9. 联系$(-2)^2,2^2,(-2)^3,2^3$这类具体数的乘方，当$a＜0$时，下列各式：①$a^2＞0$；②$a^2=(-a)^2$；③$a^3＞0$；④$a^3=-a^3$。其中，正确的个数是（）

A.1
B.2
C.3
D.4

9.B

【分析】
解题时首先明确$a＜0$即$a$是负数，结合有理数乘方的符号规律：负数的偶次幂为正，奇次幂为负，再逐个判断4个式子的正误，也可以通过代入具体的负数值（如$a=-2$）验证，降低判断难度。
【解析】
已知$a＜0$，即$a$为负数，逐个分析各式：
1. 分析①：任何非零数的平方均为正数，$a$是负数不为0，因此$a^2＞0$，①正确；
2. 分析②：根据乘方运算性质，互为相反数的两个数的偶次幂相等，因此$a^2=(-a)^2$，举例验证：取$a=-2$，$(-2)^2=4$，$2^2=4$，等式成立，②正确；
3. 分析③：负数的奇次幂是负数，3是奇数，因此$a^3＜0$，③错误；
4. 分析④：$a^3$是负数，$-a^3$是$a^3$的相反数即正数，负数不可能等于正数，举例验证：取$a=-2$，$(-2)^3=-8$，$-(-2)^3=8$，$-8≠8$，④错误。
综上，正确的式子是①②，共2个。
【答案】
B
【知识点】
有理数乘方的符号规律；乘方的运算性质
【点评】
本题通过判断负数乘方相关式子的正误，考查对乘方符号规律的掌握，解题时可结合具体数值代入验证，能更直观区分奇次幂、偶次幂的符号差异，减少失误。
【难度系数】
0.7

10. 计算 $\frac{\overbrace{2 × 2 × 2 × \dots × 2}^{m个2}}{\underbrace{3 + 3 + 3 + \dots + 3}_{n个3}} = \quad (\quad)$

A.$\frac{2m}{3^n}$
B.$\frac{2^m}{3n}$
C.$\frac{2m}{n^3}$
D.$\frac{m^2}{3n}$

10.B

【分析】
解题时先分别分析分子和分母的含义：首先回忆乘方的定义，n个相同因数相乘的结果可以写成乘方的形式，因此m个2相乘可以转化为乘方表示；再回忆乘法的意义，求几个相同加数的和可以用乘法简便计算，因此n个3相加可以转化为乘法表示，最后将转化后的分子、分母组合成分式，对应选项即可得到答案。
【解析】
首先计算分子：m个2相乘，根据乘方的定义，可表示为$\underbrace{2×2×2×\dots×2}_{m个2}=2^m$；
再计算分母：n个3相加，根据乘法的意义，可表示为$\underbrace{3+3+3+\dots+3}_{n个3}=3×n=3n$；
因此原式可化简为$\frac{2^m}{3n}$，对应选项B。
【答案】
B
【知识点】
乘方的定义，乘法的意义
【点评】
本题重点考查乘方与乘法的概念区分，解题关键是准确识别“几个相同数相乘”和“几个相同数相加”的不同表示形式，避免混淆两者的运算结果。
【难度系数】
0.8

11.设$a=-2× 3^2$，$b=(-2× 3)^2$，$c=-(2× 3)^2$，则$a,b,c$的大小关系是（）

A.$a＜c＜b$
B.$c＜a＜b$
C.$c＜b＜a$
D.$a＜b＜c$

11.B

【分析】
要比较a、b、c的大小，首先需要根据有理数混合运算的规则，分别计算出a、b、c三个数的具体值。计算时要严格遵守运算顺序：先算乘方，再算乘除，有括号先算括号内的运算，同时注意符号的处理，算出结果后再根据有理数大小比较的规则判断三者的大小关系即可。
【解析】
分别计算a、b、c的值：
1. 计算$a$：$a=-2×3^2$，先算乘方$3^2=9$，再算乘法，可得$a=-2×9=-18$；
2. 计算$b$：$b=(-2×3)^2$，先算括号内的乘法$-2×3=-6$，再算乘方，可得$b=(-6)^2=36$；
3. 计算$c$：$c=-(2×3)^2$，先算括号内的乘法$2×3=6$，再算乘方$6^2=36$，最后处理负号，可得$c=-36$。
比较三个数的大小：负数小于正数，两个负数比较时绝对值大的数更小，因此$-36＜-18＜36$，即$c＜a＜b$。
【答案】
B
【知识点】
有理数混合运算；有理数大小比较
【点评】
本题重点考查有理数混合运算的运算顺序与符号判断，解题的核心是准确区分有无括号时的运算优先级，注意平方运算的符号规律，属于基础运算考查题型，掌握运算规则即可顺利解答。
【难度系数】
0.8

