1.(新疆自治区中考)某数学兴趣小组在校园内开展综合实践活动,撰写实验报告如下:
| 实验主题 | 测量校徽的高度 | 工具准备 | 测角仪,卷尺等 |
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| 实验过程 | 1.站在与教学楼底部A同一水平地面的B处,由于大树CD的遮挡,视线恰能看到悬挂的校徽顶部E处(此时F,C,E三点在同一直线上);
2.测量A,D两点和B,D两点间的距离;
3.用测角仪测得从眼睛F处看校徽顶部E处的仰角∠EFG;
4.向后退至点H处时,视线恰能看到校徽底部M处(此时N,C,M三点在同一直线上),测量B,H两点间的距离;
5.用测角仪测得从眼睛N处看校徽底部M处的仰角∠MNG. | 实验图示 | | 测量数据 | 1.$AD=4\mathrm{m}$
2.$BD=10\mathrm{m}$
3.$BH=13.5\mathrm{m}$
4.$∠ EFG=43°$
5.$∠ MNG=21.8°$ |
| 备注 | 1.图上所有点均在同一平面内;
2.$AE,CD,FB,NH$均与地面垂直.
参考数据:$\sin21.8°\approx0.37,\cos21.8°\approx0.93,\tan21.8°\approx0.40;\sin43°\approx0.68,\cos43°\approx0.73,\tan43°\approx0.93$. |
请你根据以上实验过程和测量的数据,计算校徽的高度$EM$.(结果保留整数)

1. 解:由题意得,四边形 FGAB,四边形 NHAG 为矩形,
∴ FG=AB=AD +BD=4+10=14(m),NG=AH= AD+DB+BH=4+10+13.5= 27.5(m),
∵ 在 Rt△EFG 中, $\tan∠ EFG=\frac{EG}{FG}$,
∴ $\tan43°=\frac{EG}{14}\approx 0.93$,
∴ EG=14×0.93=13.02 (m).在 Rt△MNG 中,$\tan∠ MNG= \frac{MG}{NG}$,
∴ $\tan21.8°=\frac{MG}{27.5}\approx0.40$,
∴ MG≈11m,
∴ EM=EG-MG≈ 13.02-11≈2(m),答:校徽的高度 EM 约为 2m.

【分析】
解题时先将实际测量场景转化为几何模型：首先根据各线段与地面垂直的条件，可判定FGAB、NHAG是矩形，先求出两个直角三角形Rt△EFG、Rt△MNG的水平直角边FG、NG的长度；再分别在两个直角三角形中，利用仰角的正切值，结合“直角三角形中锐角的正切=对边/邻边”的关系，分别求出EG和MG的长度；最后校徽高度EM就是EG与MG的差，代入数值计算即可得到结果。
【解析】
由题意得，四边形FGAB、四边形NHAG均为矩形，
∴ $FG=AB=AD+BD=4+10=14(\mathrm{m})$，
$NG=AH=AD+BD+BH=4+10+13.5=27.5(\mathrm{m})$，
在$\mathrm{Rt}△ EFG$中，$\tan∠ EFG=\frac{EG}{FG}$，
代入$∠ EFG=43°$，$FG=14\mathrm{m}$，$\tan43°\approx0.93$，
得$EG=FG·\tan43°\approx14×0.93=13.02(\mathrm{m})$。
在$\mathrm{Rt}△ MNG$中，$\tan∠ MNG=\frac{MG}{NG}$，
代入$∠ MNG=21.8°$，$NG=27.5\mathrm{m}$，$\tan21.8°\approx0.40$，
得$MG=NG·\tan21.8°\approx27.5×0.40=11(\mathrm{m})$。
∴ $EM=EG-MG\approx13.02-11\approx2(\mathrm{m})$。
【答案】
校徽的高度EM约为2m。
【知识点】
1. 解直角三角形的应用
2. 矩形的性质
3. 锐角三角函数的应用
【点评】
本题结合校园测量的实际情境命题，考查学生将实际问题转化为几何模型的能力，解题关键是准确找到对应直角三角形的边角关系，计算量小，贴近生活实际。
【难度系数】
0.7

2. 桑梯——登以采桑，它是我国古代劳动人民发明的一种采桑工具. 图1是明朝科学家徐光启在《农政全书》中用图画描绘的桑梯，其示意图如图2所示，已知$AB=AC=1.6$米，$AD=1.2$米，设$∠ BAC=α$，为保证安全，$α$的调整范围是$30°≤α≤90°$.（参考数据：$\sin75°\approx0.97$，$\cos75°\approx0.26$，$\tan75°\approx3.73$，$\sqrt{3}\approx1.73$，$\sqrt{2}\approx1.41$，结果精确到0.1米）
(1)当$α=60°$时，若人站在$AD$的中点$E$处，求此人离地面$BC$的高度；
(2)在安全使用范围内，求桑梯顶端$D$到地面$BC$的距离范围.


