1. 一元二次方程$x^2 - x - 3 = 0$的两个实数根为$x_1$和$x_2$，则$x_1x_2$的值是（）

A.－3
B.－2
C.2
D.3

1. A

【分析】
题目要求一元二次方程两个实数根的乘积，有两种解法：一是先解方程求出两个根再相乘，二是利用一元二次方程根与系数的关系（韦达定理）直接计算，后者更简便。解题思路如下：首先回忆韦达定理的内容，明确一元二次方程一般形式$ax^2+bx+c=0$（$a≠0$）的两根之积为$\frac{c}{a}$，再从题干给出的方程中找出二次项系数$a$和常数项$c$，代入公式计算即可得到结果。
【解析】
解：对于一元二次方程$ax^2+bx+c=0$（$a≠0$），若两个实数根为$x_1$、$x_2$，根据根与系数的关系可得：$x_1x_2=\frac{c}{a}$。
题干所给方程为$x^2 - x - 3 = 0$，对应可得$a=1$，$c=-3$。
将$a$、$c$代入公式得：$x_1x_2=\frac{-3}{1}=-3$。
因此本题选A选项。
【答案】
A
【知识点】
1. 一元二次方程根与系数的关系（韦达定理）
2. 一元二次方程各项系数识别
【点评】
本题是基础题，主要考查韦达定理的直接应用，熟记两根之积与方程系数的对应关系即可快速解题，无需解方程求根，可减少计算量，提高解题效率。
【难度系数】
0.9

2. 已知实数 $ x_1, x_2 $ 满足 $ x_1 + x_2 = 3 $，$ x_1x_2 = -4 $，则以 $ x_1, x_2 $ 为根的一元二次方程可能是 （）

A.$ x^2 - 3x -4 =0 $
B.$ x^2 - 3x +4 =0 $
C.$ x^2 + 3x -4 =0 $
D.$ x^2 + 3x +4 =0 $

2. A

【分析】
要写出以$x_1$、$x_2$为根的一元二次方程，可利用一元二次方程根与系数的关系求解。对于二次项系数为1的一元二次方程$x^2+bx+c=0$，两根之和$x_1+x_2=-b$，两根之积$x_1x_2=c$。我们可以先根据已知的两根和与两根积求出方程的一次项系数和常数项，再匹配选项即可。
【解析】
当一元二次方程的二次项系数为1时，以$x_1$、$x_2$为根的方程形式为：
$x^2 - (x_1+x_2)x + x_1x_2 = 0$
将$x_1+x_2=3$，$x_1x_2=-4$代入上式，得：
$x^2 - 3x + (-4) = 0$
化简后为$x^2 - 3x -4 = 0$，对应选项A。
【答案】
A
【知识点】
1. 一元二次方程根与系数的关系
2. 一元二次方程的构造
【点评】
本题是根与系数关系的基础应用题型，解题关键是牢记二次项系数为1时，方程系数与两根和、两根积的对应关系，注意一次项系数的符号不要弄反。
【难度系数】
0.9

3.若关于$x$的一元二次方程$x^2 + (k - 2)x - 1 = 0$的两个实数根互为相反数，则$k$的值为。

3. 2

【分析】
本题可结合一元二次方程根与系数的关系和相反数的性质求解，解题思路如下：1. 设方程两根为$x_1$、$x_2$，根据“两根互为相反数”可得$x_1+x_2=0$；2. 回忆韦达定理：对于$ax^2+bx+c=0$（$a≠0$），两根之和为$-\frac{b}{a}$，据此列出关于$k$的等式；3. 求解$k$后代入原方程，验证判别式是否大于等于0，确保方程存在两个实数根。
【解析】
解：设方程$x^2 + (k - 2)x - 1 = 0$的两个实数根为$x_1$、$x_2$。
∵ 两个实数根互为相反数，
∴ $x_1 + x_2 = 0$。
根据一元二次方程根与系数的关系，对于该方程$a=1$，$b=k-2$，可得：
$x_1 + x_2 = -\frac{b}{a} = -(k-2) = 2 - k$
∴ $2 - k = 0$，解得$k=2$。
验证：当$k=2$时，原方程为$x^2 - 1 = 0$，判别式$\Delta = 0^2 - 4×1×(-1) = 4 ＞ 0$，方程有两个不相等的实数根，符合题意。
【答案】
2
【知识点】
一元二次方程根与系数的关系；相反数的性质；一元二次方程根的判别式
【点评】
本题是基础题型，重点考查韦达定理的应用，解题时需要注意题目给出“两个实数根”的前提，求出参数值后要验证判别式是否满足有实根的要求，避免出现增解。
【难度系数】
0.7

