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3. 已知$△ ABC$的面积为$4\ \mathrm{cm}^2$，周长为$10\ \mathrm{cm}$，则$△ ABC$的内切圆半径为
$\frac{4}{5}$
$\mathrm{cm}.$答案
$\frac{4}{5}$
解析
【分析】
解题时首先回忆三角形内切圆的相关性质：三角形内切圆的圆心到三边的距离都等于内切圆半径r，我们可以将△ABC分割为三个分别以三边为底、r为高的小三角形，三个小三角形的面积和等于△ABC的总面积，由此可以推导出三角形面积S、周长C与内切圆半径r的关系公式，再将已知的面积和周长代入公式即可求出r的值。
【解析】
设△ABC的内切圆半径为r，三边长分别为a、b、c。
由题意得：三角形周长$a+b+c=10\ \mathrm{cm}$，面积$S_{△ ABC}=4\ \mathrm{cm}^2$。
根据三角形面积与内切圆半径的关系：$S_{△ ABC}=\frac{1}{2}(a+b+c)r$，
将已知数值代入公式：$4=\frac{1}{2}×10× r$，
化简得：$5r=4$，
解得：$r=\frac{4}{5}\ \mathrm{cm}$。
【答案】
$\frac{4}{5}$
【知识点】
三角形内切圆性质；三角形面积计算
【点评】
本题是基础应用题，核心是掌握三角形面积、周长与内切圆半径的关系公式，解题时要注意公式中$\frac{1}{2}$的系数，避免漏写导致计算错误。
【难度系数】
0.8
解题时首先回忆三角形内切圆的相关性质：三角形内切圆的圆心到三边的距离都等于内切圆半径r，我们可以将△ABC分割为三个分别以三边为底、r为高的小三角形，三个小三角形的面积和等于△ABC的总面积，由此可以推导出三角形面积S、周长C与内切圆半径r的关系公式，再将已知的面积和周长代入公式即可求出r的值。
【解析】
设△ABC的内切圆半径为r，三边长分别为a、b、c。
由题意得：三角形周长$a+b+c=10\ \mathrm{cm}$，面积$S_{△ ABC}=4\ \mathrm{cm}^2$。
根据三角形面积与内切圆半径的关系：$S_{△ ABC}=\frac{1}{2}(a+b+c)r$，
将已知数值代入公式：$4=\frac{1}{2}×10× r$，
化简得：$5r=4$，
解得：$r=\frac{4}{5}\ \mathrm{cm}$。
【答案】
$\frac{4}{5}$
【知识点】
三角形内切圆性质；三角形面积计算
【点评】
本题是基础应用题，核心是掌握三角形面积、周长与内切圆半径的关系公式，解题时要注意公式中$\frac{1}{2}$的系数，避免漏写导致计算错误。
【难度系数】
0.8
4. 已知点I是△ABC的内心，∠BIC=110°，则∠BAC=
40
°；若点O是△ABC的外心，∠BOC=110°，则∠BAC=55或125
°。答案
40,55 或 125(提示:当$I$是$△ ABC$的内心时,$∠ B+∠ C=2(180°-∠ BIC)=140°,∠ BAC=180°-140°=40°$;当$O$是$△ ABC$的外心时,若$△ ABC$是锐角三角形,$∠ BAC=\frac{1}{2}∠ BOC=110°×\frac{1}{2}=55°$;若$△ ABC$是钝角三角形,$∠ BAC=180°-55°=125°$)
解析
【分析】
本题分两种情况求解：
1. 求内心对应的∠BAC：内心是三角形内角平分线的交点，IB、IC分别平分∠ABC和∠ACB，先在△BIC中利用内角和求出∠IBC+∠ICB的度数，再推出∠ABC+∠ACB的度数，最后用△ABC的内角和即可求出∠BAC。
2. 求外心对应的∠BAC：外心是三角形外接圆的圆心，∠BOC是弧BC对应的圆心角，∠BAC是弧BC对应的圆周角，需分类讨论：①若△ABC是锐角三角形，外心在三角形内部，根据圆周角定理直接计算；②若△ABC是钝角三角形，外心在三角形外部，此时∠BAC对应优弧BC，需结合圆周角定理计算，避免漏解。
