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例1 如图3.6.1，已知点A在$\odot O$上.
(1)作$\odot O$的内接正方形ABCD和内接正六边形AEFCGH.
(2)在(1)的作图中，如果点E在$\overset{\frown}{AD}$上，求证：DE是$\odot O$内接正十二边形的一边.
(1)作$\odot O$的内接正方形ABCD和内接正六边形AEFCGH.
(2)在(1)的作图中，如果点E在$\overset{\frown}{AD}$上，求证：DE是$\odot O$内接正十二边形的一边.
答案
(1) 作法如图:① 作直径AC;② 作AC的垂直平分线,交$\odot O$于点B,D;③ 依次连接A,B,C,D四点,则四边形ABCD即为$\odot O$的内接正方形;④ 分别以点A,C为圆心,以OA长为半径作弧,交$\odot O$于点E,H,F,G;⑤ 顺次连接A,E,F,C,G,H各点,则六边形AEFCGH即为$\odot O$的内接正六边形
(2) 连接OE,DE.$\because ∠ AOD=\frac{360°}{4}=90°,∠ AOE=\frac{360°}{6}=60°,\therefore ∠ DOE=∠ AOD-∠ AOE=90°-60°=30°.$
∵正十二边形各边所对的圆心角为$30°$,$\therefore DE$为$\odot O$的内接正十二边形的一边。
解析
【分析】
(1) 作圆内接正方形的核心是将圆四等分，正方形相邻顶点对应的圆心角为90°，因此先作一条直径，再作该直径的垂直平分线得到另一条垂直直径，两条直径与圆的四个交点顺次连接即可得到内接正方形；作圆内接正六边形的核心是正六边形的边长等于圆的半径，相邻顶点对应的圆心角为60°，因此以直径端点为圆心、半径长为半径作弧截圆周，得到六个等分点后顺次连接即可得到内接正六边形。
(2) 要证明DE是⊙O内接正十二边形的一边，只需证明DE对应的圆心角等于正十二边形每边对应的圆心角即可。先根据正方形、正六边形的性质分别求出∠AOD和∠AOE的度数，作差得到∠DOE的度数，再和正十二边形的圆心角对比即可得证。
【解析】
(1) 作图步骤：
① 作直径AC；
② 作AC的垂直平分线，交⊙O于点B、D；
③ 依次连接A、B、C、D四点，四边形ABCD即为⊙O的内接正方形；
④ 分别以点A、C为圆心，以OA的长为半径作弧，交⊙O于点E、H、F、G；
⑤ 顺次连接A、E、F、C、G、H各点，六边形AEFCGH即为⊙O的内接正六边形。
(2) 证明：
连接OE、DE。
因为正方形ABCD是⊙O的内接正方形，所以$∠ AOD=\frac{360°}{4}=90°$；
因为六边形AEFCGH是⊙O的内接正六边形，所以$∠ AOE=\frac{360°}{6}=60°$；
已知点E在$\overset{\frown}{AD}$上，因此$∠ DOE=∠ AOD-∠ AOE=90°-60°=30°$。
又因为⊙O内接正十二边形各边所对的圆心角为$\frac{360°}{12}=30°$，即∠DOE等于正十二边形边对应的圆心角，因此DE是⊙O内接正十二边形的一边。
【答案】
(1) 作法如图:① 作直径AC;② 作AC的垂直平分线,交$\odot O$于点B,D;③ 依次连接A,B,C,D四点,则四边形ABCD即为$\odot O$的内接正方形;④ 分别以点A,C为圆心,以OA长为半径作弧,交$\odot O$于点E,H,F,G;⑤ 顺次连接A,E,F,C,G,H各点,则六边形AEFCGH即为$\odot O$的内接正六边形
(2) 连接OE,DE.$\because ∠ AOD=\frac{360°}{4}=90°,∠ AOE=\frac{360°}{6}=60°,\therefore ∠ DOE=∠ AOD-∠ AOE=90°-60°=30°.$
∵正十二边形各边所对的圆心角为$30°$,$\therefore DE$为$\odot O$的内接正十二边形的一边。
【知识点】
正多边形与圆；尺规作图；圆心角计算
【点评】
本题考查正多边形与圆的相关知识，作图部分需要掌握特殊正多边形的构造方法，证明部分的核心是利用正n边形对应圆心角为$\frac{360°}{n}$的性质，通过计算待证边对应的圆心角推导结论，整体考查基础，实用性强。
