24.(本题共10分)在平面直角坐标系中，A(-6,0),O(0,0),B(0,6),y轴上的点C(0,c),且0＜c＜6,连接AC.
(1)若点C为OB中点，点D在x轴正半轴上，AC=BD.
①如图①，求点D的坐标；
②如图②，延长DB到点E，连接AE，AC恰好平分∠EAD，求线段AE的长.
(2)若F为第二象限内一点，AC=FC,∠ACF=90°,线段FC与AB相交于点G.
填空:①∠FBA=(度),点F的坐标为(用含c的式子表示);
②若AC+CG=AF,∠ACB=(度).

24. 【解】(1)①
∵ A(-6,0),O(0,0),B(0,6),
∴ OA=OB=6.
∵ ∠AOC=∠DOB=90°,在Rt△AOC和Rt△BOD中,$\begin{cases}AC=BD,\\OA=OB,\end{cases}$
∴ Rt△AOC≌Rt△BOD(HL),
∴ OC=OD.
∵ 点C为OB的中点,
∴ 点C(0,3),
∴ OC=OD=3,
∴ 点D的坐标为(3,0).②如图①,延长AC与DE交于点K.
∵ Rt△AOC≌Rt△BOD,
∴ ∠OAC=∠OBD.
∵ ∠ACO=∠BCK,
∴ ∠OAC+∠ACO=90°=∠OBD+∠BCK,
∴ ∠BKC=90°,
∴ ∠AKD=90°,
∴ ∠BKC=∠AKD.
∵ AC恰好平分∠EAD,
∴ ∠DAK=∠EAK.在△ADK和△AEK中,$\begin{cases}∠DAK=∠EAK,\\AK=AK,\\∠AKD=∠AKE,\end{cases}$
∴ △ADK≌△AEK(ASA),
∴ AE=AD.
∵ 点A(-6,0),D(3,0),
∴ AE=AD=9.(2)①90 (-c,6+c) 分析:
∵ 点C(0,c),
∴ OC=c,
∴ BC=6-c.如图②,过点F作FH⊥y轴于点H,
∴ ∠FCH+∠CFH=90°.
∵ ∠ACF=90°,
∴ ∠FCH+∠ACO=90°,
∴ ∠CFH=∠ACO.
∵ ∠CHF=∠AOC=90°,AC=FC,
∴ △AOC≌△CHF(AAS),
∴ FH=OC=c,CH=OA=6,
∴ BH=CH-BC=c,OH=6+c,
∴ FH=BH,点F的坐标为(-c,6+c),
∴ △BFH为等腰直角三角形,
∴ ∠FBH=45°.
∵ OA=OB=6,
∴ △AOB为等腰直角三角形,
∴ ∠ABO=45°,
∴ ∠FBA=180°-∠FBH-∠ABO=90°.②112.5 分析:如图③,延长FC至点P,使PC=CG,连接AP.
∵ AC+CG=AF,AC=CF,
∴ FP=FC+PC=AF,
∴ ∠FAP=∠APF.
∵ ∠ACF=90°,
∴ ∠ACP=∠ACF=90°.
∵ PC=CG,AC=AC,
∴ △ACP≌△ACG(SAS),
∴ ∠CAP=∠CAG.设∠CAP=∠CAG=α,则∠FAP=∠APF=90°-α.
∵ ∠ACF=90°,AC=CF,
∴ △ACF为等腰直角三角形,
∴ ∠CAF=45°,
∴ ∠FAP=∠CAF+∠CAP=45°+α,
∴ 90°-α=45°+α,解得α=22.5°,
∴ ∠CAB=22.5°.
∵ ∠ABO=45°,
∴ ∠ACB=180°-∠BAC-∠ABO=112.5°.