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12. 如图，在四边形ABCD中，$∠ A=90°$，$AB=5\sqrt{3}$，$BC=8$，$CD=6$，$AD=5$，试判断点A，B，C，D是否在同一个圆上，并证明你的结论.
答案
12. 点A,B,C,D在同一个圆上．证明:如图，连接BD. 在Rt△ABD中，$BD=\sqrt{AB^2+AD^2}=\sqrt{(5\sqrt{3})^2+5^2}=10$，在△BCD中，
∵$8^2+6^2=100$，即$BC^2+CD^2=BD^2$，
∴△BCD是直角三角形．取BD的中点O，$OC=\dfrac{1}{2}BD=OA=OB=OD$，
∴点A,B,C,D在以BD为直径的圆上
解析
【分析】
要判断点A、B、C、D是否共圆，可通过证明四点到同一个定点的距离相等来推导。已知∠A=90°，因此先连接BD，先在Rt△ABD中利用勾股定理求出BD的长度，再用勾股定理的逆定理判断△BCD是否为直角三角形。若△BCD也为直角三角形，取BD的中点O，根据直角三角形斜边中线等于斜边的一半的性质，即可证明A、B、C、D四点到点O的距离相等，进而得到四点共圆的结论。
【解析】
证明：连接BD，
在Rt△ABD中，∠A=90°，AB=$5\sqrt{3}$，AD=5，
由勾股定理得：$BD=\sqrt{AB^2+AD^2}=\sqrt{(5\sqrt{3})^2+5^2}=\sqrt{75+25}=\sqrt{100}=10$，
在△BCD中，BC=8，CD=6，BD=10，
∵$BC^2+CD^2=8^2+6^2=64+36=100=10^2=BD^2$，
∴△BCD是直角三角形，且∠C=90°，
取BD的中点O，
∵直角三角形斜边的中线等于斜边的一半，
∴在Rt△ABD中，$OA=OB=OD=\frac{1}{2}BD$，
在Rt△BCD中，$OC=OB=OD=\frac{1}{2}BD$，
∴$OA=OB=OC=OD$，
∴点A、B、C、D在以O为圆心，BD为直径的同一个圆上。
【答案】
点A,B,C,D在同一个圆上．证明:如图，连接BD. 在Rt△ABD中，$BD=\sqrt{AB^2+AD^2}=\sqrt{(5\sqrt{3})^2+5^2}=10$，在△BCD中，
∵$8^2+6^2=100$，即$BC^2+CD^2=BD^2$，
∴△BCD是直角三角形．取BD的中点O，$OC=\dfrac{1}{2}BD=OA=OB=OD$，
∴点A,B,C,D在以BD为直径的圆上
【知识点】
四点共圆的判定；勾股定理及逆定理；直角三角形斜边中线性质
【点评】
本题考查四点共圆的判定，解题时通过连接辅助线BD，将四边形问题转化为直角三角形问题，结合勾股定理逆定理和直角三角形的性质即可完成证明，解题过程体现了转化思想的应用。
【难度系数】
0.7
要判断点A、B、C、D是否共圆，可通过证明四点到同一个定点的距离相等来推导。已知∠A=90°，因此先连接BD，先在Rt△ABD中利用勾股定理求出BD的长度，再用勾股定理的逆定理判断△BCD是否为直角三角形。若△BCD也为直角三角形，取BD的中点O，根据直角三角形斜边中线等于斜边的一半的性质，即可证明A、B、C、D四点到点O的距离相等，进而得到四点共圆的结论。
