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7.巴川河是铜梁的母亲河，为打造巴川河风光带，现有一段长为 360 m 的河道整治任务由A，B两个工程队先后接力完成.A工程队每天整治24 m，B工程队每天整治16 m，共用时20天.
(1)A，B两工程队分别整治河道多少天？
（用二元一次方程组解答）
(2)若A工程队整治一米的工费为200元，B工程队整治一米的工费为150元，则完成河道整治任务时，这两工程队的工费共是多少？
(1)A，B两工程队分别整治河道多少天？
（用二元一次方程组解答）
(2)若A工程队整治一米的工费为200元，B工程队整治一米的工费为150元，则完成河道整治任务时，这两工程队的工费共是多少？
答案
7.解:(1)设 A 工程队整治河道 x 天,B工程队整治河道 y 天.根据题意,得 $\begin{cases} x+y=20, \\ 24x+16y=360. \end{cases}$ 解得 $\begin{cases} x=5, \\ y=15. \end{cases}$ 答:A 工程队整治河道 5 天,B工程队整治河道15天;(2)根据题意,得 200×24×5+150×16×15=24 000+36 000=60 000(元).答:完成河道整治任务时,这两工程队的工费共是 60 000 元.
解析
【分析】
本题属于工程类实际应用题。(1)要求用二元一次方程组求解，首先要找到两个核心等量关系：①A工程队整治天数+B工程队整治天数=总用时20天；②A工程队整治总长度+B工程队整治总长度=河道总长360m，设两个未知量对应两个等量关系列方程组即可求解。(2)可直接利用第一问求出的两队整治天数，分别计算两队的整治长度，再结合每米工费算出各自总费用，求和即可得到总工费。
【解析】
(1)设A工程队整治河道$x$天，B工程队整治河道$y$天。
根据题意列方程组：
$\begin{cases} x+y=20 \\ 24x+16y=360 \end{cases}$
由第一个方程得$y=20-x$，代入第二个方程：
$24x+16(20-x)=360$
展开计算：$24x+320-16x=360$
合并同类项得：$8x=40$，解得$x=5$
将$x=5$代入$y=20-x$，得$y=15$。
(2)A工程队整治长度：$24×5=120\ \mathrm{m}$，对应工费：$120×200=24000$元
B工程队整治长度：$16×15=240\ \mathrm{m}$，对应工费：$240×150=36000$元
总工费：$24000+36000=60000$元
【答案】
(1)A工程队整治河道5天，B工程队整治河道15天；(2)两工程队的工费共是60000元。
【知识点】
二元一次方程组应用；工程问题计算；有理数混合运算
【点评】
本题是典型的工程类实际应用问题，解题关键是准确提取题目中的等量关系建立方程组，第二问依托第一问的结果计算，主要考查学生分析问题、列方程解应用题的能力和运算准确性。
【难度系数】
0.8
本题属于工程类实际应用题。(1)要求用二元一次方程组求解，首先要找到两个核心等量关系：①A工程队整治天数+B工程队整治天数=总用时20天；②A工程队整治总长度+B工程队整治总长度=河道总长360m，设两个未知量对应两个等量关系列方程组即可求解。(2)可直接利用第一问求出的两队整治天数，分别计算两队的整治长度，再结合每米工费算出各自总费用，求和即可得到总工费。
【解析】
(1)设A工程队整治河道$x$天，B工程队整治河道$y$天。
根据题意列方程组：
$\begin{cases} x+y=20 \\ 24x+16y=360 \end{cases}$
由第一个方程得$y=20-x$，代入第二个方程：
$24x+16(20-x)=360$
展开计算：$24x+320-16x=360$
合并同类项得：$8x=40$，解得$x=5$
将$x=5$代入$y=20-x$，得$y=15$。
(2)A工程队整治长度：$24×5=120\ \mathrm{m}$，对应工费：$120×200=24000$元
B工程队整治长度：$16×15=240\ \mathrm{m}$，对应工费：$240×150=36000$元
总工费：$24000+36000=60000$元
【答案】
(1)A工程队整治河道5天，B工程队整治河道15天；(2)两工程队的工费共是60000元。
【知识点】
二元一次方程组应用；工程问题计算；有理数混合运算
【点评】
本题是典型的工程类实际应用问题，解题关键是准确提取题目中的等量关系建立方程组，第二问依托第一问的结果计算，主要考查学生分析问题、列方程解应用题的能力和运算准确性。
【难度系数】
0.8
8.(湖南张家界)为拓展学生视野,某中学组织七年级师生开展研学活动,原计划租用45座客车若干辆,但有15人没有座位;若租用同样数量的60座客车,则多出三辆车,且其余客车恰好坐满.现有甲、乙两种客车,它们的载客量和租金如下表所示.
