ \mathrm{kg}-m_B - m_{冰}=35.00\ \mathrm{kg}-0.75\ \mathrm{kg}-2.25\ \mathrm{kg}=32.0\ \mathrm{kg}$,在$t_3$时刻,冰已完全熔化。此时容器内水的总体积为注入水的体积与冰熔化成水的体积之和,即$V_{水总}=V_{水}+V_{水(冰化)}=5.25×10^{-3}\ \mathrm{m}^3+\frac{m_{冰}}{\rho_{水}}=5.25×10^{-3}\ \mathrm{m}^3+\frac{2.25\ \mathrm{kg}}{1.0×10^3\ \mathrm{kg/m}^3}=7.5×10^{-3}\ \mathrm{m}^3$,此时水深为$h_1$,水的体积等于容器中水占据的空间体积$V_{水总}=(S_B - S_A)h_1=S_B h_1 - S_A h_1$,所以$S_B h_1 - S_A h_1=7.5×10^{-3}\ \mathrm{m}^3$③,
由①可得$S_B h_1=\frac{2.5×10^{-4}\ \mathrm{m}^3}{0.02}=1.25×10^{-2}\ \mathrm{m}^3$,代入③得$1.25×10^{-2}\ \mathrm{m}^3 - S_A h_1=7.5×10^{-3}\ \mathrm{m}^3$,则$S_A h_1=5×10^{-3}\ \mathrm{m}^3$,量子材料A的体积$V_A=S_A h_1=5×10^{-3}\ \mathrm{m}^3$,量子材料A的密度$\rho_A=\frac{m_A}{V_A}=\frac{32.0\ \mathrm{kg}}{5×10^{-3}\ \mathrm{m}^3}=6.4×10^3\ \mathrm{kg/m}^3$。
(2)设容器B的底面积为$S_B$,量子材料A的底面积为$S_A$,高度为$h_A$,冰的质量为$m_{冰}$。由图乙可知,在$t_1$时刻,水面恰好到达材料A和冰的顶部,此时水深为$h_1$,即$h_A=h_1$,在$t_3$时刻,冰完全熔化,水面高度也为$h_1$;在$t_1$到$t_2$阶段,继续注水,水面从$h_1$上升到$1.02h_1$。此过程注入水的体积$\Delta V_1=v×(t_2 - t_1)=50\ \mathrm{cm}^3/\mathrm{s}×(105\ \mathrm{s}-100\ \mathrm{s})=250\ \mathrm{cm}^3=2.5×10^{-4}\ \mathrm{m}^3$,这部分水的体积等于容器底面积$S_B$与水面升高高度的乘积,即$\Delta V_1=S_B×(1.02h_1 - h_1)=0.02S_B h_1$,所以$0.02S_B h_1=2.5×10^{-4}\ \mathrm{m}^3$①,
在$t_2$到$t_3$阶段,冰熔化成水,水面从$1.02h_1$下降到$h_1$。冰熔化成水,质量不变,体积减小。体积的减少量为$\Delta V_2=V_{冰}-V_{水}=\frac{m_{冰}}{\rho_{冰}}-\frac{m_{冰}}{\rho_{水}}=m_{冰}(\frac{1}{\rho_{冰}}-\frac{1}{\rho_{水}})$,这个体积的减少量导致液面下降,其体积变化等于容器底面积$S_B$与水面下降高度的乘积,即$\Delta V_2=S_B×(1.02h_1 - h_1)=0.02S_B h_1$,所以$m_{冰}(\frac{1}{\rho_{冰}}-\frac{1}{\rho_{水}})=0.02S_B h_1$②,