【解析】
证明：连接BD，
在Rt△ABD中，∠A=90°，AB=$5\sqrt{3}$，AD=5，
由勾股定理得：$BD=\sqrt{AB^2+AD^2}=\sqrt{(5\sqrt{3})^2+5^2}=\sqrt{75+25}=\sqrt{100}=10$，
在△BCD中，BC=8，CD=6，BD=10，
∵$BC^2+CD^2=8^2+6^2=64+36=100=10^2=BD^2$，
∴△BCD是直角三角形，且∠C=90°，
取BD的中点O，
∵直角三角形斜边的中线等于斜边的一半，
∴在Rt△ABD中，$OA=OB=OD=\frac{1}{2}BD$，
在Rt△BCD中，$OC=OB=OD=\frac{1}{2}BD$，
∴$OA=OB=OC=OD$，
∴点A、B、C、D在以O为圆心，BD为直径的同一个圆上。
【答案】
点A,B,C,D在同一个圆上．证明:如图，连接BD. 在Rt△ABD中，$BD=\sqrt{AB^2+AD^2}=\sqrt{(5\sqrt{3})^2+5^2}=10$，在△BCD中，
∵$8^2+6^2=100$，即$BC^2+CD^2=BD^2$，
∴△BCD是直角三角形．取BD的中点O，$OC=\dfrac{1}{2}BD=OA=OB=OD$，
∴点A,B,C,D在以BD为直径的圆上
【知识点】
四点共圆的判定；勾股定理及逆定理；直角三角形斜边中线性质
【点评】
本题考查四点共圆的判定，解题时通过连接辅助线BD，将四边形问题转化为直角三角形问题，结合勾股定理逆定理和直角三角形的性质即可完成证明，解题过程体现了转化思想的应用。
【难度系数】
0.7
13.（1）请你用直尺和圆规作出$△ ABC$的外接圆（保留作图痕迹，不写作法）；
（2）若$AB=AC=4\sqrt{5}$，$BC=16$，求$△ ABC$的外接圆半径.
（2）若$AB=AC=4\sqrt{5}$，$BC=16$，求$△ ABC$的外接圆半径.
答案
13.（1）如图，$\odot O$即为所求
（2）如图，连接OC，∵AB=AC，OD为BC的垂直平分线，
∴点A在直线OD上，即$OA⊥BC$.
∴$CD=\dfrac{1}{2}BC=8$，
∵$AC=4\sqrt{5}$，
∴$AD=\sqrt{AC^2-CD^2}=\sqrt{(4\sqrt{5})^2-8^2}=4$，
∵OD=OA-AD，OA=OC，
∴$OC^2=CD^2+(OC-AD)^2$，即$OC^2=8^2+(OC-4)^2$，解得OC=10，
∴△ABC的外接圆半径为10
解析
【分析】
（1）作三角形外接圆的核心是确定外心，外心是三角形三边垂直平分线的交点，到三个顶点的距离相等。只需作出△ABC任意两条边的垂直平分线，交点即为圆心O，再以O为圆心、OA长为半径画圆即可得到外接圆。
（2）已知AB=AC，△ABC为等腰三角形，外心在BC的垂直平分线上，结合等腰三角形三线合一的性质，可知底边BC的高与BC的垂直平分线重合，因此点A、外心O、BC中点D共线且AD⊥BC。先利用勾股定理求出AD的长度，再设外接圆半径为r，用含r的式子表示OD的长度，在Rt△ODC中根据勾股定理列方程即可求解半径。
【解析】
（1）分别作△ABC任意两边的垂直平分线，两线交点记为O，以O为圆心，OA为半径作圆，即为所求外接圆，保留作图痕迹即可。