(1)参加此次研学活动的师生人数是多少?
原计划租用多少辆45座客车?
(2)若租用同一种客车,要使每位师生都有座位,应该怎样租用才合算?
(1)参加此次研学活动的师生人数是多少?
原计划租用多少辆45座客车?
(2)若租用同一种客车,要使每位师生都有座位,应该怎样租用才合算?
答案
8.解:(1)设参加此次研学活动的师生人数是 x 人,原计划租用 y 辆 45 座客车.根据题意,得$\begin{cases} 45y+15=x, \\ 60(y-3)=x. \end{cases}$ 解得 $\begin{cases} x=600, \\ y=13. \end{cases}$答:参加此次研学活动的师生人数是 600 人,原计划租用 13 辆 45 座客车;(2)租 45 座客车需 600÷45≈14(辆),租金为 200×14=2 800(元).租 60 座客车需 600÷60=10(辆),租金为 300×10=3 000(元).因为 2 800＜3 000,所以租用 14 辆 45 座客车更合算.
解析
【分析】
对于第(1)问，我们抓住总师生人数、原计划租用45座客车的数量这两个不变量找等量关系：①原计划租y辆45座客车时，坐满y辆车的人数+没座位的15人=总人数；②租用同样数量的60座客车时，(y-3)辆60座客车的载客量=总人数，联立两个方程即可求解两个未知量。
对于第(2)问，要选同一种客车的合算租用方案，首先分别计算租用两种客车时，保证所有师生都有座位需要的车辆数（车辆数必须取正整数，不足1辆的按1辆计算），再分别计算两种租车方式的总租金，对比租金大小，租金更低的方案更合算。
【解析】
(1) 设参加此次研学活动的师生人数是$x$人，原计划租用$y$辆45座客车。
根据题意列方程组：
$\begin{cases} 45y+15=x \\ 60(y-3)=x \end{cases}$
将$x=45y+15$代入$60(y-3)=x$，得：
$60(y-3)=45y+15$
展开得$60y-180=45y+15$，移项计算得$15y=195$，解得$y=13$。
把$y=13$代入$45y+15=x$，得$x=45×13+15=600$。
即方程组的解为$\begin{cases} x=600 \\ y=13 \end{cases}$。
(2) 若租用45座甲型客车：
需要车辆数为$600÷45\approx13.33$，向上取整得需要14辆，总租金为$200×14=2800$元。
若租用60座乙型客车：
需要车辆数为$600÷60=10$辆，总租金为$300×10=3000$元。
因为$2800＜3000$，所以租用14辆45座客车更合算。
【答案】
(1) 参加此次研学活动的师生人数是600人，原计划租用13辆45座客车；
(2) 租用14辆45座客车更合算。
【知识点】
二元一次方程组的应用；最优方案选择；有理数运算
【点评】
本题结合实际租车场景，考查学生提取等量关系、建立方程解决实际问题的能力，解题时需注意实际问题中车辆数要取正整数，通过计算对比即可得出最优方案，贴近生活实际。
【难度系数】
0.7
对于第(1)问，我们抓住总师生人数、原计划租用45座客车的数量这两个不变量找等量关系：①原计划租y辆45座客车时，坐满y辆车的人数+没座位的15人=总人数；②租用同样数量的60座客车时，(y-3)辆60座客车的载客量=总人数，联立两个方程即可求解两个未知量。
对于第(2)问，要选同一种客车的合算租用方案，首先分别计算租用两种客车时，保证所有师生都有座位需要的车辆数（车辆数必须取正整数，不足1辆的按1辆计算），再分别计算两种租车方式的总租金，对比租金大小，租金更低的方案更合算。