【解析】
当点I是△ABC的内心时：
∵点I是内心，
∴IB平分∠ABC，IC平分∠ACB，
∴$∠ IBC=\frac{1}{2}∠ ABC$，$∠ ICB=\frac{1}{2}∠ ACB$。
在$△ BIC$中，由三角形内角和为$180°$得：
$∠ IBC+∠ ICB=180°-∠ BIC=180°-110°=70°$，
∴$∠ ABC+∠ ACB=2(∠ IBC+∠ ICB)=2×70°=140°$。
在$△ ABC$中，$∠ BAC=180°-(∠ ABC+∠ ACB)=180°-140°=40°$。
当点O是△ABC的外心时：
∠BOC是弧BC所对的圆心角，∠BAC是弧BC所对的圆周角，分两种情况：
1. 若$△ ABC$是锐角三角形，外心O在三角形内部，根据圆周角定理：同弧所对的圆周角是圆心角的一半，
∴$∠ BAC=\frac{1}{2}∠ BOC=\frac{1}{2}×110°=55°$。
2. 若$△ ABC$是钝角三角形，外心O在三角形外部，此时∠BAC是优弧BC所对的圆周角，
∴$∠ BAC=180°-\frac{1}{2}∠ BOC=180°-55°=125°$。
综上，∠BAC为$55°$或$125°$。
【答案】
$40$；$55$或$125$
【知识点】
三角形内心的性质；三角形外心的性质；圆周角定理
【点评】
本题重点考查三角形内心、外心的性质及圆周角定理的应用，易错点是求解外心对应的角度时，忽略三角形形状的分类讨论，导致漏解。
【难度系数】
0.6
本题分两种情况求解：
1. 求内心对应的∠BAC：内心是三角形内角平分线的交点，IB、IC分别平分∠ABC和∠ACB，先在△BIC中利用内角和求出∠IBC+∠ICB的度数，再推出∠ABC+∠ACB的度数，最后用△ABC的内角和即可求出∠BAC。
2. 求外心对应的∠BAC：外心是三角形外接圆的圆心，∠BOC是弧BC对应的圆心角，∠BAC是弧BC对应的圆周角，需分类讨论：①若△ABC是锐角三角形，外心在三角形内部，根据圆周角定理直接计算；②若△ABC是钝角三角形，外心在三角形外部，此时∠BAC对应优弧BC，需结合圆周角定理计算，避免漏解。
【解析】
当点I是△ABC的内心时：
∵点I是内心，
∴IB平分∠ABC，IC平分∠ACB，
∴$∠ IBC=\frac{1}{2}∠ ABC$，$∠ ICB=\frac{1}{2}∠ ACB$。
在$△ BIC$中，由三角形内角和为$180°$得：
$∠ IBC+∠ ICB=180°-∠ BIC=180°-110°=70°$，
∴$∠ ABC+∠ ACB=2(∠ IBC+∠ ICB)=2×70°=140°$。
在$△ ABC$中，$∠ BAC=180°-(∠ ABC+∠ ACB)=180°-140°=40°$。
当点O是△ABC的外心时：
∠BOC是弧BC所对的圆心角，∠BAC是弧BC所对的圆周角，分两种情况：
1. 若$△ ABC$是锐角三角形，外心O在三角形内部，根据圆周角定理：同弧所对的圆周角是圆心角的一半，
∴$∠ BAC=\frac{1}{2}∠ BOC=\frac{1}{2}×110°=55°$。
2. 若$△ ABC$是钝角三角形，外心O在三角形外部，此时∠BAC是优弧BC所对的圆周角，
∴$∠ BAC=180°-\frac{1}{2}∠ BOC=180°-55°=125°$。
综上，∠BAC为$55°$或$125°$。
【答案】
$40$；$55$或$125$
【知识点】
三角形内心的性质；三角形外心的性质；圆周角定理
【点评】
本题重点考查三角形内心、外心的性质及圆周角定理的应用，易错点是求解外心对应的角度时，忽略三角形形状的分类讨论，导致漏解。
【难度系数】
0.6
5. 如图，$\odot I$是$△ ABC$的内切圆，与$AB$，$BC$，$CA$分别相切于点$D$，$E$，$F$，$∠ DEF=50°$.求$∠ A$的大小.