（2）设BC的垂直平分线交BC于点D，连接OC、OA：
∵AB=AC，
∴点A在BC的垂直平分线上，即A、O、D三点共线，且AD⊥BC，
∴$CD=\dfrac{1}{2}BC=\dfrac{1}{2}×16=8$，
在Rt△ACD中，由勾股定理得：
$AD=\sqrt{AC^2-CD^2}=\sqrt{(4\sqrt{5})^2-8^2}=\sqrt{80-64}=4$，
设外接圆半径为r，则$OA=OC=r$，$OD=OA-AD=r-4$，
在Rt△ODC中，由勾股定理得：$OC^2=OD^2+CD^2$，
代入得$r^2=(r-4)^2+8^2$，
展开整理得$8r=80$，解得$r=10$。
【答案】
（1）如图，$\odot O$即为所求
（2）△ABC的外接圆半径为10
【知识点】
1. 三角形外接圆作法
2. 等腰三角形性质
3. 勾股定理
【点评】
本题是三角形外接圆相关的典型题型，既考查尺规作图的实操能力，也考查几何计算能力。作图需紧扣外心的定义，保留垂直平分线的作图痕迹；计算部分结合等腰三角形性质转化为直角三角形问题，用方程思想求解半径，是需要熟练掌握的基础方法。
【难度系数】
0.7
（1）作三角形外接圆的核心是确定外心，外心是三角形三边垂直平分线的交点，到三个顶点的距离相等。只需作出△ABC任意两条边的垂直平分线，交点即为圆心O，再以O为圆心、OA长为半径画圆即可得到外接圆。
（2）已知AB=AC，△ABC为等腰三角形，外心在BC的垂直平分线上，结合等腰三角形三线合一的性质，可知底边BC的高与BC的垂直平分线重合，因此点A、外心O、BC中点D共线且AD⊥BC。先利用勾股定理求出AD的长度，再设外接圆半径为r，用含r的式子表示OD的长度，在Rt△ODC中根据勾股定理列方程即可求解半径。
【解析】
（1）分别作△ABC任意两边的垂直平分线，两线交点记为O，以O为圆心，OA为半径作圆，即为所求外接圆，保留作图痕迹即可。
（2）设BC的垂直平分线交BC于点D，连接OC、OA：
∵AB=AC，
∴点A在BC的垂直平分线上，即A、O、D三点共线，且AD⊥BC，
∴$CD=\dfrac{1}{2}BC=\dfrac{1}{2}×16=8$，
在Rt△ACD中，由勾股定理得：
$AD=\sqrt{AC^2-CD^2}=\sqrt{(4\sqrt{5})^2-8^2}=\sqrt{80-64}=4$，
设外接圆半径为r，则$OA=OC=r$，$OD=OA-AD=r-4$，
在Rt△ODC中，由勾股定理得：$OC^2=OD^2+CD^2$，
代入得$r^2=(r-4)^2+8^2$，
展开整理得$8r=80$，解得$r=10$。
【答案】
（1）如图，$\odot O$即为所求
（2）△ABC的外接圆半径为10
【知识点】
1. 三角形外接圆作法
2. 等腰三角形性质
3. 勾股定理
【点评】
本题是三角形外接圆相关的典型题型，既考查尺规作图的实操能力，也考查几何计算能力。作图需紧扣外心的定义，保留垂直平分线的作图痕迹；计算部分结合等腰三角形性质转化为直角三角形问题，用方程思想求解半径，是需要熟练掌握的基础方法。
【难度系数】
0.7
14. 在$△ ABC$中，$AB=AC$，$BC=6$，$△ ABC$外接圆的半径为5. 求$△ ABC$的面积.