【解析】
(1) 设参加此次研学活动的师生人数是$x$人，原计划租用$y$辆45座客车。
根据题意列方程组：
$\begin{cases} 45y+15=x \\ 60(y-3)=x \end{cases}$
将$x=45y+15$代入$60(y-3)=x$，得：
$60(y-3)=45y+15$
展开得$60y-180=45y+15$，移项计算得$15y=195$，解得$y=13$。
把$y=13$代入$45y+15=x$，得$x=45×13+15=600$。
即方程组的解为$\begin{cases} x=600 \\ y=13 \end{cases}$。
(2) 若租用45座甲型客车：
需要车辆数为$600÷45\approx13.33$，向上取整得需要14辆，总租金为$200×14=2800$元。
若租用60座乙型客车：
需要车辆数为$600÷60=10$辆，总租金为$300×10=3000$元。
因为$2800＜3000$，所以租用14辆45座客车更合算。
【答案】
(1) 参加此次研学活动的师生人数是600人，原计划租用13辆45座客车；
(2) 租用14辆45座客车更合算。
【知识点】
二元一次方程组的应用；最优方案选择；有理数运算
【点评】
本题结合实际租车场景，考查学生提取等量关系、建立方程解决实际问题的能力，解题时需注意实际问题中车辆数要取正整数，通过计算对比即可得出最优方案，贴近生活实际。
【难度系数】
0.7
9.在《二元一次方程组的应用》这一节的学习课上，刘老师给出了下面的题目：
在某市“精准扶贫”工作中，甲、乙两个工程队先后接力为扶贫村庄修建一条4000 m长的公路，甲队每天修建200 m，乙队每天修建250 m，一共用18天完成.
(1)小东同学根据题意，列出了一个尚不完整的方程组$\begin{cases}x+y=△, \\ 200x+250y=□,\end{cases}$请写出小东所列方程组中未知数$x$，$y$表示的意义：$x$表示 ______ ，$y$表示 ______ ；并写出该方程组中$△$处的数应是 ______ ，$□$处的数应是 ______ ；
(2)小彬同学的思路是想设甲工程队一共修建了$x$ m公路，乙工程队一共修建了$y$ m公路.下面请你按照小彬的设想列出方程组，并求出乙队修建了多少天.
在某市“精准扶贫”工作中，甲、乙两个工程队先后接力为扶贫村庄修建一条4000 m长的公路，甲队每天修建200 m，乙队每天修建250 m，一共用18天完成.
(1)小东同学根据题意，列出了一个尚不完整的方程组$\begin{cases}x+y=△, \\ 200x+250y=□,\end{cases}$请写出小东所列方程组中未知数$x$，$y$表示的意义：$x$表示 ______ ，$y$表示 ______ ；并写出该方程组中$△$处的数应是 ______ ，$□$处的数应是 ______ ；
(2)小彬同学的思路是想设甲工程队一共修建了$x$ m公路，乙工程队一共修建了$y$ m公路.下面请你按照小彬的设想列出方程组，并求出乙队修建了多少天.
答案
9.解:(1)甲队修建的天数 乙队修建的天数 18 4 000 (2)根据题意,得$\begin{cases} x+y=4\ 000, \\ \dfrac{x}{200}+\dfrac{y}{250}=18. \end{cases}$解得 $\begin{cases} x=2\ 000, \\ y=2\ 000. \end{cases}$$\dfrac{y}{250}=\dfrac{2\ 000}{250}=8.$答:乙队修建了 8 天.
