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3. 汽车在刹车后会由于惯性继续向前滑行一段距离，这段距离称为“刹车距离”.某型号汽车的刹车距离 y m 与速度 x km/h 的关系如图所示.
(1) 写出 y 关于 x 的函数表达式；
(2) 要使刹车距离不超过 12 m，车速应当保持在哪个范围内？
(1) 写出 y 关于 x 的函数表达式；
(2) 要使刹车距离不超过 12 m，车速应当保持在哪个范围内？
答案
解：
(1) 由图像可知，y与x成正比例函数关系，设y关于x的函数表达式为$y=kx\ (k≠0, x≥0)$。
将点$(60,9)$代入$y=kx$，得$9=60k$，
解得$k=\frac{3}{20}$。
所以y关于x的函数表达式为$\boldsymbol{y=\frac{3}{20}x\ (x≥0)}$。
(2) 根据题意，刹车距离不超过12m，即$y≤12$，
将$y=\frac{3}{20}x$代入不等式，得：
$\frac{3}{20}x ≤ 12$，
解得$x≤80$。
结合实际意义，车速$x≥0$，因此车速的取值范围是$0≤ x≤80$。
答：要使刹车距离不超过12 m，车速应当保持在不超过80 km/h的范围内。
(1) 由图像可知，y与x成正比例函数关系，设y关于x的函数表达式为$y=kx\ (k≠0, x≥0)$。
将点$(60,9)$代入$y=kx$，得$9=60k$，
解得$k=\frac{3}{20}$。
所以y关于x的函数表达式为$\boldsymbol{y=\frac{3}{20}x\ (x≥0)}$。
(2) 根据题意，刹车距离不超过12m，即$y≤12$，
将$y=\frac{3}{20}x$代入不等式，得：
$\frac{3}{20}x ≤ 12$，
解得$x≤80$。
结合实际意义，车速$x≥0$，因此车速的取值范围是$0≤ x≤80$。
答：要使刹车距离不超过12 m，车速应当保持在不超过80 km/h的范围内。
解析
【分析】
(1) 观察图像可知函数是过原点的直线，因此y是x的正比例函数，可采用待定系数法求解：先设正比例函数的一般形式$y=kx(k≠0)$，再从图像中提取已知点$(60,9)$代入表达式求出k的值，结合实际意义确定x的取值范围，即可得到函数表达式。
(2) 刹车距离不超过12m即$y≤12$，将第一问得到的函数表达式代入不等式求解x的范围，再结合车速为非负数的实际意义，就能得到最终的车速范围。
【解析】
(1) 由图像可知，y与x成正比例函数关系，设y关于x的函数表达式为$y=kx\ (k≠0, x≥0)$。
将点$(60,9)$代入$y=kx$，得$9=60k$，
解得$k=\frac{3}{20}$。
所以y关于x的函数表达式为$y=\frac{3}{20}x\ (x≥0)$。
(2) 根据题意，刹车距离不超过12m，即$y≤12$，
将$y=\frac{3}{20}x$代入不等式，得：
$\frac{3}{20}x ≤ 12$，
解得$x≤80$。
结合实际意义，车速$x≥0$，因此车速的取值范围是$0≤ x≤80$。
【答案】
(1) $\boldsymbol{y=\frac{3}{20}x\ (x≥0)}$
(2) 车速应当保持在不超过80 km/h的范围内（或$0≤ x≤80$ km/h）
【知识点】
待定系数法求解析式，一次函数实际应用，一元一次不等式求解
【点评】
本题结合生活中刹车距离的实际场景出题，解题核心是从函数图像中提取有效信息，结合不等式解决实际问题，贴近生活，侧重考查基础应用能力。
【难度系数】
0.8
(1) 观察图像可知函数是过原点的直线，因此y是x的正比例函数，可采用待定系数法求解：先设正比例函数的一般形式$y=kx(k≠0)$，再从图像中提取已知点$(60,9)$代入表达式求出k的值，结合实际意义确定x的取值范围，即可得到函数表达式。
(2) 刹车距离不超过12m即$y≤12$，将第一问得到的函数表达式代入不等式求解x的范围，再结合车速为非负数的实际意义，就能得到最终的车速范围。
【解析】
(1) 由图像可知，y与x成正比例函数关系，设y关于x的函数表达式为$y=kx\ (k≠0, x≥0)$。