12.(安庆期末)在$(-1)^{2024}, -1^{2025}, -3^3, (-2)^2$这四个数中,最大的数与最小的数的差等于.

12.31

【分析】
解题时首先要分别计算出四个含乘方的有理数的结果，计算时需注意区分乘方运算中底数带括号与不带括号的符号规则：$(-a)^n$表示n个$-a$相乘，$-a^n$表示n个$a$相乘的相反数，避免符号出错。得到四个数的结果后，比较大小确定最大数和最小数，最后用最大数减去最小数即可求出差值。
【解析】
先分别计算四个数的结果：
1. 计算$(-1)^{2024}$：2024是偶数，负数的偶次幂为正，故$(-1)^{2024}=1$；
2. 计算$-1^{2025}$：该式表示$1^{2025}$的相反数，$1^{2025}=1$，故$-1^{2025}=-1$；
3. 计算$-3^3$：该式表示$3^3$的相反数，$3^3=27$，故$-3^3=-27$；
4. 计算$(-2)^2$：2是偶数，负数的偶次幂为正，故$(-2)^2=4$。
将四个结果比较大小可得：$4＞1＞-1＞-27$，即最大的数是4，最小的数是$-27$。
计算二者的差：$4 - (-27)=4+27=31$。
【答案】
31
【知识点】
有理数乘方运算；有理数大小比较；有理数减法
【点评】
本题核心易错点是乘方运算的符号判断，需明确底数是否带括号对运算结果的影响，属于有理数混合运算的基础题型，掌握运算规则、细心计算即可得分。
【难度系数】
0.8

13. 计算：
(1) $(-1)^{20} × 3 + (-2)^3 ÷ |-4|$；
(2) $1 - 8 × (-\dfrac{1}{2})^3 - 2 ÷ (-\dfrac{1}{5})$；
(3) $-2^2 × (-\dfrac{1}{3}) - 27 ÷ 2\dfrac{1}{4} × (-\dfrac{2}{3})^2 - (-1)^{2023}$。

13.解:(1)原式$=1×3+(-8)÷4=3-2=1$;(2)原式$=1-8×(-\frac{1}{8})-2×(-5)=1+1+10=12$;(3)原式$=-4×(-\frac{1}{3})-27×\frac{4}{9}×\frac{4}{9}+1=\frac{4}{3}-\frac{16}{3}+1=-3$

【分析】
有理数混合运算需严格遵循运算顺序：先算乘方和绝对值，再算乘除，最后算加减；同级运算从左到右依次计算。计算时要注意：①负数的偶次幂为正，奇次幂为负，注意区分$-a^2$和$(-a)^2$的符号差异；②除法运算可转化为乘以除数的倒数计算，遇到带分数要先化为假分数再运算。每道小题都按上述规则逐步计算即可。
【解析】
(1) 先计算乘方和绝对值：$(-1)^{20}=1$，$(-2)^3=-8$，$|-4|=4$；
再计算乘除：$1×3=3$，$(-8)÷4=-2$；
最后计算加减：$3 + (-2) = 1$。
(2) 先计算乘方：$(-\dfrac{1}{2})^3=-\dfrac{1}{8}$；
再计算乘除：$8×(-\dfrac{1}{8})=-1$，$2÷(-\dfrac{1}{5})=2×(-5)=-10$；
代入原式计算加减：$1 - (-1) - (-10) = 1 +1 +10 =12$。
(3) 先计算乘方，同时把带分数化为假分数：$-2^2=-4$，$(-\dfrac{2}{3})^2=\dfrac{4}{9}$，$(-1)^{2023}=-1$，$2\dfrac{1}{4}=\dfrac{9}{4}$；
再将除法转化为乘法后计算乘除：$-4×(-\dfrac{1}{3})=\dfrac{4}{3}$，$27÷\dfrac{9}{4}×\dfrac{4}{9}=27×\dfrac{4}{9}×\dfrac{4}{9}=\dfrac{16}{3}$；
最后计算加减：$\dfrac{4}{3} - \dfrac{16}{3} - (-1) = -\dfrac{12}{3} +1 = -4 +1 = -3$。
【答案】
(1) $\boldsymbol{1}$；(2) $\boldsymbol{12}$；(3) $\boldsymbol{-3}$
【知识点】
有理数混合运算，乘方运算，绝对值运算
【点评】
本题考查有理数混合运算的掌握程度，解题的核心是严格遵守运算顺序，重点关注负数乘方的符号、绝对值化简、除法转乘法的规则，计算时需仔细核对每一步的符号，避免因粗心出错。
【难度系数】
0.7