解析
【分析】
(1) 先观察方程组的第二个方程：200x+250y，已知甲队每天修建200m，乙队每天修建250m，200x是甲队的总修建长度，250y是乙队的总修建长度，因此x表示甲队修建的天数，y表示乙队修建的天数。第一个方程x+y对应两队修建的总天数，题目明确一共用18天，所以△处为18；第二个方程对应两队修建的总长度，公路总长4000m，所以处为4000。
(2) 按照小彬的设元思路，x是甲队修建的总长度，y是乙队修建的总长度，第一个等量关系为：甲队修建长度+乙队修建长度=公路总长度4000m；第二个等量关系为：甲队修建天数（总长度÷日修建量=$\frac{x}{200}$）+乙队修建天数（$\frac{y}{250}$）=总天数18天，据此列出方程组，求解得到y的值后除以乙队日修建量即可得到乙队的修建天数。
【解析】
(1) 根据上述分析可得：x表示甲队修建的天数，y表示乙队修建的天数，△处的数为18，处的数为4000。
(2) 按照小彬的设元列方程组：
$\begin{cases} x+y=4000 \\ \dfrac{x}{200}+\dfrac{y}{250}=18 \end{cases}$
化简第二个方程，两边同时乘1000消去分母得：$5x+4y=18000$
由第一个方程变形得$x=4000-y$，代入$5x+4y=18000$中：
$5(4000-y)+4y=18000$
展开计算得：$20000-5y+4y=18000$
整理得$-y=-2000$，解得$y=2000$
则乙队修建的天数为：$\dfrac{2000}{250}=8$（天）
【答案】
(1) 甲队修建的天数；乙队修建的天数；18；4000
(2) 方程组为$\begin{cases} x+y=4000 \\ \dfrac{x}{200}+\dfrac{y}{250}=18 \end{cases}$，乙队修建了8天。
【知识点】
二元一次方程组的应用；工程问题；二元一次方程组的解法
【点评】
本题考查二元一次方程组在实际工程问题中的应用，解题核心是根据不同的设元方式找准对应的等量关系，注意区分设时间和设总长度时方程的差异，是对基础应用能力的常规考查。
【难度系数】
0.7
(1) 先观察方程组的第二个方程：200x+250y，已知甲队每天修建200m，乙队每天修建250m，200x是甲队的总修建长度，250y是乙队的总修建长度，因此x表示甲队修建的天数，y表示乙队修建的天数。第一个方程x+y对应两队修建的总天数，题目明确一共用18天，所以△处为18；第二个方程对应两队修建的总长度，公路总长4000m，所以处为4000。
(2) 按照小彬的设元思路，x是甲队修建的总长度，y是乙队修建的总长度，第一个等量关系为：甲队修建长度+乙队修建长度=公路总长度4000m；第二个等量关系为：甲队修建天数（总长度÷日修建量=$\frac{x}{200}$）+乙队修建天数（$\frac{y}{250}$）=总天数18天，据此列出方程组，求解得到y的值后除以乙队日修建量即可得到乙队的修建天数。
【解析】
(1) 根据上述分析可得：x表示甲队修建的天数，y表示乙队修建的天数，△处的数为18，处的数为4000。
(2) 按照小彬的设元列方程组：
$\begin{cases} x+y=4000 \\ \dfrac{x}{200}+\dfrac{y}{250}=18 \end{cases}$
化简第二个方程，两边同时乘1000消去分母得：$5x+4y=18000$
由第一个方程变形得$x=4000-y$，代入$5x+4y=18000$中：
$5(4000-y)+4y=18000$
展开计算得：$20000-5y+4y=18000$
整理得$-y=-2000$，解得$y=2000$
则乙队修建的天数为：$\dfrac{2000}{250}=8$（天）
【答案】
(1) 甲队修建的天数；乙队修建的天数；18；4000
(2) 方程组为$\begin{cases} x+y=4000 \\ \dfrac{x}{200}+\dfrac{y}{250}=18 \end{cases}$，乙队修建了8天。
【知识点】
二元一次方程组的应用；工程问题；二元一次方程组的解法
【点评】
本题考查二元一次方程组在实际工程问题中的应用，解题核心是根据不同的设元方式找准对应的等量关系，注意区分设时间和设总长度时方程的差异，是对基础应用能力的常规考查。
【难度系数】
0.7
