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例1 为美化校园，学校准备在如图3.5.9所示的三角形空地上修建一个圆形花坛，且要使花坛的面积最大.
（1）请在图中画出这个圆形花坛（用直尺和圆规作图，不写作法，但要保留作图痕迹）；
（2）若$AB=8\ \mathrm{m}$，$AC=10\ \mathrm{m}$，$BC=12\ \mathrm{m}$，则（1）中所画圆形花坛的半径为
（1）请在图中画出这个圆形花坛（用直尺和圆规作图，不写作法，但要保留作图痕迹）；
（2）若$AB=8\ \mathrm{m}$，$AC=10\ \mathrm{m}$，$BC=12\ \mathrm{m}$，则（1）中所画圆形花坛的半径为
$\sqrt{7}$
m.答案
（1）如图
，$\odot O$即为所画这个圆形花坛（提示：画$△ ABC$的内切圆）（2）$\sqrt{7}$（提示：先求$△ ABC$的面积，再用面积法求内切圆的半径）
解析
【分析】
（1）三角形内部面积最大的圆是三角形的内切圆，它和三角形三边都相切。作图思路：先作三角形任意两个内角的角平分线，交点就是内切圆的圆心（内心），再过圆心作任意一边的垂线段，垂线段长度就是内切圆半径，以内心为圆心、该垂线段长为半径画圆即可。
（2）求内切圆半径可使用面积法：三角形的面积等于内切圆半径与三角形周长乘积的一半，即$S=\frac{1}{2}r(AB+BC+AC)$。先通过勾股定理求出三角形的高，计算出三角形面积，再代入公式即可求出半径$r$。
【解析】
（1）作$△ ABC$两个内角的角平分线，交点为内心$O$，过$O$作$BC$的垂线，垂足为$D$，以$O$为圆心、$OD$长为半径作$\odot O$，即为所求的最大圆形花坛，作图痕迹如参考图所示。
（2）过点$A$作$AH⊥ BC$于点$H$，设$BH=x\ \mathrm{m}$，则$CH=(12-x)\ \mathrm{m}$。
在$\mathrm{Rt}△ ABH$和$\mathrm{Rt}△ ACH$中，由勾股定理得：
$AB^2 - BH^2 = AH^2 = AC^2 - CH^2$
代入数值：$8^2 - x^2 = 10^2 - (12-x)^2$
展开计算：$64 - x^2 = 100 - 144 + 24x - x^2$
化简得：$24x = 108$，解得$x=4.5$
则$AH=\sqrt{AB^2 - BH^2}=\sqrt{8^2 - 4.5^2}=\frac{5\sqrt{7}}{2}\ \mathrm{m}$
$△ ABC$的面积$S=\frac{1}{2}× BC× AH=\frac{1}{2}×12×\frac{5\sqrt{7}}{2}=15\sqrt{7}\ \mathrm{m^2}$
设内切圆半径为$r$，由三角形内切圆面积公式$S=\frac{1}{2}r(AB+BC+AC)$，三角形周长为$8+10+12=30\ \mathrm{m}$，代入得：
$15\sqrt{7}=\frac{1}{2}× r×30$
解得$r=\sqrt{7}$
【答案】
（1）如图，$\odot O$即为所画这个圆形花坛；
（2）$\sqrt{7}$
【知识点】
三角形内切圆的定义；尺规作角平分线；面积法求内切圆半径
【点评】
本题结合实际场景出题，既考查了尺规作图的实操能力，又考查了三角形内切圆相关的计算，需要熟练掌握内切圆的性质，灵活运用面积法解决几何计算问题，注重基础知识的应用。
【难度系数】
0.7
（1）三角形内部面积最大的圆是三角形的内切圆，它和三角形三边都相切。作图思路：先作三角形任意两个内角的角平分线，交点就是内切圆的圆心（内心），再过圆心作任意一边的垂线段，垂线段长度就是内切圆半径，以内心为圆心、该垂线段长为半径画圆即可。