答案
连接$ID$，$IF$,如图
.$\because ∠ DEF=50°,\therefore ∠ DIF=2∠ DEF=100°$.$\because \odot I$是$△ ABC$的内切圆,与$AB,CA$分别相切于点$D,F$,$\therefore ID⊥ AB,IF⊥ AC$.$\therefore ∠ ADI=∠ AFI=90°$.$\because ∠ A+∠ DIF=180°$,$\therefore ∠ A=180°-100°=80°$解析
【分析】
要计算∠A的度数，可按以下思路逐步推导：首先，∠DEF是⊙I的圆周角，根据圆周角定理，同弧所对的圆心角是圆周角的2倍，因此先连接ID、IF得到弧DF对应的圆心角∠DIF，就能先求出∠DIF的度数；其次，根据内切圆的切线性质：圆的切线垂直于过切点的半径，可得ID垂直AB、IF垂直AC，即四边形ADIF中有两个内角为直角；最后结合四边形内角和为360°，可推出∠A与∠DIF互补，代入∠DIF的度数即可算出∠A的大小。
【解析】
连接$ID$，$IF$，如图。
∵ $∠ DEF=50°$，根据圆周角定理，同弧所对的圆心角是圆周角的2倍，
∴ $∠ DIF=2∠ DEF=2×50°=100°$。
∵ $\odot I$是$△ ABC$的内切圆，与$AB$、$CA$分别相切于点$D$、$F$，
∴ 根据切线的性质，得$ID⊥ AB$，$IF⊥ AC$，
∴ $∠ ADI=∠ AFI=90°$。
在四边形$ADIF$中，内角和为$360°$，因此$∠ A+∠ ADI+∠ AFI+∠ DIF=360°$，
化简可得$∠ A+∠ DIF=180°$，
∴ $∠ A=180°-100°=80°$。
【答案】
$∠ A=\boxed{80°}$
【知识点】
圆周角定理；切线的性质；三角形内切圆性质
【点评】
本题是圆的角度计算的基础综合题，解题关键是掌握连接圆心与切点的常规辅助线构造方法，熟练运用圆周角定理、切线的性质推导角度关系即可快速求解。
【难度系数】
0.7
要计算∠A的度数，可按以下思路逐步推导：首先，∠DEF是⊙I的圆周角，根据圆周角定理，同弧所对的圆心角是圆周角的2倍，因此先连接ID、IF得到弧DF对应的圆心角∠DIF，就能先求出∠DIF的度数；其次，根据内切圆的切线性质：圆的切线垂直于过切点的半径，可得ID垂直AB、IF垂直AC，即四边形ADIF中有两个内角为直角；最后结合四边形内角和为360°，可推出∠A与∠DIF互补，代入∠DIF的度数即可算出∠A的大小。
【解析】
连接$ID$，$IF$，如图
。∵ $∠ DEF=50°$，根据圆周角定理，同弧所对的圆心角是圆周角的2倍，
∴ $∠ DIF=2∠ DEF=2×50°=100°$。
∵ $\odot I$是$△ ABC$的内切圆，与$AB$、$CA$分别相切于点$D$、$F$，
∴ 根据切线的性质，得$ID⊥ AB$，$IF⊥ AC$，
∴ $∠ ADI=∠ AFI=90°$。
在四边形$ADIF$中，内角和为$360°$，因此$∠ A+∠ ADI+∠ AFI+∠ DIF=360°$，
化简可得$∠ A+∠ DIF=180°$，
∴ $∠ A=180°-100°=80°$。
【答案】
$∠ A=\boxed{80°}$
【知识点】
圆周角定理；切线的性质；三角形内切圆性质
【点评】
本题是圆的角度计算的基础综合题，解题关键是掌握连接圆心与切点的常规辅助线构造方法，熟练运用圆周角定理、切线的性质推导角度关系即可快速求解。
【难度系数】
0.7
6. 已知:如图,⊙O为△ABC的内切圆,⊙O'为△ABC的外接圆,且∠1=∠3. 求证:AD=CD=OD. 
