8.某校学生开展综合实践活动，测量某建筑物的高度AB，在建筑物附近有一斜坡，坡长CD=10米，坡角α=30°，小华在C处测得建筑物顶端A的仰角为60°，在D处测得建筑物顶端A的仰角为30°.(已知点A,B,C,D在同一平面内，B,C在同一水平线上)
(1)点D到地面BC的距离为m；
(2)求该建筑物的高度AB.

8. (1)5 (2)解:过点D作DE⊥BE于点E,DF⊥AB于点F,则BF=DE=5m,CE=$5\sqrt{3}$m,设BC=x m,则BE=DF=($5\sqrt{3}+x$) m,在Rt△ABC中,tan60°=$\frac{AB}{BC}=\frac{AB}{x}=\sqrt{3}$,解得AB=$\sqrt{3}x$ m,
∴AF=($\sqrt{3}x-5$) m,在Rt△ADF中,tan30°=$\frac{AF}{DF}=\frac{\sqrt{3}x-5}{5\sqrt{3}+x}=\frac{\sqrt{3}}{3}$,解得$x=5\sqrt{3}$,经检验,$x=5\sqrt{3}$是原方程的解且符合题意,
∴AB=$\sqrt{3}×5\sqrt{3}=15$(m).答:该建筑物的高度AB为15m.

【分析】
(1)求点D到地面BC的距离，可过D作DE⊥BC于E，在Rt△CDE中，已知坡长CD和坡角α=30°，利用直角三角形中30°角所对直角边等于斜边一半，或正弦函数即可求出DE的长度。
(2)求建筑物高度AB，先过D作DF⊥AB于F，可得四边形BFDE是矩形，得到BF=DE、CE的长度；设BC=x，先在Rt△ABC中利用60°的正切值用x表示出AB，再表示出AF和DF的长度，最后在Rt△ADF中利用30°的正切值列方程求解x，代入即可求出AB的长度。
【解析】
(1)过点D作DE⊥BC，交BC的延长线于点E。
在Rt△CDE中，∠DEC=90°，∠DCE=α=30°，CD=10m，
∴DE=CD·sin30°=10×$\frac{1}{2}$=5(m)，即点D到地面BC的距离为5m。
(2)过点D作DF⊥AB于点F，
∵AB⊥BC，DE⊥BC，
∴四边形BFDE是矩形，
∴BF=DE=5m，DF=BE=BC+CE。
在Rt△CDE中，CE=CD·cos30°=10×$\frac{\sqrt{3}}{2}$=$5\sqrt{3}$(m)。
设BC=x m，则DF=($x+5\sqrt{3}$)m。
在Rt△ABC中，∠ACB=60°，tan60°=$\frac{AB}{BC}$，
∴AB=BC·tan60°=$\sqrt{3}x$ m，
∴AF=AB-BF=($\sqrt{3}x-5$)m。
在Rt△ADF中，∠ADF=30°，tan30°=$\frac{AF}{DF}$，
∴$\frac{\sqrt{3}x-5}{x+5\sqrt{3}}=\frac{\sqrt{3}}{3}$，
去分母得：$3(\sqrt{3}x-5)=\sqrt{3}(x+5\sqrt{3})$，
展开整理得：$3\sqrt{3}x-15=\sqrt{3}x+15$，
解得：$x=5\sqrt{3}$，经检验$x=5\sqrt{3}$是原方程的解且符合题意，
∴AB=$\sqrt{3}×5\sqrt{3}=15$(m)。
【答案】
(1)5；(2)15m
【知识点】
解直角三角形的应用，仰角与坡角，锐角三角函数
【点评】
本题属于解直角三角形的实际应用题型，通过作垂线构造直角三角形和矩形，将实际测量问题转化为直角三角形边角计算问题，解题时需找准各个角对应的直角边，合理设未知数列方程求解，是三角函数实际应用的典型考法。
【难度系数】
0.6