联立①②可得,$m_{冰}(\frac{1}{\rho_{冰}}-\frac{1}{\rho_{水}})=2.5×10^{-4}\ \mathrm{m}^3$,则$m_{冰}(\frac{1}{0.9×10^3\ \mathrm{kg/m}^3}-\frac{1}{1.0×10^3\ \mathrm{kg/m}^3})=2.5×10^{-4}\ \mathrm{m}^3$,解得$m_{冰}=2.25\ \mathrm{kg}$,由图丙可知,当$t=0$时,容器、材料A和冰的总质量为35.00 kg,则$m_B + m_A + m_{冰}=35.00\ \mathrm{kg}$,已知容器质量$m_B=750\ \mathrm{g}=0.75\ \mathrm{kg}$,量子材料A的质量$m_A=35.00\ \mathrm{kg}-m_B - m_{冰}=35.00\ \mathrm{kg}-0.75\ \mathrm{kg}-2.25\ \mathrm{kg}=32.0\ \mathrm{kg}$,在$t_3$时刻,冰已完全熔化。此时容器内水的总体积为注入水的体积与冰熔化成水的体积之和,即$V_{水总}=V_{水}+V_{水(冰化)}=5.25×10^{-3}\ \mathrm{m}^3+\frac{m_{冰}}{\rho_{水}}=5.25×10^{-3}\ \mathrm{m}^3+\frac{2.25\ \mathrm{kg}}{1.0×10^3\ \mathrm{kg/m}^3}=7.5×10^{-3}\ \mathrm{m}^3$,此时水深为$h_1$,水的体积等于容器中水占据的空间体积$V_{水总}=(S_B - S_A)h_1=S_B h_1 - S_A h_1$,所以$S_B h_1 - S_A h_1=7.5×10^{-3}\ \mathrm{m}^3$③,
由①可得$S_B h_1=\frac{2.5×10^{-4}\ \mathrm{m}^3}{0.02}=1.25×10^{-2}\ \mathrm{m}^3$,代入③得$1.25×10^{-2}\ \mathrm{m}^3 - S_A h_1=7.5×10^{-3}\ \mathrm{m}^3$,则$S_A h_1=5×10^{-3}\ \mathrm{m}^3$,量子材料A的体积$V_A=S_A h_1=5×10^{-3}\ \mathrm{m}^3$,量子材料A的密度$\rho_A=\frac{m_A}{V_A}=\frac{32.0\ \mathrm{kg}}{5×10^{-3}\ \mathrm{m}^3}=6.4×10^3\ \mathrm{kg/m}^3$。
解析
【分析】
要解决本题，需结合图像分析注水过程和冰熔化过程的物理量变化：
1. 求注水速度：匀速注水时，注入水的体积等于注水速度乘以时间，注入水的质量可由电子秤示数变化得到，结合水的密度即可算出体积，进而得到速度。
2. 求量子材料A的密度：需分析t₁到t₂注水时的体积变化，以及t₂到t₃冰熔化的体积变化，通过两者的体积变化关系求出冰的质量；再结合初始总质量算出A的质量，最后利用t₃时水的总体积与容器底面积、A的底面积的关系，求出A的体积，进而计算密度。
【解析】
(1) 由图丙可知，0到t₂时间内，注入水的质量：
$m_{水}=m_2 - m_0=40.25\ \mathrm{kg} - 35.00\ \mathrm{kg}=5.25\ \mathrm{kg}$
根据$\rho=\frac{m}{V}$，注入水的体积：
$V_{水}=\frac{m_{水}}{\rho_{水}}=\frac{5.25\ \mathrm{kg}}{1.0×10^3\ \mathrm{kg/m}^3}=5.25×10^{-3}\ \mathrm{m}^3=5250\ \mathrm{cm}^3$
注水速度：
$v=\frac{V_{水}}{t_2}=\frac{5250\ \mathrm{cm}^3}{105\ \mathrm{s}}=50\ \mathrm{cm}^3/\mathrm{s}$
(2) ① t₁到t₂时间内，注入水的体积：
$\Delta V_1=v×(t_2 - t_1)=50\ \mathrm{cm}^3/\mathrm{s}×(105\ \mathrm{s}-100\ \mathrm{s})=250\ \mathrm{cm}^3=2.5×10^{-4}\ \mathrm{m}^3$
这部分水的体积等于容器底面积$S_B$与水面升高高度的乘积，即$\Delta V_1=S_B×0.02h_1$，得：
$0.02S_B h_1=2.5×10^{-4}\ \mathrm{m}^3$ ①
② t₂到t₃时间内，冰熔化成水，体积减少量等于容器底面积与水面下降高度的乘积，即$\Delta V_2=S_B×0.02h_1=2.5×10^{-4}\ \mathrm{m}^3$；