答案
$\because \odot O$为$△ ABC$的内切圆,$\therefore ∠ 1=∠ 2,∠ 3=∠ 4$.又$\because ∠ 2=∠ 5$,$\therefore ∠ 1=∠ 2=∠ 5$.$\because ∠ 1=∠ 2$,$\therefore \overset{\frown}{AD}=\overset{\frown}{CD}$.$\therefore AD=CD$.$\because ∠ AOD=∠ 3+∠ 1$,且$∠ OAD=∠ 4+∠ 5$,$\therefore ∠ AOD=∠ OAD$.$\therefore AD=OD$.$\therefore AD=CD=OD$
解析
【分析】
要证明AD=CD=OD，可分两步推导：①先证AD=CD：结合内切圆的角平分线性质、圆周角定理，证明弧AD与弧CD相等，根据等弧对等弦即可得到AD=CD；②再证AD=OD：利用三角形外角的性质，结合已知的角相等关系，推导△OAD中∠AOD=∠OAD，根据等角对等边得到AD=OD，最后联立两个结论即可得证。
【解析】
证明：
∵ ⊙O为△ABC的内切圆，
∴ ∠1=∠2，∠3=∠4。
又
∵ ∠2和∠5是同弧所对的圆周角，
∴ ∠2=∠5，
∴ ∠1=∠2=∠5。
∵ ∠1=∠2，即相等的圆周角对应弧相等，
∴ $\overset{\frown}{AD}=\overset{\frown}{CD}$，
∴ AD=CD。
∵ ∠AOD是△ABO的外角，
∴ ∠AOD=∠3+∠1，
又
∵ ∠OAD=∠4+∠5，且∠3=∠4，∠1=∠5，
∴ ∠AOD=∠OAD，
∴ AD=OD。
综上可得AD=CD=OD。
【答案】
AD=CD=OD，得证。
【知识点】
三角形内切圆性质；圆周角定理；等腰三角形判定
【点评】
本题属于圆的综合基础题，结合了三角形内切圆、外接圆的相关性质，解题核心是准确找到角的等量关系，完成角、弧、弦之间的相互转化。
【难度系数】
0.6
要证明AD=CD=OD，可分两步推导：①先证AD=CD：结合内切圆的角平分线性质、圆周角定理，证明弧AD与弧CD相等，根据等弧对等弦即可得到AD=CD；②再证AD=OD：利用三角形外角的性质，结合已知的角相等关系，推导△OAD中∠AOD=∠OAD，根据等角对等边得到AD=OD，最后联立两个结论即可得证。
【解析】
证明：
∵ ⊙O为△ABC的内切圆，
∴ ∠1=∠2，∠3=∠4。
又
∵ ∠2和∠5是同弧所对的圆周角，
∴ ∠2=∠5，
∴ ∠1=∠2=∠5。
∵ ∠1=∠2，即相等的圆周角对应弧相等，
∴ $\overset{\frown}{AD}=\overset{\frown}{CD}$，
∴ AD=CD。
∵ ∠AOD是△ABO的外角，
∴ ∠AOD=∠3+∠1，
又
∵ ∠OAD=∠4+∠5，且∠3=∠4，∠1=∠5，
∴ ∠AOD=∠OAD，
∴ AD=OD。
综上可得AD=CD=OD。
【答案】
AD=CD=OD，得证。
【知识点】
三角形内切圆性质；圆周角定理；等腰三角形判定
【点评】
本题属于圆的综合基础题，结合了三角形内切圆、外接圆的相关性质，解题核心是准确找到角的等量关系，完成角、弧、弦之间的相互转化。
【难度系数】
0.6
7. 如图，$\odot O$是$\mathrm{Rt}△ ABC$的内切圆，已知$∠ B=90°$，$AB=8$，$BC=6$.