【难度系数】
0.7
(1) 作圆内接正方形的核心是将圆四等分，正方形相邻顶点对应的圆心角为90°，因此先作一条直径，再作该直径的垂直平分线得到另一条垂直直径，两条直径与圆的四个交点顺次连接即可得到内接正方形；作圆内接正六边形的核心是正六边形的边长等于圆的半径，相邻顶点对应的圆心角为60°，因此以直径端点为圆心、半径长为半径作弧截圆周，得到六个等分点后顺次连接即可得到内接正六边形。
(2) 要证明DE是⊙O内接正十二边形的一边，只需证明DE对应的圆心角等于正十二边形每边对应的圆心角即可。先根据正方形、正六边形的性质分别求出∠AOD和∠AOE的度数，作差得到∠DOE的度数，再和正十二边形的圆心角对比即可得证。
【解析】
(1) 作图步骤：
① 作直径AC；
② 作AC的垂直平分线，交⊙O于点B、D；
③ 依次连接A、B、C、D四点，四边形ABCD即为⊙O的内接正方形；
④ 分别以点A、C为圆心，以OA的长为半径作弧，交⊙O于点E、H、F、G；
⑤ 顺次连接A、E、F、C、G、H各点，六边形AEFCGH即为⊙O的内接正六边形。
(2) 证明：
连接OE、DE。
因为正方形ABCD是⊙O的内接正方形，所以$∠ AOD=\frac{360°}{4}=90°$；
因为六边形AEFCGH是⊙O的内接正六边形，所以$∠ AOE=\frac{360°}{6}=60°$；
已知点E在$\overset{\frown}{AD}$上，因此$∠ DOE=∠ AOD-∠ AOE=90°-60°=30°$。
又因为⊙O内接正十二边形各边所对的圆心角为$\frac{360°}{12}=30°$，即∠DOE等于正十二边形边对应的圆心角，因此DE是⊙O内接正十二边形的一边。
【答案】
(1) 作法如图:① 作直径AC;② 作AC的垂直平分线,交$\odot O$于点B,D;③ 依次连接A,B,C,D四点,则四边形ABCD即为$\odot O$的内接正方形;④ 分别以点A,C为圆心,以OA长为半径作弧,交$\odot O$于点E,H,F,G;⑤ 顺次连接A,E,F,C,G,H各点,则六边形AEFCGH即为$\odot O$的内接正六边形
(2) 连接OE,DE.$\because ∠ AOD=\frac{360°}{4}=90°,∠ AOE=\frac{360°}{6}=60°,\therefore ∠ DOE=∠ AOD-∠ AOE=90°-60°=30°.$
∵正十二边形各边所对的圆心角为$30°$,$\therefore DE$为$\odot O$的内接正十二边形的一边。
【知识点】
正多边形与圆；尺规作图；圆心角计算
【点评】
本题考查正多边形与圆的相关知识，作图部分需要掌握特殊正多边形的构造方法，证明部分的核心是利用正n边形对应圆心角为$\frac{360°}{n}$的性质，通过计算待证边对应的圆心角推导结论，整体考查基础，实用性强。
【难度系数】
0.7
例2 如图3.6.2，$\odot O$的半径为$r$，六边形$ABCDEF$是圆的内接正六边形，四边形$EFGH$是正方形。（1）求正六边形$ABCDEF$与正方形$EFGH$的面积比；（2）连接$OF$，$OG$，求$∠ OGF$度数。
图3.6.2
图3.6.2答案
(1) $\because$六边形ABCDEF是正六边形,$\therefore ∠ FOE=\frac{360°}{6}=60°$.$\because OE=OF$,$\therefore △ EOF$是边长为$r$的等边三角形.$\therefore EF=OE=r$.故正方形$EFGH$的面积为$r^2$,正六边形的面积为$6×\frac{\sqrt{3}}{4}r^2=\frac{3\sqrt{3}}{2}r^2$,所以正六边形与正方形的面积比为$\frac{3\sqrt{3}}{2}r^2:r^2=3\sqrt{3}:2$
(2) $\because ∠ EFG=90°,∠ OFE=60°$,$\therefore ∠ OFG=∠ EFG+∠ OFE=150°$.$\because OF=EF=FG$,$\therefore △ OFG$是等腰三角形.$\therefore ∠ OGF=\frac{1}{2}·(180°-150°)=15°$