冰熔化成水，质量不变，体积减少量：
$\Delta V_2=V_{冰}-V_{水(冰化)}=\frac{m_{冰}}{\rho_{冰}}-\frac{m_{冰}}{\rho_{水}}=m_{冰}(\frac{1}{\rho_{冰}}-\frac{1}{\rho_{水}})$
代入$\rho_{冰}=0.9×10^3\ \mathrm{kg/m}^3$，得：
$m_{冰}(\frac{1}{0.9×10^3\ \mathrm{kg/m}^3}-\frac{1}{1.0×10^3\ \mathrm{kg/m}^3})=2.5×10^{-4}\ \mathrm{m}^3$
解得$m_{冰}=2.25\ \mathrm{kg}$。
③ 初始时，容器、A、冰的总质量为35.00kg，容器质量$m_B=750\ \mathrm{g}=0.75\ \mathrm{kg}$，则A的质量：
$m_A=35.00\ \mathrm{kg} - m_B - m_{冰}=35.00\ \mathrm{kg}-0.75\ \mathrm{kg}-2.25\ \mathrm{kg}=32.0\ \mathrm{kg}$
④ t₃时刻，冰完全熔化，水的总体积为注入水的体积与冰熔化成水的体积之和：
$V_{水总}=V_{水}+\frac{m_{冰}}{\rho_{水}}=5.25×10^{-3}\ \mathrm{m}^3+\frac{2.25\ \mathrm{kg}}{1.0×10^3\ \mathrm{kg/m}^3}=7.5×10^{-3}\ \mathrm{m}^3$
此时水深为$h_1$，水的体积等于容器中水占据的空间：$V_{水总}=(S_B - S_A)h_1$，即：
$S_B h_1 - S_A h_1=7.5×10^{-3}\ \mathrm{m}^3$ ②
由①得$S_B h_1=\frac{2.5×10^{-4}\ \mathrm{m}^3}{0.02}=1.25×10^{-2}\ \mathrm{m}^3$，代入②得：
$1.25×10^{-2}\ \mathrm{m}^3 - S_A h_1=7.5×10^{-3}\ \mathrm{m}^3$，解得$S_A h_1=5×10^{-3}\ \mathrm{m}^3$，即A的体积$V_A=5×10^{-3}\ \mathrm{m}^3$。
⑤ A的密度：
$\rho_A=\frac{m_A}{V_A}=\frac{32.0\ \mathrm{kg}}{5×10^{-3}\ \mathrm{m}^3}=6.4×10^3\ \mathrm{kg/m}^3$
【答案】
(1) 注水速度为$50\ \mathrm{cm}^3/\mathrm{s}$；(2) 量子材料A的密度为$6.4×10^3\ \mathrm{kg/m}^3$
【知识点】
密度公式应用、体积变化分析、质量与密度的关系
【点评】
本题结合图像考查密度相关计算，需分析注水和冰熔化过程中的体积变化，综合运用密度公式和几何关系，难度适中，能较好考查学生的综合分析能力。
【难度系数】
0.5
要解决本题，需结合图像分析注水过程和冰熔化过程的物理量变化：
1. 求注水速度：匀速注水时，注入水的体积等于注水速度乘以时间，注入水的质量可由电子秤示数变化得到，结合水的密度即可算出体积，进而得到速度。
2. 求量子材料A的密度：需分析t₁到t₂注水时的体积变化，以及t₂到t₃冰熔化的体积变化，通过两者的体积变化关系求出冰的质量；再结合初始总质量算出A的质量，最后利用t₃时水的总体积与容器底面积、A的底面积的关系，求出A的体积，进而计算密度。
【解析】
(1) 由图丙可知，0到t₂时间内，注入水的质量：
$m_{水}=m_2 - m_0=40.25\ \mathrm{kg} - 35.00\ \mathrm{kg}=5.25\ \mathrm{kg}$
根据$\rho=\frac{m}{V}$，注入水的体积：
$V_{水}=\frac{m_{水}}{\rho_{水}}=\frac{5.25\ \mathrm{kg}}{1.0×10^3\ \mathrm{kg/m}^3}=5.25×10^{-3}\ \mathrm{m}^3=5250\ \mathrm{cm}^3$