3.【问题呈现】
小明在数学兴趣小组活动时遇到一个几何问题：如图1，在等边三角形$ABC$中，$AB=3$，点$M$，$N$分别在边$AC$，$BC$上，且$AM=CN$，试探究线段$MN$长度的最小值.
【问题分析】
小明通过构造平行四边形，将双动点问题转化为单动点问题，再通过定角发现这个动点的运动路径，进而解决上述几何问题.
【问题解决】
如图2，过点$C$，$M$分别作$MN$，$BC$的平行线，并交于点$P$，作射线$AP$.在【问题呈现】的条件下，完成下列问题：
(1)求证：$AM=MP$；
(2)$∠ CAP$的大小为度，线段$MN$长度的最小值为.
【方法应用】
某种简易房屋在整体运输前需用钢丝绳进行加固处理，如图3.小明收集了该房屋的相关数据，并画出了示意图，如图4，$△ ABC$是等腰三角形，四边形$BCDE$是矩形，$AB=AC=CD=2\mathrm{m}$，$∠ ACB=30°$.$MN$是一条两端点位置和长度均可调节的钢丝绳，点$M$在$AC$上，点$N$在$DE$上.在调整钢丝绳端点位置时，其长度也随之改变，但需始终保持$AM=DN$.钢丝绳$MN$长度的最小值为多少米？

2. (1)解:过点 E 作 EH⊥BC,垂足为 H.
∵ AB=AC=1.6 米,∠BAC= 60°,
∴△ABC 是等边三角形.
∴∠C =60°.
∵E 是 AD 的中点,
∴AE= $\frac{1}{2}AD=0.6$ 米.
∴EC=AE+AC= 2.2 米.在 Rt△ECH 中,EH=EC· $\sin60°=2.2×\frac{\sqrt{3}}{2}\approx1.9$(米).
∴此人离地面 BC 的高度约为 1.9 米.
(2)过点 D 作 DM⊥BC,垂足为 M. 当∠BAC=30°时,
∵AB=AC=1.6 米,
∴∠B=∠C= $\frac{1}{2}$(180°-∠BAC)=75°.
∵AD=1.2 米,
∴ DC = AD + AC = 2.8 米. 在 Rt△DMC中,DM=DC·sin75°≈ 2.8×0.97≈2.7(米).当∠BAC= 90°时,
∵AB=AC=1.6 米,
∴∠B =∠C= $\frac{1}{2}$(180°-∠BAC)=45°. 在 Rt△DMC 中,DM=DC·sin45° $=2.8×\frac{\sqrt{2}}{2}\approx2.0$(米).
∴在安全使用范围下,桑梯顶端 D 到地面 BC 的距离范围约为 2.0 米≤DM≤2.7 米.
3. (1)证明:
∵MN//PC,MP//BC,
∴ 四边形 MNCP 是平行四边形,
∴ NC=MP,MN=PC.
∵AM=NC,
∴AM=MP.
(2)30 $\frac{3}{2}$
【方法应用】解:如图,过点 D,M 分别作 MN,ED 的平行线,并交于点 H,作射线 AH,连结 AD,
∴ 四边形 MNDH 是平行四边形,
∴ ND=MH,MN=DH,MH//ED.
∵AM=ND,
∴AM=MH.
∵四边形 BCDE 是矩形,
∴BC//ED, ∠BCD=90°,
∴BC//MH,
∴ ∠ACB=∠CMH=30°.
∵AM= MH,
∴∠MAH=15°.
∵AC=CD= 2m,∠ACD=∠ACB+∠BCD= 120°,
∴∠DAC=30°,
∴∠DAH= 45°,
∴当 DH⊥AH 时,DH 最小, 此时 MN 最小.过点 C 作 CR⊥AD 于点 R.在 Rt△ACR 中,AC=2m, ∠CAR=30°,
∴AR=AC·cos∠CAR $=2×\frac{\sqrt{3}}{2}=\sqrt{3}$(m),
∴AD=2AR= $2\sqrt{3}$m. 在 Rt△ADH 中,AD=2√3 m,∠DAH=45°,
∴DH=$\frac{\sqrt{2}}{2}×2\sqrt{3}$ $=\sqrt{6}$(m),
∴钢丝绳 MN 长度的最小值为$\sqrt{6}$m.