将点$(60,9)$代入$y=kx$，得$9=60k$，
解得$k=\frac{3}{20}$。
所以y关于x的函数表达式为$y=\frac{3}{20}x\ (x≥0)$。
(2) 根据题意，刹车距离不超过12m，即$y≤12$，
将$y=\frac{3}{20}x$代入不等式，得：
$\frac{3}{20}x ≤ 12$，
解得$x≤80$。
结合实际意义，车速$x≥0$，因此车速的取值范围是$0≤ x≤80$。
【答案】
(1) $\boldsymbol{y=\frac{3}{20}x\ (x≥0)}$
(2) 车速应当保持在不超过80 km/h的范围内（或$0≤ x≤80$ km/h）
【知识点】
待定系数法求解析式，一次函数实际应用，一元一次不等式求解
【点评】
本题结合生活中刹车距离的实际场景出题，解题核心是从函数图像中提取有效信息，结合不等式解决实际问题，贴近生活，侧重考查基础应用能力。
【难度系数】
0.8
4. 部分鞋子的型号与鞋子尺寸之间存在的一种换算关系如下表：
(1) 通过画图、观察，猜想这种换算规律可以用哪种函数关系去模拟；
(2) 设鞋子的“码数”为x，尺寸为y，试写出y关于x的函数表达式；
(3) 小明量了自己所穿鞋的尺寸是24.5 cm，那么他穿多大码数的鞋？
(1) 通过画图、观察，猜想这种换算规律可以用哪种函数关系去模拟；
(2) 设鞋子的“码数”为x，尺寸为y，试写出y关于x的函数表达式；
(3) 小明量了自己所穿鞋的尺寸是24.5 cm，那么他穿多大码数的鞋？
答案
解：
(1) 在平面直角坐标系中描出点$(20,15)$、$(36,23)$、$(42,26)$，观察可得三个点在同一条直线上，因此猜想这种换算规律可以用一次函数关系模拟。
(2) 设$y$关于$x$的函数表达式为$y=kx+b(k≠0)$，将$\begin{cases}x=20\\y=15\end{cases}$和$\begin{cases}x=36\\y=23\end{cases}$分别代入表达式，得：
$\begin{cases}20k + b = 15 \\36k + b = 23 \end{cases}$
解得$\begin{cases}k=\dfrac{1}{2}\\b=5\end{cases}$
验证：当$x=42$时，$y=\dfrac{1}{2}×42 +5=26$，与表格数据一致。
因此$y$关于$x$的函数表达式为$y=\dfrac{1}{2}x+5$。
(3) 将$y=24.5$代入$y=\dfrac{1}{2}x+5$，得：
$24.5=\dfrac{1}{2}x+5$
解得$x=39$。
答：小明穿39码的鞋。
(1) 在平面直角坐标系中描出点$(20,15)$、$(36,23)$、$(42,26)$，观察可得三个点在同一条直线上，因此猜想这种换算规律可以用一次函数关系模拟。
(2) 设$y$关于$x$的函数表达式为$y=kx+b(k≠0)$，将$\begin{cases}x=20\\y=15\end{cases}$和$\begin{cases}x=36\\y=23\end{cases}$分别代入表达式，得：
$\begin{cases}20k + b = 15 \\36k + b = 23 \end{cases}$
解得$\begin{cases}k=\dfrac{1}{2}\\b=5\end{cases}$
验证：当$x=42$时，$y=\dfrac{1}{2}×42 +5=26$，与表格数据一致。
因此$y$关于$x$的函数表达式为$y=\dfrac{1}{2}x+5$。
(3) 将$y=24.5$代入$y=\dfrac{1}{2}x+5$，得：
$24.5=\dfrac{1}{2}x+5$
解得$x=39$。
答：小明穿39码的鞋。
解析
【分析】
(1) 判断函数类型时，可先将表格中的三组对应值作为点的坐标在平面直角坐标系中描出，观察点的分布特征，若所有点在同一条直线上，则符合一次函数的特征，即可猜想为一次函数关系。
(2) 确定为一次函数后，使用待定系数法求解析式：先设出一次函数的一般形式，选取两组数据代入得到关于系数的二元一次方程组，求解得到系数值后，再用第三组数据验证解析式的正确性。