14. 如果$a^b=N(a＞0,a≠1,N＞0)$，那么b叫作以a为底N的对数，记作$\log_a N = b$，例如：因为$5^3=125$，所以$\log_5 125=3$；因为$11^2=121$，所以$\log_{11}121=2$。
(1)填空：$\log_6 6=$，$\log_{0.5}\frac{1}{8}=$；
(2)如果$\log_2 |m-5|=3$，求m的值。

14.解:(1)1 3 (2)根据题意,得$2^3=|m-5|$,即$|m-5|=8$. 则$m-5=8$,或$m-5=-8$,解得$m=13$,或$m=-3$.

【分析】
本题是新定义运算题，解题核心是准确理解题目给出的对数定义：若$a^b=N(a＞0,a≠1,N＞0)$，则$\log_a N = b$，本质是将对数运算转化为我们熟悉的乘方运算求解。(1)问分别找底数的几次方等于真数即可得到结果；(2)问先根据定义将对数式转化为乘方式，得到绝对值方程，再解绝对值方程即可求出m的值，注意绝对值方程有两个解，不要漏解。
【解析】
(1) 根据对数定义计算：
因为$6^1=6$，所以$\log_6 6 = 1$；
因为$0.5 = \frac{1}{2}$，$(\frac{1}{2})^3 = \frac{1}{8}$，即$0.5^3=\frac{1}{8}$，所以$\log_{0.5}\frac{1}{8}=3$。
(2) 由对数的定义可得，若$\log_2 |m-5|=3$，则对应乘方式为$2^3 = |m-5|$，
计算得$|m-5|=8$，
根据绝对值的性质，绝对值等于8的数有8和-8，因此：
当$m-5=8$时，解得$m=13$；
当$m-5=-8$时，解得$m=-3$。
【答案】
(1) $1$，$3$；(2) $m=13$或$m=-3$
【知识点】
新定义运算，有理数乘方，绝对值方程求解
【点评】
本题重点考查对新定义的理解和转化能力，解题关键是把陌生的对数运算转化为已学的乘方运算，求解第二问时要注意绝对值的双解性，避免漏解。
【难度系数】
0.7

1.如图是一个简单的数值运算程序,当输入的n的值为－2时,则输出的结果为.

（第1题图）
（第3题图）

1. 30

【分析】
首先明确流程图的运算规则：输入n后先计算代数式$n^2-n$的值，若结果大于20则直接输出；若结果不大于20，就把该结果作为新的n再次代入$n^2-n$计算，重复判断直到结果大于20再输出。解题时先把初始值n=-2代入计算，再根据判断结果决定是否需要循环计算即可。
【解析】
第一次代入初始值$n=-2$计算：
$n^2-n=(-2)^2-(-2)=4+2=6$
因为$6＜20$，不满足输出条件，将$n=6$代入再次计算：
$n^2-n=6^2-6=36-6=30$
因为$30＞20$，满足输出条件，所以输出结果为30。
【答案】
30
【知识点】
有理数混合运算，代数式求值，流程图计算
【点评】
本题重点考查对流程图逻辑的理解和有理数运算的准确性，计算时要注意负数代入时的符号处理，避免因符号出错导致结果错误。
【难度系数】
0.8

2. 对于有理数$a,b$,定义运算:$a*b=a× b - a - b + 1$,则$(-3)*4=$.

