如图4-3，建立适当的平面直角坐标系，写出四角星形的8个“顶点”的坐标.

图4-3

解：以四角星形的中心为坐标原点，过原点的水平直线为x轴，向右为x轴正方向，过原点的竖直直线为y轴，向上为y轴正方向，规定每个小方格的边长为1个单位长度，建立平面直角坐标系。
8个顶点的坐标分别为：
$A(6,0)$，$B(2,2)$，$C(0,6)$，$D(-2,2)$，$E(-6,0)$，$F(-2,-2)$，$G(0,-6)$，$H(2,-2)$。
注：建立平面直角坐标系的方式不唯一，对应坐标随坐标系选取不同而变化，上述为利用图形对称性得到的简便结果。

【分析】
解决本题首先观察图形特征，该四角星形是中心对称和轴对称图形，选择对称中心作为坐标原点能最大程度简化坐标计算。接下来按照平面直角坐标系的建立规则，确定x轴、y轴的方向，规定每个小方格边长为1个单位长度。最后对每个顶点，横坐标看水平方向距离y轴的长度，左负右正；纵坐标看竖直方向距离x轴的长度，下负上正，依次写出各点坐标即可，注意建系方式不唯一，不同建系下坐标不同。
【解析】
1. 建立平面直角坐标系：以四角星形的中心为坐标原点，过原点的水平直线为x轴，取向右为x轴正方向，过原点的竖直直线为y轴，取向上为y轴正方向，规定每个小方格的边长为1个单位长度。
2. 逐点确定坐标：
点A在x轴正半轴，距原点6个单位，坐标为$\boldsymbol{(6,0)}$；
点B在第一象限，距y轴2个单位、距x轴2个单位，坐标为$\boldsymbol{(2,2)}$；
点C在y轴正半轴，距原点6个单位，坐标为$\boldsymbol{(0,6)}$；
点D在第二象限，距y轴2个单位（横坐标为负）、距x轴2个单位，坐标为$\boldsymbol{(-2,2)}$；
点E在x轴负半轴，距原点6个单位，坐标为$\boldsymbol{(-6,0)}$；
点F在第三象限，距y轴2个单位（横坐标为负）、距x轴2个单位（纵坐标为负），坐标为$\boldsymbol{(-2,-2)}$；
点G在y轴负半轴，距原点6个单位，坐标为$\boldsymbol{(0,-6)}$；
点H在第四象限，距y轴2个单位、距x轴2个单位（纵坐标为负），坐标为$\boldsymbol{(2,-2)}$。
注：建立平面直角坐标系的方式不唯一，对应坐标随坐标系选取不同而变化，上述为利用图形对称性得到的简便结果。
【答案】
以四角星形的中心为坐标原点，过原点的水平直线为x轴，向右为x轴正方向，过原点的竖直直线为y轴，向上为y轴正方向，规定每个小方格的边长为1个单位长度，建立平面直角坐标系。8个顶点的坐标分别为：$A(6,0)$，$B(2,2)$，$C(0,6)$，$D(-2,2)$，$E(-6,0)$，$F(-2,-2)$，$G(0,-6)$，$H(2,-2)$。（建系方式不唯一，坐标对应变化）
【知识点】
平面直角坐标系的建立；点的坐标表示；对称图形的性质
【点评】
本题考查灵活建立平面直角坐标系并准确写出点坐标的能力，解题时优先结合图形的对称性选取原点，能大幅简化坐标的计算过程，书写坐标时要注意横、纵坐标的顺序以及正负符号的判断。
【难度系数】
0.8

例1 如图4-4，在长方形ABCD中，以BC的中点为原点，BC所在的直线为x轴，建立平面直角坐标系。已知BC=6，AB=3，写出长方形四个顶点的坐标。

图4-4

解：
∵ O是BC的中点，BC=6，
∴ OB=OC=3。
∵ 点B在x轴负半轴，点C在x轴正半轴，
∴ 点B的坐标为$(-3, 0)$，点C的坐标为$(3, 0)$。
∵ 四边形ABCD是长方形，$AB=3$，$AB⊥ BC$，
∴ 点A的横坐标与点B相同，纵坐标为3，即$A(-3, 3)$；
点D的横坐标与点C相同，纵坐标为3，即$D(3, 3)$。
综上，长方形四个顶点的坐标为：$A(-3,3)$，$B(-3,0)$，$C(3,0)$，$D(3,3)$。