（1）求$△ ABC$的内切圆半径；
（2）求$△ ABC$的内心和外心的距离.
（1）求$△ ABC$的内切圆半径；
（2）求$△ ABC$的内心和外心的距离.
答案
（1）如图
,连接$OD,OE,OF$,$\because ∠ B=90°,AB=8,BC=6$,$\therefore AC=\sqrt{AB^2+BC^2}=10$.$\because \odot O$分别切$BC,AB,AC$于点$D,E,F$,$\therefore OD⊥ BC,OE⊥ AB,OF⊥ AC$.设$\odot O$的半径为$r$,则$OD=OE=OF=r$.由$S_{△ ABC}=S_{△ BOC}+S_{△ AOB}+S_{△ AOC}$,得$\frac{1}{2}×6×8=\frac{1}{2}×6r+\frac{1}{2}×8r+\frac{1}{2}×10r$.解得$r=2$,即$△ ABC$的内切圆半径为2（2）易知$△ ABC$的外心为$AC$的中点$I$,则$AI=CI=5$,证得四边形$BEOD$为正方形后,由(1)易得$CF=CD=6-2=4$.$\therefore IF=CI-CF=5-4=1$.在$\mathrm{Rt}△ IFO$中,$IF=1,OF=2$,$\therefore IO=\sqrt{IF^2+OF^2}=\sqrt{5}$,即$\mathrm{Rt}△ ABC$的内心$O$与外心$I$之间的距离为$\sqrt{5}$
解析
【分析】
（1）求解直角三角形内切圆半径，可先通过勾股定理计算斜边AC的长度；再利用圆的切线性质，可知圆心到三角形三边的距离均等于内切圆半径r；最后将△ABC的面积拆分为以O为顶点、原三角形三边为底的三个小三角形的面积和，列方程即可求出r的值。
（2）求解内心与外心的距离，首先明确直角三角形的外心是斜边AC的中点，记为I，可得外心到C点的长度为AC的一半；再结合切线长定理求出AC边上的切点F到C点的长度，进而得到外心I到F点的距离IF；最后在Rt△IFO中，利用勾股定理即可求出IO的长度，即内外心的距离。
【解析】
（1）如图，连接$OD、OE、OF$，
$\because ∠B=90°，AB=8，BC=6$，
$\therefore$ 由勾股定理得 $AC=\sqrt{AB^2+BC^2}=\sqrt{8^2+6^2}=10$。
$\because \odot O$分别与$BC、AB、AC$相切于点$D、E、F$，
$\therefore OD⊥BC，OE⊥AB，OF⊥AC$。
设$\odot O$的半径为$r$，则$OD=OE=OF=r$。
$\because S_{△ABC}=S_{△BOC}+S_{△AOB}+S_{△AOC}$，
$\therefore \frac{1}{2}×6×8=\frac{1}{2}×6r+\frac{1}{2}×8r+\frac{1}{2}×10r$，
解得$r=2$。
（2）直角三角形的外心为斜边的中点，设$AC$的中点为$I$，即$I$为$△ABC$的外心，
$\therefore AI=CI=\frac{1}{2}AC=5$。
$\because ∠B=∠OEB=∠ODB=90°，OE=OD=r=2$，
$\therefore$ 四边形$BEOD$是正方形，
$\therefore BD=OE=2$，则$CD=BC-BD=6-2=4$。
由切线长定理可得$CF=CD=4$，
$\therefore IF=CI-CF=5-4=1$。
在$\mathrm{Rt}△IFO$中，$IF=1，OF=r=2$，
由勾股定理得 $IO=\sqrt{IF^2+OF^2}=\sqrt{1^2+2^2}=\sqrt{5}$。
【答案】