（2）求内切圆半径可使用面积法：三角形的面积等于内切圆半径与三角形周长乘积的一半，即$S=\frac{1}{2}r(AB+BC+AC)$。先通过勾股定理求出三角形的高，计算出三角形面积，再代入公式即可求出半径$r$。
【解析】
（1）作$△ ABC$两个内角的角平分线，交点为内心$O$，过$O$作$BC$的垂线，垂足为$D$，以$O$为圆心、$OD$长为半径作$\odot O$，即为所求的最大圆形花坛，作图痕迹如参考图所示。
（2）过点$A$作$AH⊥ BC$于点$H$，设$BH=x\ \mathrm{m}$，则$CH=(12-x)\ \mathrm{m}$。
在$\mathrm{Rt}△ ABH$和$\mathrm{Rt}△ ACH$中，由勾股定理得：
$AB^2 - BH^2 = AH^2 = AC^2 - CH^2$
代入数值：$8^2 - x^2 = 10^2 - (12-x)^2$
展开计算：$64 - x^2 = 100 - 144 + 24x - x^2$
化简得：$24x = 108$，解得$x=4.5$
则$AH=\sqrt{AB^2 - BH^2}=\sqrt{8^2 - 4.5^2}=\frac{5\sqrt{7}}{2}\ \mathrm{m}$
$△ ABC$的面积$S=\frac{1}{2}× BC× AH=\frac{1}{2}×12×\frac{5\sqrt{7}}{2}=15\sqrt{7}\ \mathrm{m^2}$
设内切圆半径为$r$，由三角形内切圆面积公式$S=\frac{1}{2}r(AB+BC+AC)$，三角形周长为$8+10+12=30\ \mathrm{m}$，代入得：
$15\sqrt{7}=\frac{1}{2}× r×30$
解得$r=\sqrt{7}$
【答案】
（1）如图
，$\odot O$即为所画这个圆形花坛；（2）$\sqrt{7}$
【知识点】
三角形内切圆的定义；尺规作角平分线；面积法求内切圆半径
【点评】
本题结合实际场景出题，既考查了尺规作图的实操能力，又考查了三角形内切圆相关的计算，需要熟练掌握内切圆的性质，灵活运用面积法解决几何计算问题，注重基础知识的应用。
【难度系数】
0.7
例2 如图3.5.10，在$Rt△ ABC$中，$∠ A=90°$，边$AB$，$BC$分别与$\odot O$相切于点$D$，$E$，$\odot O$的半径为$r$.
（1）若点$F$在优弧$\overset{\frown}{DE}$上，且$∠ DFE=70°$，求$∠ ABC$的度数；
（2）若点$F$在$\odot O$上运动，当四边形$DBEF$为菱形时，求$∠ ABC$的度数；
（3）若$AB=8$，$AC=6$，当$\odot O$与$Rt△ ABC$的三边都相切时，请直接写出$r$的值.
（1）若点$F$在优弧$\overset{\frown}{DE}$上，且$∠ DFE=70°$，求$∠ ABC$的度数；
（2）若点$F$在$\odot O$上运动，当四边形$DBEF$为菱形时，求$∠ ABC$的度数；
（3）若$AB=8$，$AC=6$，当$\odot O$与$Rt△ ABC$的三边都相切时，请直接写出$r$的值.
答案
（1）连接$OD,OE.\because ∠ DFE=70°,\therefore ∠ DOE=2∠ DFE=140°.\because$边$AB,BC$分别与$\odot O$相切于点$D,E,\therefore ∠ BDO=∠ BEO=90°.\therefore ∠ B=360°-∠ BDO-∠ BEO-∠ DOE=360°-180°-140°=40°$
（2）当四边形$DBEF$为菱形时，$∠ DFE=∠ B$.设$∠ DFE=∠ B=α$.