2. -12

【分析】
本题是新定义运算类题目，解题思路为先准确理解给定的新运算规则，将待求式中对应的数值代入新运算的公式，再按照有理数混合运算的顺序（先算乘法，再算加减）逐步计算，计算过程中注意符号变化即可得到结果。
【解析】
根据题中定义的运算规则$a*b=a× b - a - b + 1$，将$a=-3$，$b=4$代入公式得：
$\begin{aligned}(-3)*4&=(-3)×4 - (-3) - 4 + 1\\&=-12 + 3 - 4 + 1\\&=-9 - 4 + 1\\&=-13 + 1\\&=-12\end{aligned}$
【答案】
-12
【知识点】
新定义运算、有理数混合运算
【点评】
本题属于基础题型，核心是正确理解新运算的规则，代入数值时要明确对应字母的取值，计算过程中重点关注有理数运算的符号处理，按运算顺序逐步计算即可得分。
【难度系数】
0.8

3.如图是计算机某计算程序，若开始输入$x=-1$，则最后输出的结果是.

3. -5

【分析】
解决本题首先要读懂流程图的运算规则：先将输入的$x$乘3，再减去$-1$（即加1），得到的结果和$-3$比较，若结果小于$-3$则直接输出；若结果不小于$-3$，就将该结果作为新的$x$值再次代入运算，直到得到的结果小于$-3$为止。我们按照这个规则逐步代入初始值$x=-1$计算即可。
【解析】
第一次输入$x=-1$，按照程序计算：
$3×(-1)-(-1)=-3+1=-2$
判断：$-2 ＞ -3$，不满足输出条件，将$x=-2$重新代入计算：
$3×(-2)-(-1)=-6+1=-5$
判断：$-5 ＜ -3$，满足输出条件。
【答案】
$-5$
【知识点】
有理数混合运算，流程图求值，有理数大小比较
【点评】
本题核心是理解流程图的运算逻辑，易错点是只计算一次就直接输出结果，忽略不满足判断条件时需要循环代入的要求，解题时要仔细核对每一步的计算和判断结果。
【难度系数】
0.7

4. 我们规定一种新的运算“⊗”：$a⊗b = a + ab - 3b$. 例如：$4⊗2 = 4 + 4×2 - 3×2 = 6$，$5⊗(-3) = 5 + 5×(-3) - 3×(-3) = -1$，则 $1⊗(-3) =$ ，$(2x - 1)⊗3 =$ .

4. 7 $8x-13$

【分析】
本题是新定义运算类题目，解题核心是准确理解新运算“⊗”的规则：$a⊗b$等于第一个数加上两个数的乘积，再减去3倍的第二个数。计算时先找准对应式子里的a和b，再代入规则，按照对应的运算法则计算即可。第一空将$a=1$、$b=-3$代入运算规则直接计算；第二空将$a=2x-1$、$b=3$代入规则，再通过去括号、合并同类项化简即可得到结果。
【解析】
1. 计算$1⊗(-3)$：
根据新运算规则$a⊗b = a + ab - 3b$，此处$a=1$，$b=-3$，代入得：
$\begin{aligned}1⊗(-3)&=1 + 1×(-3) - 3×(-3)\\&=1 - 3 + 9\\&=7\end{aligned}$
2. 计算$(2x - 1)⊗3$：
此处$a=2x-1$，$b=3$，代入新运算规则得：
$\begin{aligned}(2x - 1)⊗3&=(2x - 1) + (2x - 1)×3 - 3×3\\&=2x - 1 + 6x - 3 - 9\\&=8x - 13\end{aligned}$
【答案】
7；$8x-13$
【知识点】
新定义运算，有理数混合运算，整式化简
【点评】
解决新定义运算问题的关键是读懂运算规则，准确对应公式中a、b的取值，计算时注意有理数运算的符号规则，整式化简时去括号要注意符号变化，避免计算失误。
【难度系数】
0.8