（1）$△ ABC$的内切圆半径为$\boxed{2}$；
（2）$△ ABC$的内心和外心的距离为$\boxed{\sqrt{5}}$。
【知识点】
三角形内切圆性质，直角三角形外心特征，勾股定理
【点评】
本题属于中等难度的几何综合题，核心考查三角形内外心的性质、内切圆半径的求法。解题的关键是灵活运用面积法求解内切圆半径，结合切线长定理转化线段长度，最终通过构造直角三角形用勾股定理计算两点距离，要熟练掌握直角三角形外心在斜边中点这一特殊性质。
【难度系数】
0.65
（1）求解直角三角形内切圆半径，可先通过勾股定理计算斜边AC的长度；再利用圆的切线性质，可知圆心到三角形三边的距离均等于内切圆半径r；最后将△ABC的面积拆分为以O为顶点、原三角形三边为底的三个小三角形的面积和，列方程即可求出r的值。
（2）求解内心与外心的距离，首先明确直角三角形的外心是斜边AC的中点，记为I，可得外心到C点的长度为AC的一半；再结合切线长定理求出AC边上的切点F到C点的长度，进而得到外心I到F点的距离IF；最后在Rt△IFO中，利用勾股定理即可求出IO的长度，即内外心的距离。
【解析】
（1）如图
，连接$OD、OE、OF$，$\because ∠B=90°，AB=8，BC=6$，
$\therefore$ 由勾股定理得 $AC=\sqrt{AB^2+BC^2}=\sqrt{8^2+6^2}=10$。
$\because \odot O$分别与$BC、AB、AC$相切于点$D、E、F$，
$\therefore OD⊥BC，OE⊥AB，OF⊥AC$。
设$\odot O$的半径为$r$，则$OD=OE=OF=r$。
$\because S_{△ABC}=S_{△BOC}+S_{△AOB}+S_{△AOC}$，
$\therefore \frac{1}{2}×6×8=\frac{1}{2}×6r+\frac{1}{2}×8r+\frac{1}{2}×10r$，
解得$r=2$。
（2）直角三角形的外心为斜边的中点，设$AC$的中点为$I$，即$I$为$△ABC$的外心，
$\therefore AI=CI=\frac{1}{2}AC=5$。
$\because ∠B=∠OEB=∠ODB=90°，OE=OD=r=2$，
$\therefore$ 四边形$BEOD$是正方形，
$\therefore BD=OE=2$，则$CD=BC-BD=6-2=4$。
由切线长定理可得$CF=CD=4$，
$\therefore IF=CI-CF=5-4=1$。
在$\mathrm{Rt}△IFO$中，$IF=1，OF=r=2$，
由勾股定理得 $IO=\sqrt{IF^2+OF^2}=\sqrt{1^2+2^2}=\sqrt{5}$。
【答案】
（1）$△ ABC$的内切圆半径为$\boxed{2}$；
（2）$△ ABC$的内心和外心的距离为$\boxed{\sqrt{5}}$。
【知识点】
三角形内切圆性质，直角三角形外心特征，勾股定理
【点评】
本题属于中等难度的几何综合题，核心考查三角形内外心的性质、内切圆半径的求法。解题的关键是灵活运用面积法求解内切圆半径，结合切线长定理转化线段长度，最终通过构造直角三角形用勾股定理计算两点距离，要熟练掌握直角三角形外心在斜边中点这一特殊性质。
【难度系数】
0.65
8. 如图,点 I 是$△ ABC$的内心,$\odot O$是$△ ABC$的外接圆.
(1) 请仅用没有刻度的直尺找出$\overset{\frown}{BC}$的中点 D.
(2) 求证:$BD=ID$.
(3) 试判断点 D 是图中哪三个点构成的三角形的外心,并说明理由.
(1) 请仅用没有刻度的直尺找出$\overset{\frown}{BC}$的中点 D.