$\because ∠ DOE=2∠ DFE,\therefore ∠ DOE=2α$.由(1)知$∠ B+∠ DOE=180°,\therefore α+2α=180°$,解得$α=60°$,即$∠ ABC=60°$
（3）在$\mathrm{Rt}△ ABC$中,$AB=8,AC=6,\therefore BC=\sqrt{AB^2+AC^2}=10$.当$\odot O$与$\mathrm{Rt}△ ABC$的三边都相切时，则$S_{△ ABC}=\frac{1}{2}AB· AC=\frac{1}{2}× AB· r+\frac{1}{2}AC· r+\frac{1}{2}BC· r=\frac{1}{2}(AB+BC+AC)r$,即$\frac{1}{2}×6×8=\frac{1}{2}×(6+8+10)r$,解得$r=2$
配图参考
解析
【分析】
（1）求∠ABC的度数时，先连接OD、OE，利用同弧所对圆心角是圆周角2倍的规律，由已知∠DFE求出圆心角∠DOE的度数；再根据切线垂直于过切点的半径，得到∠BDO、∠BEO均为90°，最后结合四边形内角和为360°即可算出∠ABC。
（2）四边形DBEF为菱形时，根据菱形对角相等的性质可得∠DFE=∠ABC，设该角为α，结合圆周角定理得∠DOE=2α，再利用（1）中得到的∠ABC与∠DOE互补的关系列方程，求解即可得到∠ABC的度数。
（3）先通过勾股定理算出Rt△ABC的斜边长度，当⊙O是三角形内切圆时，利用面积法：三角形总面积等于三个以内切圆半径为高、三角形三边为底的小三角形面积之和，代入数值即可求出r的值。
【解析】
（1）连接OD、OE，
∵同弧所对的圆心角是圆周角的2倍，∠DFE=70°，
∴∠DOE=2∠DFE=140°，
∵AB、BC分别与⊙O相切于点D、E，
∴OD⊥AB，OE⊥BC，即∠BDO=∠BEO=90°，
四边形BDOE内角和为360°，
∴∠ABC=360°-∠BDO-∠BEO-∠DOE=360°-90°-90°-140°=40°。
（2）当四边形DBEF为菱形时，由菱形对角相等可得∠DFE=∠ABC，
设∠DFE=∠ABC=α，
由圆周角定理得∠DOE=2∠DFE=2α，
由（1）可知∠ABC+∠DOE=180°，
∴α+2α=180°，解得α=60°，即∠ABC=60°。
（3）在Rt△ABC中，∠A=90°，AB=8，AC=6，
由勾股定理得$BC=\sqrt{AB^2+AC^2}=\sqrt{8^2+6^2}=10$，
当⊙O与Rt△ABC三边都相切时，根据面积法：
$S_{△ABC}=\frac{1}{2}AB·AC=\frac{1}{2}(AB+AC+BC)·r$，
代入数值：$\frac{1}{2}×6×8=\frac{1}{2}×(6+8+10)×r$，
解得r=2。
【答案】
（1）$\boldsymbol{∠ABC=40°}$；
（2）$\boldsymbol{∠ABC=60°}$；
（3）$\boldsymbol{r=2}$
【知识点】
切线的性质；圆周角定理；三角形内切圆计算
【点评】
本题综合考查了圆的基本性质、特殊四边形的性质和直角三角形的相关计算，难度梯度设置合理，既考查了基础知识点的直接应用，也考查了多知识点的综合运用能力，是直线与圆位置关系的典型练习题。
【难度系数】
0.7
（1）求∠ABC的度数时，先连接OD、OE，利用同弧所对圆心角是圆周角2倍的规律，由已知∠DFE求出圆心角∠DOE的度数；再根据切线垂直于过切点的半径，得到∠BDO、∠BEO均为90°，最后结合四边形内角和为360°即可算出∠ABC。
（2）四边形DBEF为菱形时，根据菱形对角相等的性质可得∠DFE=∠ABC，设该角为α，结合圆周角定理得∠DOE=2α，再利用（1）中得到的∠ABC与∠DOE互补的关系列方程，求解即可得到∠ABC的度数。
（3）先通过勾股定理算出Rt△ABC的斜边长度，当⊙O是三角形内切圆时，利用面积法：三角形总面积等于三个以内切圆半径为高、三角形三边为底的小三角形面积之和，代入数值即可求出r的值。
【解析】
（1）连接OD、OE，
∵同弧所对的圆心角是圆周角的2倍，∠DFE=70°，
∴∠DOE=2∠DFE=140°，
∵AB、BC分别与⊙O相切于点D、E，