(2) $\because ∠ EFG=90°,∠ OFE=60°$,$\therefore ∠ OFG=∠ EFG+∠ OFE=150°$.$\because OF=EF=FG$,$\therefore △ OFG$是等腰三角形.$\therefore ∠ OGF=\frac{1}{2}·(180°-150°)=15°$
解析
【分析】
（1）求正六边形和正方形的面积比，需先确定两个图形的边长：根据正六边形的性质，其外接圆半径等于自身边长，可推出正六边形边长为r，正方形边长与正六边形的边EF相等，也为r，分别计算两个图形的面积后作比即可。
（2）求∠OGF的度数，先判断△OFG的形状：结合正六边形中等边三角形的性质得OF=EF，再结合正方形性质得EF=FG，因此OF=FG，△OFG为等腰三角形；再计算出顶角∠OFG的度数，最后利用等腰三角形内角和性质计算底角∠OGF即可。
【解析】
(1)
∵六边形ABCDEF是⊙O的内接正六边形，
∴中心角$∠ FOE=\frac{360°}{6}=60°$，
又
∵$OE=OF=r$，
∴$△ EOF$是边长为$r$的等边三角形，
∴$EF=OE=r$，
∴正方形EFGH的面积为$EF^2=r^2$，
正六边形ABCDEF的面积为6个边长为r的等边三角形面积之和：$6×\frac{\sqrt{3}}{4}r^2=\frac{3\sqrt{3}}{2}r^2$，
∴正六边形与正方形的面积比为$\frac{3\sqrt{3}}{2}r^2:r^2=3\sqrt{3}:2$。
(2)
∵四边形EFGH是正方形，
∴$∠ EFG=90°$，
∵$△ OFE$是等边三角形，
∴$∠ OFE=60°$，
∴$∠ OFG=∠ OFE+∠ EFG=60°+90°=150°$，
又
∵$OF=EF$，$EF=FG$，
∴$OF=FG$，即$△ OFG$是等腰三角形，
∴$∠ OGF=\frac{1}{2}×(180°-150°)=15°$。
【答案】
(1) $3\sqrt{3}:2$
(2) $15°$
【知识点】
正多边形的性质，等边三角形的判定与性质，等腰三角形的性质
【点评】
本题将正六边形、正方形的性质与圆的相关知识结合，解题的关键是掌握正六边形的边长等于其外接圆半径这一核心结论，能有效考查学生对多边形性质的综合运用能力和几何计算能力。
【难度系数】
0.7
（1）求正六边形和正方形的面积比，需先确定两个图形的边长：根据正六边形的性质，其外接圆半径等于自身边长，可推出正六边形边长为r，正方形边长与正六边形的边EF相等，也为r，分别计算两个图形的面积后作比即可。
（2）求∠OGF的度数，先判断△OFG的形状：结合正六边形中等边三角形的性质得OF=EF，再结合正方形性质得EF=FG，因此OF=FG，△OFG为等腰三角形；再计算出顶角∠OFG的度数，最后利用等腰三角形内角和性质计算底角∠OGF即可。
【解析】
(1)
∵六边形ABCDEF是⊙O的内接正六边形，
∴中心角$∠ FOE=\frac{360°}{6}=60°$，
又
∵$OE=OF=r$，
∴$△ EOF$是边长为$r$的等边三角形，
∴$EF=OE=r$，
∴正方形EFGH的面积为$EF^2=r^2$，
正六边形ABCDEF的面积为6个边长为r的等边三角形面积之和：$6×\frac{\sqrt{3}}{4}r^2=\frac{3\sqrt{3}}{2}r^2$，
∴正六边形与正方形的面积比为$\frac{3\sqrt{3}}{2}r^2:r^2=3\sqrt{3}:2$。
(2)
∵四边形EFGH是正方形，
∴$∠ EFG=90°$，
∵$△ OFE$是等边三角形，
∴$∠ OFE=60°$，
∴$∠ OFG=∠ OFE+∠ EFG=60°+90°=150°$，
又
∵$OF=EF$，$EF=FG$，
∴$OF=FG$，即$△ OFG$是等腰三角形，
∴$∠ OGF=\frac{1}{2}×(180°-150°)=15°$。
【答案】
(1) $3\sqrt{3}:2$
(2) $15°$
【知识点】
正多边形的性质，等边三角形的判定与性质，等腰三角形的性质
【点评】
本题将正六边形、正方形的性质与圆的相关知识结合，解题的关键是掌握正六边形的边长等于其外接圆半径这一核心结论，能有效考查学生对多边形性质的综合运用能力和几何计算能力。
【难度系数】
0.7