【分析】
本组题分为实际应用和几何探究两类：
1. 第2题是桑梯的实际应用问题：(1)首先根据AB=AC且∠BAC=60°判定△ABC为等边三角形，得到∠C的度数，再结合E是AD中点求出EC的长度，最后在直角三角形ECH中用正弦函数求出EH的高度即可；(2)分别计算α取边界值30°和90°时D到BC的距离：先根据等腰三角形内角和求出∠C的度数，再求出DC的长度，在直角三角形中用正弦函数算出对应DM的长度，即可得到距离范围。
2. 第3题是几何动点探究题：(1)先根据两组对边分别平行判定四边形MNCP是平行四边形，利用平行四边形对边相等得到NC=MP，结合已知AM=CN即可得证；(2)由AM=MP结合平行得到的角的关系可推出∠CAP的度数，MN等价于PC，根据垂线段最短即可求出MN的最小值；方法应用同理构造平行四边形将MN转化为DH，推导得到∠DAH为定值后，根据垂线段最短结合解直角三角形即可求出MN的最小值。
【解析】
2. (1)
过点E作EH⊥BC，垂足为H。
∵ AB=AC=1.6 米，∠BAC=60°，
∴△ABC是等边三角形，
∴∠C =60°。
∵E是AD的中点，
∴AE= $\frac{1}{2}AD=0.6$ 米，
∴EC=AE+AC= 2.2 米。
在Rt△ECH中，EH=EC·$\sin60°=2.2×\frac{\sqrt{3}}{2}\approx1.9$(米)。
(2)
过点D作DM⊥BC，垂足为M。
当∠BAC=30°时，
∵AB=AC=1.6米，
∴∠B=∠C= $\frac{1}{2}$(180°-∠BAC)=75°，
∵AD=1.2米，
∴ DC = AD + AC = 2.8 米，
在Rt△DMC中，DM=DC·sin75°≈2.8×0.97≈2.7(米)。
当∠BAC=90°时，
∵AB=AC=1.6米，
∴∠B =∠C= $\frac{1}{2}$(180°-∠BAC)=45°，
在Rt△DMC中，DM=DC·sin45°=$2.8×\frac{\sqrt{2}}{2}\approx2.0$(米)。
3. (1)证明:
∵MN//PC，MP//BC，
∴ 四边形MNCP是平行四边形，
∴ NC=MP，MN=PC，
∵AM=NC，
∴AM=MP。
(2) 由AM=MP，∠AMP=∠ACB=60°，可得△AMP为等边三角形，故∠CAP=30°；MN=PC，当CP⊥AP时PC最短，此时CP=$\frac{1}{2}$AC=$\frac{3}{2}$，即MN最小值为$\frac{3}{2}$。
【方法应用】
如图，过点D、M分别作MN、ED的平行线，并交于点H，作射线AH，连结AD，
∴ 四边形MNDH是平行四边形，
∴ ND=MH，MN=DH，MH//ED。
∵AM=ND，
∴AM=MH。
∵四边形BCDE是矩形，
∴BC//ED，∠BCD=90°，
∴BC//MH，
∴ ∠ACB=∠CMH=30°。
∵AM= MH，
∴∠MAH=15°。
∵AC=CD= 2m，∠ACD=∠ACB+∠BCD= 120°，
∴∠DAC=30°，
∴∠DAH= 45°，
∴当DH⊥AH时，DH最小，此时MN最小。
过点C作CR⊥AD于点R，
在Rt△ACR中，AC=2m，∠CAR=30°，
∴AR=AC·cos∠CAR$=2×\frac{\sqrt{3}}{2}=\sqrt{3}$(m)，
∴AD=2AR=$2\sqrt{3}$m。
在Rt△ADH中，AD=$2\sqrt{3}$ m，∠DAH=45°，
∴DH=$\frac{\sqrt{2}}{2}×2\sqrt{3}=\sqrt{6}$(m)。
【答案】
2. (1) 此人离地面BC的高度约为1.9米；
(2) 桑梯顶端D到地面BC的距离范围约为$2.0$米$≤ DM≤2.7$米；
3. (1) 证明见解析；
(2) $30$，$\frac{3}{2}$；
【方法应用】钢丝绳MN长度的最小值为$\sqrt{6}$m，辅助线作法如图。
【知识点】
解直角三角形应用，平行四边形性质，动点最值
【点评】
本组题结合古代发明、生活实践和几何探究，将几何性质与解直角三角形知识结合考查，既需要掌握基础的三角形、平行四边形性质，也需要学会运用转化思想将双动点最值问题转化为定角下的垂线段最短问题，能有效提升知识综合运用能力和数学建模能力。
【难度系数】
0.6