∴OD⊥AB，OE⊥BC，即∠BDO=∠BEO=90°，
四边形BDOE内角和为360°，
∴∠ABC=360°-∠BDO-∠BEO-∠DOE=360°-90°-90°-140°=40°。
（2）当四边形DBEF为菱形时，由菱形对角相等可得∠DFE=∠ABC，
设∠DFE=∠ABC=α，
由圆周角定理得∠DOE=2∠DFE=2α，
由（1）可知∠ABC+∠DOE=180°，
∴α+2α=180°，解得α=60°，即∠ABC=60°。
（3）在Rt△ABC中，∠A=90°，AB=8，AC=6，
由勾股定理得$BC=\sqrt{AB^2+AC^2}=\sqrt{8^2+6^2}=10$，
当⊙O与Rt△ABC三边都相切时，根据面积法：
$S_{△ABC}=\frac{1}{2}AB·AC=\frac{1}{2}(AB+AC+BC)·r$，
代入数值：$\frac{1}{2}×6×8=\frac{1}{2}×(6+8+10)×r$，
解得r=2。
【答案】
（1）$\boldsymbol{∠ABC=40°}$；
（2）$\boldsymbol{∠ABC=60°}$；
（3）$\boldsymbol{r=2}$
【知识点】
切线的性质；圆周角定理；三角形内切圆计算
【点评】
本题综合考查了圆的基本性质、特殊四边形的性质和直角三角形的相关计算，难度梯度设置合理，既考查了基础知识点的直接应用，也考查了多知识点的综合运用能力，是直线与圆位置关系的典型练习题。
【难度系数】
0.7
1. 下列命题正确的是 （
A.三角形的内心到三角形三个顶点的距离相等
B.三角形的内心不一定在三角形的内部
C.等边三角形的内心，外心重合
D.一个圆一定有唯一一个外切三角形
C
）A.三角形的内心到三角形三个顶点的距离相等
B.三角形的内心不一定在三角形的内部
C.等边三角形的内心，外心重合
D.一个圆一定有唯一一个外切三角形
答案
C
解析
【分析】
解题时首先要明确三角形内心、外心的定义及性质，还有圆的外切三角形的相关概念，再逐一分析每个选项的表述是否符合对应概念的要求，最终选出正确选项。首先回忆核心概念：三角形内心是三个内角角平分线的交点，是内切圆的圆心，到三边距离相等，且恒在三角形内部；三角形外心是三边垂直平分线的交点，是外接圆的圆心，到三个顶点距离相等；圆的外切三角形是三边都和圆相切的三角形，一个圆可对应无数个外切三角形。
【解析】
我们逐个分析选项：
1. 分析选项A：三角形的内心的性质是到三角形三边的距离相等，到三个顶点距离相等是三角形外心的性质，因此A表述错误。
2. 分析选项B：三角形的三个内角的角平分线都在三角形内部，其交点（即内心）必然位于三角形内部，任意三角形的内心都在内部，因此B表述错误。
3. 分析选项C：等边三角形的三条角平分线、三条边的垂直平分线完全重合，因此它的内心（角平分线交点）和外心（垂直平分线交点）是同一个点，二者重合，因此C表述正确。
4. 分析选项D：在圆上任选三个位置合适的切点作切线，都能组成一个该圆的外切三角形，这样的三角形有无数个，因此D表述错误。
【答案】
C
【知识点】
三角形内心性质；三角形外心性质；圆的外切三角形
【点评】
本题属于基础概念辨析题，核心考查对三角形内心、外心相关性质的区分，以及圆的外切三角形的概念，只要准确记忆相关定义和性质即可快速作答，要注意不要混淆内心和外心的性质。
【难度系数】
0.8
解题时首先要明确三角形内心、外心的定义及性质，还有圆的外切三角形的相关概念，再逐一分析每个选项的表述是否符合对应概念的要求，最终选出正确选项。首先回忆核心概念：三角形内心是三个内角角平分线的交点，是内切圆的圆心，到三边距离相等，且恒在三角形内部；三角形外心是三边垂直平分线的交点，是外接圆的圆心，到三个顶点距离相等；圆的外切三角形是三边都和圆相切的三角形，一个圆可对应无数个外切三角形。
【解析】
我们逐个分析选项：
1. 分析选项A：三角形的内心的性质是到三角形三边的距离相等，到三个顶点距离相等是三角形外心的性质，因此A表述错误。
2. 分析选项B：三角形的三个内角的角平分线都在三角形内部，其交点（即内心）必然位于三角形内部，任意三角形的内心都在内部，因此B表述错误。
3. 分析选项C：等边三角形的三条角平分线、三条边的垂直平分线完全重合，因此它的内心（角平分线交点）和外心（垂直平分线交点）是同一个点，二者重合，因此C表述正确。