(2) 求证:$BD=ID$.
(3) 试判断点 D 是图中哪三个点构成的三角形的外心,并说明理由.
答案
（1）如图①
,连接$AI$并延长,交$\overset{\frown}{BC}$于点$D$,则点$D$为所求（2）连接$BI$,$\because I$是$△ ABC$的内心,$\therefore ∠ BAD=∠ CAD,∠ ABI=∠ CBI$.$\because \overset{\frown}{CD}=\overset{\frown}{CD}$,$\therefore ∠ CAD=∠ CBD$.$\therefore ∠ BAD=∠ CBD=∠ CAD$.
$\because ∠ BID=∠ ABI+∠ BAD$,$\therefore ∠ BID=∠ CBI+∠ CBD=∠ DBI$.$\therefore BD=ID$
（3）$D$是图②中$△ BCI$的外心,理由如下:连接$CD,CI$,由(1)知$\overset{\frown}{BD}=\overset{\frown}{CD}$,$\therefore BD=CD$.由(2)知$BD=ID$,$\therefore BD=ID=CD$.
$\therefore$点$B,I,C$在以点$D$为圆心,$BD$为半径的圆上,即$D$是$△ BCI$的外心
解析
【分析】
(1) 要找$\overset{\frown}{BC}$的中点，根据圆周角定理，相等的圆周角所对的弧相等，点I是△ABC的内心，AI是∠BAC的角平分线，因此延长AI交$\overset{\frown}{BC}$的点就是$\overset{\frown}{BC}$的中点，此时∠BAD=∠CAD，对应$\overset{\frown}{BD}=\overset{\frown}{CD}$。
(2) 要证BD=ID，只需证明△BDI为等腰三角形，即∠BID=∠DBI。利用内心的性质可得两组角平分线，再结合同弧所对的圆周角相等进行角的转化，通过角的和的关系即可证得两角相等，推出边相等。
(3) 三角形的外心是到三个顶点距离相等的点，结合(1)可得BD=CD，(2)可得BD=ID，即可推出BD=CD=ID，从而判断D对应的三角形。
【解析】
(1) 解：连接AI并延长，交$\overset{\frown}{BC}$于点D，点D即为$\overset{\frown}{BC}$的中点。
(2) 证明：连接$BI$，
∵$I$是$△ ABC$的内心，
∴$∠ BAD=∠ CAD$，$∠ ABI=∠ CBI$，
∵$\overset{\frown}{CD}=\overset{\frown}{CD}$，
∴$∠ CAD=∠ CBD$，
∴$∠ BAD=∠ CBD=∠ CAD$，
∵$∠ BID=∠ ABI+∠ BAD$，
∴$∠ BID=∠ CBI+∠ CBD=∠ DBI$，
∴$BD=ID$。
(3) 解：D是$△ BCI$的外心，理由如下：
连接$CD,CI$，由(1)知$\overset{\frown}{BD}=\overset{\frown}{CD}$，
∴$BD=CD$，
由(2)知$BD=ID$，
∴$BD=ID=CD$，
∴点$B,I,C$在以点$D$为圆心，$BD$为半径的圆上，即$D$是$△ BCI$的外心。
【答案】
（1）如图①,连接$AI$并延长,交$\overset{\frown}{BC}$于点$D$,则点$D$为所求
（2）连接$BI$,$\because I$是$△ ABC$的内心,$\therefore ∠ BAD=∠ CAD,∠ ABI=∠ CBI$.$\because \overset{\frown}{CD}=\overset{\frown}{CD}$,$\therefore ∠ CAD=∠ CBD$.$\therefore ∠ BAD=∠ CBD=∠ CAD$.
$\because ∠ BID=∠ ABI+∠ BAD$,$\therefore ∠ BID=∠ CBI+∠ CBD=∠ DBI$.$\therefore BD=ID$
（3）$D$是图②中$△ BCI$的外心,理由如下:连接$CD,CI$,由(1)知$\overset{\frown}{BD}=\overset{\frown}{CD}$,$\therefore BD=CD$.由(2)知$BD=ID$,$\therefore BD=ID=CD$.