答案
14. ① 当△ABC是锐角三角形时，如图①. 作$AD⊥BC$，垂足为D，则AD一定经过圆心O，连接OB. 在Rt△OBD中，$BD=\dfrac{1}{2}BC=\dfrac{1}{2}×6=3$，则$OD=\sqrt{OB^2-BD^2}=\sqrt{5^2-3^2}=4$，则$AD=OA+OD=5+4=9$，则$S_{△ABC}=\dfrac{1}{2}BC·AD=\dfrac{1}{2}×6×9=27$；② 当△ABC是钝角三角形时，如图②. 同理，OD=4，则$AD=OA-OD=5-4=1$，则$S_{△ABC}=\dfrac{1}{2}BC·AD=\dfrac{1}{2}×6×1=3$
解析
【分析】
本题中△ABC是等腰三角形，首先根据等腰三角形三线合一的性质，作BC边上的高AD，可得D是BC的中点，且三角形的外心（外接圆圆心O）在AD所在的直线上。由于三角形的外心可能在三角形内部（对应锐角三角形），也可能在三角形外部（对应钝角三角形），因此需要分两种情况讨论：先连接OB，结合外接圆半径OB=5、BD=3，在Rt△OBD中用勾股定理求出OD的长度，再根据外心位置的不同求出高AD的长度，最后代入三角形面积公式计算即可。
【解析】
分两种情况讨论：
① 当△ABC是锐角三角形时，如图①：
作$AD⊥BC$，垂足为D，
∵$AB=AC$，$AD⊥BC$，
∴$BD=\dfrac{1}{2}BC=\dfrac{1}{2}×6=3$，且AD经过外接圆圆心O，
连接OB，OB为外接圆半径，故$OB=5$，
在Rt△OBD中，由勾股定理得：$OD=\sqrt{OB^2-BD^2}=\sqrt{5^2-3^2}=4$，
∴高$AD=OA+OD=5+4=9$，
∴$S_{△ABC}=\dfrac{1}{2}BC·AD=\dfrac{1}{2}×6×9=27$；
② 当△ABC是钝角三角形时，如图②：
同理可得$BD=3$，$OD=4$，
此时外心O在AD的延长线上，
∴高$AD=OA-OD=5-4=1$，
∴$S_{△ABC}=\dfrac{1}{2}BC·AD=\dfrac{1}{2}×6×1=3$。
【答案】
△ABC的面积为27或3
【知识点】
等腰三角形的性质，三角形的外接圆与外心，勾股定理
【点评】
本题易错点是忽略分类讨论外心的位置，导致漏解。解题时结合等腰三角形三线合一的性质，明确外心在底边的垂直平分线上，分两种情况计算高的长度即可得出结果。
【难度系数】
0.6
本题中△ABC是等腰三角形，首先根据等腰三角形三线合一的性质，作BC边上的高AD，可得D是BC的中点，且三角形的外心（外接圆圆心O）在AD所在的直线上。由于三角形的外心可能在三角形内部（对应锐角三角形），也可能在三角形外部（对应钝角三角形），因此需要分两种情况讨论：先连接OB，结合外接圆半径OB=5、BD=3，在Rt△OBD中用勾股定理求出OD的长度，再根据外心位置的不同求出高AD的长度，最后代入三角形面积公式计算即可。
【解析】
分两种情况讨论：
① 当△ABC是锐角三角形时，如图①：
作$AD⊥BC$，垂足为D，
∵$AB=AC$，$AD⊥BC$，
∴$BD=\dfrac{1}{2}BC=\dfrac{1}{2}×6=3$，且AD经过外接圆圆心O，
连接OB，OB为外接圆半径，故$OB=5$，
在Rt△OBD中，由勾股定理得：$OD=\sqrt{OB^2-BD^2}=\sqrt{5^2-3^2}=4$，
∴高$AD=OA+OD=5+4=9$，
∴$S_{△ABC}=\dfrac{1}{2}BC·AD=\dfrac{1}{2}×6×9=27$；
② 当△ABC是钝角三角形时，如图②：
同理可得$BD=3$，$OD=4$，
此时外心O在AD的延长线上，
∴高$AD=OA-OD=5-4=1$，
∴$S_{△ABC}=\dfrac{1}{2}BC·AD=\dfrac{1}{2}×6×1=3$。
【答案】
△ABC的面积为27或3
【知识点】
等腰三角形的性质，三角形的外接圆与外心，勾股定理
【点评】
本题易错点是忽略分类讨论外心的位置，导致漏解。解题时结合等腰三角形三线合一的性质，明确外心在底边的垂直平分线上，分两种情况计算高的长度即可得出结果。
【难度系数】
0.6