4. 分析选项D：在圆上任选三个位置合适的切点作切线，都能组成一个该圆的外切三角形，这样的三角形有无数个，因此D表述错误。
【答案】
C
【知识点】
三角形内心性质；三角形外心性质；圆的外切三角形
【点评】
本题属于基础概念辨析题，核心考查对三角形内心、外心相关性质的区分，以及圆的外切三角形的概念，只要准确记忆相关定义和性质即可快速作答，要注意不要混淆内心和外心的性质。
【难度系数】
0.8
2. 如图，$\odot O$为$△ ABC$的内切圆，$AC=10$，$AB=8$，$BC=9$，$D$，$E$分别为$BC$，$AC$上的点，且$DE$为$\odot O$的切线，则$△ CDE$的周长为（
A.9
B.7
C.11
D.8
C
）A.9
B.7
C.11
D.8
答案
C(提示:设$AB,AC,BC,DE$与圆的切点分别是$P,N,M,Q,CM=x$,根据切线长定理,得$CN=CM=x,BM=BP=9-x,AN=AP=10-x$.则有$9-x+10-x=8$,解得$x=5.5$.所以$△ CDE$的周长为$CD+CE+QE+DQ=2x=11$)
解析
【分析】
遇到内切圆和圆的切线相关问题，首先考虑用切线长定理解题。解题思路分为两步：第一步，先标注出△ABC三边与内切圆的切点，设从点C引的两条切线长为x，根据切线长定理，用含x的式子表示出AB边上两段切线的长度，结合AB的已知长度列方程求出x的值；第二步，观察△CDE的周长，利用DE是切线的性质，将△CDE的周长转化为两条从C引出的切线长的和，代入x的值即可得到结果。
【解析】
设AB、AC、BC、DE与⊙O的切点分别为P、N、M、Q，设$CM=x$。
根据切线长定理可得：
$CN=CM=x$，$BM=BP=BC-CM=9-x$，$AN=AP=AC-CN=10-x$。
已知$AB=AP+BP=8$，代入得：
$\begin{aligned}(10-x)+(9-x)&=8\\19-2x&=8\\2x&=11\\x&=5.5\end{aligned}$
因为DE是⊙O的切线，根据切线长定理，$DQ=DM$，$EQ=EN$，因此$DE=DQ+QE=DM+EN$。
则△CDE的周长为：
$\begin{aligned}CD+CE+DE&=CD+CE+DM+EN\\&=(CD+DM)+(CE+EN)\\&=CM+CN\\&=2x=11\end{aligned}$
【答案】
C
【知识点】
1.切线长定理 2.三角形内切圆性质
【点评】
本题重点考查切线长定理的应用，解题的关键是通过切线长定理对线段进行等量转化，将未知三角形的周长转化为和已知三角形边长相关的线段和，是圆相关性质的常考题型。
【难度系数】
0.7
遇到内切圆和圆的切线相关问题，首先考虑用切线长定理解题。解题思路分为两步：第一步，先标注出△ABC三边与内切圆的切点，设从点C引的两条切线长为x，根据切线长定理，用含x的式子表示出AB边上两段切线的长度，结合AB的已知长度列方程求出x的值；第二步，观察△CDE的周长，利用DE是切线的性质，将△CDE的周长转化为两条从C引出的切线长的和，代入x的值即可得到结果。
【解析】
设AB、AC、BC、DE与⊙O的切点分别为P、N、M、Q，设$CM=x$。
根据切线长定理可得：
$CN=CM=x$，$BM=BP=BC-CM=9-x$，$AN=AP=AC-CN=10-x$。
已知$AB=AP+BP=8$，代入得：
$\begin{aligned}(10-x)+(9-x)&=8\\19-2x&=8\\2x&=11\\x&=5.5\end{aligned}$
因为DE是⊙O的切线，根据切线长定理，$DQ=DM$，$EQ=EN$，因此$DE=DQ+QE=DM+EN$。
则△CDE的周长为：
$\begin{aligned}CD+CE+DE&=CD+CE+DM+EN\\&=(CD+DM)+(CE+EN)\\&=CM+CN\\&=2x=11\end{aligned}$
【答案】
C
【知识点】
1.切线长定理 2.三角形内切圆性质
【点评】
本题重点考查切线长定理的应用，解题的关键是通过切线长定理对线段进行等量转化，将未知三角形的周长转化为和已知三角形边长相关的线段和，是圆相关性质的常考题型。
【难度系数】
0.7