【分析】
解题时先从已知条件和坐标系设定入手：首先原点是BC中点，BC在x轴上，所以B、C两点纵坐标都为0，结合BC长度为6，可算出两点到原点的距离，再根据两点在x轴的正负半轴位置确定B、C的坐标；接着利用长方形对边垂直且相等的性质，AB垂直BC、长度为3，可知A点横坐标与B相同，纵坐标为AB的长度，同理D点横坐标与C相同、纵坐标和A一致，即可推导得到A、D的坐标。
【解析】
∵ O是BC的中点，BC=6，
∴ OB=OC=3。
∵ 点B在x轴负半轴，点C在x轴正半轴，
∴ 点B的坐标为$(-3, 0)$，点C的坐标为$(3, 0)$。
∵ 四边形ABCD是长方形，$AB=3$，$AB⊥ BC$，
∴ 点A的横坐标与点B相同，纵坐标为3，即$A(-3, 3)$；
点D的横坐标与点C相同，纵坐标为3，即$D(3, 3)$。
【答案】
$A(-3,3)$，$B(-3,0)$，$C(3,0)$，$D(3,3)$
【知识点】
点的坐标确定，长方形的性质，平面直角坐标系
【点评】
本题是坐标与几何结合的基础题型，核心是掌握坐标系中不同位置点的坐标特征，结合几何图形的边长、位置关系推导点的坐标，为后续坐标系内的几何问题学习打基础。
【难度系数】
0.8

例2 如图4-5，已知正方形ABCD的边长为2，试建立两个不同的平面直角坐标系，分别写出它的四个顶点和对角线交点的坐标。

图4-5

解：
坐标系1：以正方形的左下角顶点A为原点，AB边所在直线为x轴，AD边所在直线为y轴，建立平面直角坐标系。
四个顶点坐标：$A(0,0)$，$B(2,0)$，$C(2,2)$，$D(0,2)$，对角线交点坐标为$(1,1)$。
坐标系2：以正方形的对角线交点为原点，平行于AB边的直线为x轴，平行于AD边的直线为y轴，建立平面直角坐标系。
四个顶点坐标：$A(-1,-1)$，$B(1,-1)$，$C(1,1)$，$D(-1,1)$，对角线交点坐标为$(0,0)$。
（注：建立坐标系的方式不唯一，上述为两种符合要求的典型示例）

【分析】
解决本题首先要明确平面直角坐标系的三要素：原点、x轴、y轴。我们可以选择不同的特殊点作为原点，搭配合理的坐标轴方向得到不同的坐标系：第一种可选正方形的顶点作为原点，让相邻两边分别与x、y轴重合，这类坐标系下各点坐标多为非负数，计算简便；第二种可选正方形的对角线交点（中心）作为原点，让坐标轴平行于正方形的边，这类坐标系下各点坐标具有对称性。确定坐标系后，结合正方形边长为2的条件，根据点到坐标轴的距离确定坐标的数值，再根据点所在象限确定坐标符号，即可写出各点的坐标。
【解析】
解：第一种坐标系：
以正方形的左下角顶点A为原点，AB边所在直线为x轴，AD边所在直线为y轴，建立平面直角坐标系。
点A在原点，坐标为$\boldsymbol{(0,0)}$；AB长为2，B点横坐标为2、纵坐标为0，即$\boldsymbol{B(2,0)}$；C点在B点正上方，边长为2，纵坐标为2，即$\boldsymbol{C(2,2)}$；D点在A点正上方，横坐标为0、纵坐标为2，即$\boldsymbol{D(0,2)}$；对角线交点为正方形中心，到x轴、y轴距离均为1，坐标为$\boldsymbol{(1,1)}$。
第二种坐标系：
以正方形的对角线交点为原点，平行于AB边的直线为x轴，平行于AD边的直线为y轴，建立平面直角坐标系。
对角线交点在原点，坐标为$\boldsymbol{(0,0)}$；正方形边长为2，中心到各边距离为1，A点在第三象限，横、纵坐标均为-1，即$\boldsymbol{A(-1,-1)}$；B点在第四象限，横坐标为1、纵坐标为-1，即$\boldsymbol{B(1,-1)}$；C点在第一象限，横、纵坐标均为1，即$\boldsymbol{C(1,1)}$；D点在第二象限，横坐标为-1、纵坐标为1，即$\boldsymbol{D(-1,1)}$。
（建立坐标系的方式不唯一，上述为两种符合要求的典型示例）
【答案】
坐标系1：以A为原点，AB所在直线为x轴，AD所在直线为y轴建立平面直角坐标系，顶点坐标为$A(0,0)$，$B(2,0)$，$C(2,2)$，$D(0,2)$，对角线交点坐标为$(1,1)$；
坐标系2：以对角线交点为原点，平行于AB的直线为x轴，平行于AD的直线为y轴建立平面直角坐标系，顶点坐标为$A(-1,-1)$，$B(1,-1)$，$C(1,1)$，$D(-1,1)$，对角线交点坐标为$(0,0)$。（答案不唯一）
【知识点】
1. 平面直角坐标系的建立
2. 点的坐标表示
3. 正方形的性质
【点评】
本题是开放性试题，重点考查对平面直角坐标系的理解和灵活应用能力，选择不同的原点和坐标轴方向会得到不同的点坐标，通常选择顶点、中心点这类特殊点作为原点，能够简化点坐标的计算，方便后续解题。
【难度系数】
0.8