9.(项目式学习)数学活动课上,某课题学习小组把“测量古县城城墙高度”作为一项课题活动,并设计了以下测量方案:
| 课题 | 测量古县城城墙高度AB |
| --- | --- |
| 测量工具 | 测角仪、皮尺 |
| 方案 | 在城墙对面的C处沿斜坡CD前进到达D处,在D处用测角仪DE测得城墙顶端A的仰角为$38°$ |
| 测量数据 | BC长3.5m,斜坡CD长4m,坡度为$1:\sqrt{3}$,DE高1.5m |
| 测量示意图 | |
| 说明 | $AB⊥ BC,AB// DE$ |
| 参考数据 | $\sin38°\approx0.62,\cos38°\approx0.79,\tan38°\approx0.78,\sqrt{3}\approx1.73$ |
请你根据上表中的测量数据,求古县城城墙的高度AB.(精确到0.1m)

9. 解:延长ED交直线BC于点G,过点E作EF⊥AB于点F,根据题意,得BC=3.5m,CD=4m,EG⊥BG,
∴四边形EGBF是矩形,
∴GE=BF,BG=EF.
∵斜坡CD的坡度为$1:\sqrt{3}$,
∴$\frac{DG}{CG}=\frac{1}{\sqrt{3}}$,
∴CG=$\sqrt{3}DG$,
∵$DG^2+CG^2=CD^2$,
∴$DG^2+(\sqrt{3}DG)^2=4^2$,解得DG=2(负值已舍去),
∴CG=$\sqrt{3}DG=2\sqrt{3}$m,
∴EF=BG=BC+CG=($3.5+2\sqrt{3}$)m.
∵DE=1.5m,
∴BF=EG=DE+DG=1.5+2=3.5(m).在Rt△AEF中,AF=EF·tan38°≈$(3.5+2\sqrt{3})×0.78$=$2.73+1.56\sqrt{3}$(m),
∴AB=AF+BF≈$2.73+1.56\sqrt{3}+3.5≈8.9$(m).答:古县城城墙的高度AB约为8.9m.

【分析】
本题属于解直角三角形的实际应用类问题，解题时先通过构造辅助线将不规则图形转化为熟悉的矩形和直角三角形求解：第一步，过E作EF⊥AB于F，延长ED交BC于G，可得矩形EGBF，实现边的等量转化：BF=EG、EF=BG；第二步，先处理斜坡CD，根据坡度的定义（斜坡垂直高度与水平宽度的比）结合勾股定理，计算出DG和CG的长度；第三步，利用矩形性质得到EF的长度，再在Rt△AEF中根据38°的正切值求出AF的长度；第四步，结合AB=AF+BF，代入数值计算即可得到最终结果。
【解析】
延长ED交直线BC于点G，过点E作EF⊥AB于点F，根据题意得EG⊥BG。
∵AB⊥BC，AB//DE，
∴四边形EGBF是矩形，
∴GE=BF，BG=EF。
∵斜坡CD的坡度为$1:\sqrt{3}$，
∴$\frac{DG}{CG}=\frac{1}{\sqrt{3}}$，即$CG=\sqrt{3}DG$。
在Rt△DCG中，由勾股定理得：$DG^2+CG^2=CD^2$，
代入CD=4m得：$DG^2+(\sqrt{3}DG)^2=4^2$，解得DG=2（负值已舍去），
∴$CG=\sqrt{3}DG=2\sqrt{3}\ \mathrm{m}$，
∴$EF=BG=BC+CG=(3.5+2\sqrt{3})\ \mathrm{m}$。
∵DE=1.5m，
∴$BF=EG=DE+DG=1.5+2=3.5\ \mathrm{m}$。
在Rt△AEF中，∠AEF=38°，
∴$AF=EF·\tan38°\approx(3.5+2×1.73)×0.78≈5.43\ \mathrm{m}$，
∴$AB=AF+BF≈5.43+3.5≈8.9\ \mathrm{m}$。
【答案】
古县城城墙的高度AB约为$\boxed{8.9\ \mathrm{m}}$。
【知识点】
解直角三角形应用；坡度坡角；仰角计算
【点评】
本题结合生活中的测量场景，考查了学生将实际问题转化为几何模型的能力，涉及坡度、仰角的定义，矩形的性质以及三角函数的计算，需要学生具备清晰的分步解题思维和准确的运算能力。
【难度系数】
0.6