(3) 已知尺寸y求码数x时，直接将y的值代入已求出的函数解析式，解一元一次方程即可得到对应的码数。
【解析】
(1) 将表格中三组对应值转化为点的坐标，在平面直角坐标系中描出$(20,15)$、$(36,23)$、$(42,26)$三个点，观察可知三个点在同一条直线上，因此猜想这种换算规律可以用一次函数关系模拟。
(2) 设$y$关于$x$的函数表达式为$y=kx+b\ (k≠0)$，将$\begin{cases}x=20\\y=15\end{cases}$和$\begin{cases}x=36\\y=23\end{cases}$分别代入表达式，得：
$\begin{cases}20k + b = 15 \\36k + b = 23 \end{cases}$
用第二个方程减去第一个方程，得$16k=8$，解得$k=\dfrac{1}{2}$；将$k=\dfrac{1}{2}$代入$20k + b =15$，得$10+b=15$，解得$b=5$。
验证：当$x=42$时，$y=\dfrac{1}{2}×42 +5=26$，与表格数据一致，解析式成立。
因此$y$关于$x$的函数表达式为$y=\dfrac{1}{2}x+5$。
(3) 将$y=24.5$代入$y=\dfrac{1}{2}x+5$，得：
$24.5=\dfrac{1}{2}x+5$
移项计算得$\dfrac{1}{2}x=19.5$，解得$x=39$。
【答案】
(1) 一次函数关系；
(2) $y=\dfrac{1}{2}x+5$；
(3) 39码
【知识点】
一次函数的判定；待定系数法；一次函数的应用
【点评】
本题结合生活中鞋子码数和尺寸的换算场景考查一次函数相关知识，解题思路清晰，核心是掌握一次函数的判定方法和待定系数法求解析式的步骤，能有效考查学生将实际问题转化为数学问题的应用能力。
【难度系数】
0.8
(1) 判断函数类型时，可先将表格中的三组对应值作为点的坐标在平面直角坐标系中描出，观察点的分布特征，若所有点在同一条直线上，则符合一次函数的特征，即可猜想为一次函数关系。
(2) 确定为一次函数后，使用待定系数法求解析式：先设出一次函数的一般形式，选取两组数据代入得到关于系数的二元一次方程组，求解得到系数值后，再用第三组数据验证解析式的正确性。
(3) 已知尺寸y求码数x时，直接将y的值代入已求出的函数解析式，解一元一次方程即可得到对应的码数。
【解析】
(1) 将表格中三组对应值转化为点的坐标，在平面直角坐标系中描出$(20,15)$、$(36,23)$、$(42,26)$三个点，观察可知三个点在同一条直线上，因此猜想这种换算规律可以用一次函数关系模拟。
(2) 设$y$关于$x$的函数表达式为$y=kx+b\ (k≠0)$，将$\begin{cases}x=20\\y=15\end{cases}$和$\begin{cases}x=36\\y=23\end{cases}$分别代入表达式，得：
$\begin{cases}20k + b = 15 \\36k + b = 23 \end{cases}$
用第二个方程减去第一个方程，得$16k=8$，解得$k=\dfrac{1}{2}$；将$k=\dfrac{1}{2}$代入$20k + b =15$，得$10+b=15$，解得$b=5$。
验证：当$x=42$时，$y=\dfrac{1}{2}×42 +5=26$，与表格数据一致，解析式成立。
因此$y$关于$x$的函数表达式为$y=\dfrac{1}{2}x+5$。
(3) 将$y=24.5$代入$y=\dfrac{1}{2}x+5$，得：
$24.5=\dfrac{1}{2}x+5$
移项计算得$\dfrac{1}{2}x=19.5$，解得$x=39$。
【答案】
(1) 一次函数关系；
(2) $y=\dfrac{1}{2}x+5$；
(3) 39码
【知识点】
一次函数的判定；待定系数法；一次函数的应用
【点评】
本题结合生活中鞋子码数和尺寸的换算场景考查一次函数相关知识，解题思路清晰，核心是掌握一次函数的判定方法和待定系数法求解析式的步骤，能有效考查学生将实际问题转化为数学问题的应用能力。
【难度系数】
0.8
5. 一辆汽车距离某城市的路程$y$ km关于行驶时间$t$ h的函数表达式为$y=kt+30$，其图象如图所示.