$\therefore$点$B,I,C$在以点$D$为圆心,$BD$为半径的圆上,即$D$是$△ BCI$的外心
【知识点】
三角形内心的性质，圆周角定理，三角形外心的判定
【点评】
本题是圆与三角形结合的典型题型，核心考查三角形内、外心的性质和圆周角定理的应用，解题关键是灵活进行角的等量代换和线段相等的推导，对基础性质的掌握要求较高。
【难度系数】
0.7
(1) 要找$\overset{\frown}{BC}$的中点，根据圆周角定理，相等的圆周角所对的弧相等，点I是△ABC的内心，AI是∠BAC的角平分线，因此延长AI交$\overset{\frown}{BC}$的点就是$\overset{\frown}{BC}$的中点，此时∠BAD=∠CAD，对应$\overset{\frown}{BD}=\overset{\frown}{CD}$。
(2) 要证BD=ID，只需证明△BDI为等腰三角形，即∠BID=∠DBI。利用内心的性质可得两组角平分线，再结合同弧所对的圆周角相等进行角的转化，通过角的和的关系即可证得两角相等，推出边相等。
(3) 三角形的外心是到三个顶点距离相等的点，结合(1)可得BD=CD，(2)可得BD=ID，即可推出BD=CD=ID，从而判断D对应的三角形。
【解析】
(1) 解：连接AI并延长，交$\overset{\frown}{BC}$于点D，点D即为$\overset{\frown}{BC}$的中点。
(2) 证明：连接$BI$，
∵$I$是$△ ABC$的内心，
∴$∠ BAD=∠ CAD$，$∠ ABI=∠ CBI$，
∵$\overset{\frown}{CD}=\overset{\frown}{CD}$，
∴$∠ CAD=∠ CBD$，
∴$∠ BAD=∠ CBD=∠ CAD$，
∵$∠ BID=∠ ABI+∠ BAD$，
∴$∠ BID=∠ CBI+∠ CBD=∠ DBI$，
∴$BD=ID$。
(3) 解：D是$△ BCI$的外心，理由如下：
连接$CD,CI$，由(1)知$\overset{\frown}{BD}=\overset{\frown}{CD}$，
∴$BD=CD$，
由(2)知$BD=ID$，
∴$BD=ID=CD$，
∴点$B,I,C$在以点$D$为圆心，$BD$为半径的圆上，即$D$是$△ BCI$的外心。
【答案】
（1）如图①
,连接$AI$并延长,交$\overset{\frown}{BC}$于点$D$,则点$D$为所求（2）连接$BI$,$\because I$是$△ ABC$的内心,$\therefore ∠ BAD=∠ CAD,∠ ABI=∠ CBI$.$\because \overset{\frown}{CD}=\overset{\frown}{CD}$,$\therefore ∠ CAD=∠ CBD$.$\therefore ∠ BAD=∠ CBD=∠ CAD$.
$\because ∠ BID=∠ ABI+∠ BAD$,$\therefore ∠ BID=∠ CBI+∠ CBD=∠ DBI$.$\therefore BD=ID$
（3）$D$是图②中$△ BCI$的外心,理由如下:连接$CD,CI$,由(1)知$\overset{\frown}{BD}=\overset{\frown}{CD}$,$\therefore BD=CD$.由(2)知$BD=ID$,$\therefore BD=ID=CD$.
$\therefore$点$B,I,C$在以点$D$为圆心,$BD$为半径的圆上,即$D$是$△ BCI$的外心
【知识点】
三角形内心的性质，圆周角定理，三角形外心的判定
【点评】
本题是圆与三角形结合的典型题型，核心考查三角形内、外心的性质和圆周角定理的应用，解题关键是灵活进行角的等量代换和线段相等的推导，对基础性质的掌握要求较高。
【难度系数】
0.7