注水速度：
$v=\frac{V_{水}}{t_2}=\frac{5250\ \mathrm{cm}^3}{105\ \mathrm{s}}=50\ \mathrm{cm}^3/\mathrm{s}$
(2) ① t₁到t₂时间内，注入水的体积：
$\Delta V_1=v×(t_2 - t_1)=50\ \mathrm{cm}^3/\mathrm{s}×(105\ \mathrm{s}-100\ \mathrm{s})=250\ \mathrm{cm}^3=2.5×10^{-4}\ \mathrm{m}^3$
这部分水的体积等于容器底面积$S_B$与水面升高高度的乘积，即$\Delta V_1=S_B×0.02h_1$，得：
$0.02S_B h_1=2.5×10^{-4}\ \mathrm{m}^3$ ①
② t₂到t₃时间内，冰熔化成水，体积减少量等于容器底面积与水面下降高度的乘积，即$\Delta V_2=S_B×0.02h_1=2.5×10^{-4}\ \mathrm{m}^3$；
冰熔化成水，质量不变，体积减少量：
$\Delta V_2=V_{冰}-V_{水(冰化)}=\frac{m_{冰}}{\rho_{冰}}-\frac{m_{冰}}{\rho_{水}}=m_{冰}(\frac{1}{\rho_{冰}}-\frac{1}{\rho_{水}})$
代入$\rho_{冰}=0.9×10^3\ \mathrm{kg/m}^3$，得：
$m_{冰}(\frac{1}{0.9×10^3\ \mathrm{kg/m}^3}-\frac{1}{1.0×10^3\ \mathrm{kg/m}^3})=2.5×10^{-4}\ \mathrm{m}^3$
解得$m_{冰}=2.25\ \mathrm{kg}$。
③ 初始时，容器、A、冰的总质量为35.00kg，容器质量$m_B=750\ \mathrm{g}=0.75\ \mathrm{kg}$，则A的质量：
$m_A=35.00\ \mathrm{kg} - m_B - m_{冰}=35.00\ \mathrm{kg}-0.75\ \mathrm{kg}-2.25\ \mathrm{kg}=32.0\ \mathrm{kg}$
④ t₃时刻，冰完全熔化，水的总体积为注入水的体积与冰熔化成水的体积之和：
$V_{水总}=V_{水}+\frac{m_{冰}}{\rho_{水}}=5.25×10^{-3}\ \mathrm{m}^3+\frac{2.25\ \mathrm{kg}}{1.0×10^3\ \mathrm{kg/m}^3}=7.5×10^{-3}\ \mathrm{m}^3$
此时水深为$h_1$，水的体积等于容器中水占据的空间：$V_{水总}=(S_B - S_A)h_1$，即：
$S_B h_1 - S_A h_1=7.5×10^{-3}\ \mathrm{m}^3$ ②
由①得$S_B h_1=\frac{2.5×10^{-4}\ \mathrm{m}^3}{0.02}=1.25×10^{-2}\ \mathrm{m}^3$，代入②得：
$1.25×10^{-2}\ \mathrm{m}^3 - S_A h_1=7.5×10^{-3}\ \mathrm{m}^3$，解得$S_A h_1=5×10^{-3}\ \mathrm{m}^3$，即A的体积$V_A=5×10^{-3}\ \mathrm{m}^3$。
⑤ A的密度：
$\rho_A=\frac{m_A}{V_A}=\frac{32.0\ \mathrm{kg}}{5×10^{-3}\ \mathrm{m}^3}=6.4×10^3\ \mathrm{kg/m}^3$
【答案】
(1) 注水速度为$50\ \mathrm{cm}^3/\mathrm{s}$；(2) 量子材料A的密度为$6.4×10^3\ \mathrm{kg/m}^3$
【知识点】
密度公式应用、体积变化分析、质量与密度的关系
【点评】
本题结合图像考查密度相关计算，需分析注水和冰熔化过程中的体积变化，综合运用密度公式和几何关系，难度适中，能较好考查学生的综合分析能力。
【难度系数】
0.5