（1）在1～3 h之间，汽车行驶的路程是多少？
（2）能确定$k$的值吗？这里$k$的具体含义是什么？
（1）在1～3 h之间，汽车行驶的路程是多少？
（2）能确定$k$的值吗？这里$k$的具体含义是什么？
答案
解：
（1）将$t=1$，$y=90$代入$y=kt+30$，得
$90 = k + 30$
解得$k=60$，
因此函数表达式为$y=60t+30$。
当$t=3$时，$y=60×3 + 30 = 210$，
$210 - 90 = 120(\mathrm{km})$。
（2）能确定$k$的值，$k=60$。
$k$的具体含义是汽车的行驶速度，即汽车每小时行驶60km。
答：（1）在1～3 h之间，汽车行驶的路程是120km；（2）$k$的值为60，$k$表示汽车行驶的速度为60km/h。
（1）将$t=1$，$y=90$代入$y=kt+30$，得
$90 = k + 30$
解得$k=60$，
因此函数表达式为$y=60t+30$。
当$t=3$时，$y=60×3 + 30 = 210$，
$210 - 90 = 120(\mathrm{km})$。
（2）能确定$k$的值，$k=60$。
$k$的具体含义是汽车的行驶速度，即汽车每小时行驶60km。
答：（1）在1～3 h之间，汽车行驶的路程是120km；（2）$k$的值为60，$k$表示汽车行驶的速度为60km/h。
解析
【分析】
解题思路如下：首先题目明确给出路程y与行驶时间t的一次函数关系为$y=kt+30$，且从图象中可获取点$(1,90)$在函数图象上，我们可以通过待定系数法，将该点代入函数式求出k的值，得到完整的函数表达式。对于第(1)问，要求1~3h之间汽车行驶的路程，只需要分别求出t=1和t=3时对应的y值，两个y值的差就是这段时间汽车行驶的路程；对于第(2)问，我们已经通过代入点的坐标求出了k的值，结合行程问题的基本关系，k代表单位时间内路程的变化量，也就是汽车的行驶速度。
【解析】
(1) 由图象可知，当$t=1$时，$y=90$，将其代入$y=kt+30$可得：
$\begin{aligned}90 &= k×1 + 30\\k&=60\end{aligned}$
因此函数表达式为$y=60t+30$。
当$t=3$时，代入表达式得：$y=60×3 + 30 = 210\ \mathrm{km}$
则1~3h之间汽车行驶的路程为：$210 - 90 = 120\ \mathrm{km}$
(2) 能确定k的值，由上述计算可得$k=60$。
k的实际含义是汽车的行驶速度，即汽车每小时行驶60km。
【答案】
(1) 120km；(2) 能确定，$k=60$，k表示汽车的行驶速度为60km/h
【知识点】
待定系数法求一次函数解析式，一次函数的实际应用
【点评】
本题结合行程场景考查一次函数的基础应用，解题的核心是掌握利用图象已知点求解函数未知参数的方法，同时能结合实际场景理解一次函数中参数的含义，属于基础类应用题。
【难度系数】
0.8
解题思路如下：首先题目明确给出路程y与行驶时间t的一次函数关系为$y=kt+30$，且从图象中可获取点$(1,90)$在函数图象上，我们可以通过待定系数法，将该点代入函数式求出k的值，得到完整的函数表达式。对于第(1)问，要求1~3h之间汽车行驶的路程，只需要分别求出t=1和t=3时对应的y值，两个y值的差就是这段时间汽车行驶的路程；对于第(2)问，我们已经通过代入点的坐标求出了k的值，结合行程问题的基本关系，k代表单位时间内路程的变化量，也就是汽车的行驶速度。
【解析】
(1) 由图象可知，当$t=1$时，$y=90$，将其代入$y=kt+30$可得：
$\begin{aligned}90 &= k×1 + 30\\k&=60\end{aligned}$
因此函数表达式为$y=60t+30$。
当$t=3$时，代入表达式得：$y=60×3 + 30 = 210\ \mathrm{km}$
则1~3h之间汽车行驶的路程为：$210 - 90 = 120\ \mathrm{km}$
(2) 能确定k的值，由上述计算可得$k=60$。
k的实际含义是汽车的行驶速度，即汽车每小时行驶60km。
【答案】
(1) 120km；(2) 能确定，$k=60$，k表示汽车的行驶速度为60km/h
【知识点】
待定系数法求一次函数解析式，一次函数的实际应用
【点评】
本题结合行程场景考查一次函数的基础应用，解题的核心是掌握利用图象已知点求解函数未知参数的方法，同时能结合实际场景理解一次函数中参数的含义，属于基础类应用题。
【难度系数】
0.8