4. 一个矩形的长和宽恰好是方程$x^2 -5x +3=0$的两个根，则该矩形的面积是。

4. 3

【分析】
要求矩形的面积，根据矩形面积公式可知面积=长×宽，题目已知长和宽是方程的两个根，因此只需要求出方程两根的乘积即可。根据一元二次方程根与系数的关系（韦达定理），对于$ax^2+bx+c=0$（$a≠0$），两根之积为$\frac{c}{a}$，无需解出方程的根就能快速计算结果。
【解析】
设矩形的长为$x_1$，宽为$x_2$，由题意可知$x_1$、$x_2$是方程$x^2 -5x +3=0$的两个根。
对于一元二次方程$ax^2+bx+c=0$（$a≠0$），根据韦达定理，两根之积$x_1x_2=\frac{c}{a}$。
在方程$x^2 -5x +3=0$中，$a=1$，$c=3$，因此$x_1x_2=\frac{3}{1}=3$。
矩形的面积$S=x_1· x_2=3$。
【答案】
3
【知识点】
韦达定理；矩形面积计算
【点评】
本题是基础应用题，将几何图形的面积计算和一元二次方程根与系数的关系结合考查，无需解方程求根，直接利用韦达定理计算两根之积即可得到结果，解题时注意不要混淆两根之和与两根之积的公式。
【难度系数】
0.9

5. 以一元二次方程 $ x(x+2)-3=0 $ 的两根之和为横坐标，两根之积为纵坐标的点在平面直角坐标系中位于第 象限.

5. 三

【分析】
解题时首先要将给定的一元二次方程整理为一般形式，再结合一元二次方程根与系数的关系（韦达定理）分别求出两根之和、两根之积，得到对应点的横、纵坐标，最后根据平面直角坐标系中各象限的坐标符号特征，判断点所在的象限。也可以先求解方程得到两个根，再直接计算两根的和与积，两种方法均可。
【解析】
第一步：将方程化为一元二次方程的一般形式：
对$x(x+2)-3=0$展开整理得：$x^2+2x-3=0$，其中二次项系数$a=1$，一次项系数$b=2$，常数项$c=-3$。
第二步：求两根之和与两根之积：
设方程的两个根为$x_1$、$x_2$，根据根与系数的关系可得：
两根之和$x_1+x_2=-\frac{b}{a}=-\frac{2}{1}=-2$，即点的横坐标为$-2$；
两根之积$x_1x_2=\frac{c}{a}=\frac{-3}{1}=-3$，即点的纵坐标为$-3$。
第三步：判断点所在象限：
平面直角坐标系中第三象限内的点横、纵坐标均为负数，该点横纵坐标都小于0，因此位于第三象限。
（也可直接解方程验证：因式分解得$(x+3)(x-1)=0$，解得$x_1=-3$，$x_2=1$，两根和为$-3+1=-2$，两根积为$-3×1=-3$，结果一致）
【答案】
三
【知识点】
一元二次方程根与系数的关系；平面直角坐标系中点的坐标特征
【点评】
本题属于基础综合题，将一元二次方程的知识与平面直角坐标系的内容结合考查，难度较低，只要熟练掌握根与系数的关系以及各象限内点的符号特点，就能快速解题。
【难度系数】
0.8

6.已知关于$x$的一元二次方程$x^2-(k+3)x+2k+2=0$.若方程的两个实数根$x_1$，$x_2$满足$x_1x_2=x_1+x_2-2$，求$k$的值.

6. 【解】$\because \Delta=[-(k+3)]^2-4(2k+2)=(k-1)^2≥0,$
$\therefore$ 当$k=1$时,原方程有两个相等的实数根;当$k≠1$时,原方程有两个不相等的实数根.
根据题意,得$x_1+x_2=k+3,x_1x_2=2k+2.$
$\because x_1x_2=x_1+x_2-2,$
$\therefore 2k+2=k+3-2.$
解得$k=-1$.故$k$的值为$-1$.

【分析】
解题思路可分为三步：第一步，先计算一元二次方程的判别式Δ，确认方程有两个实根的前提，避免后续求出的k值不符合根存在的要求；第二步，利用一元二次方程根与系数的关系，用含k的代数式表示出两根之和$x_1+x_2$与两根之积$x_1x_2$；第三步，将表示出的两根和、两根积代入题目给出的$x_1x_2=x_1+x_2-2$的等量关系，解关于k的方程，再结合判别式验证结果是否符合要求即可。
【解析】
首先计算方程的判别式：
$\Delta=[-(k+3)]^2-4×1×(2k+2)$
$=k^2+6k+9-8k-8$
$=k^2-2k+1=(k-1)^2≥0$
因此无论k取何值，方程都有两个实数根。
根据一元二次方程根与系数的关系可得：
$x_1+x_2=k+3$，$x_1x_2=2k+2$
将上述表达式代入$x_1x_2=x_1+x_2-2$得：
$2k+2=k+3-2$
移项计算得：$2k+2=k+1$
解得$k=-1$
验证：当$k=-1$时，$\Delta=(-1-1)^2=4≥0$，符合方程有两个实根的条件。
【答案】
$k$的值为$-1$
【知识点】
1. 一元二次方程根的判别式；2. 根与系数的关系（韦达定理）
【点评】
本题是一元二次方程根相关知识的基础应用题，解题时要注意先确认方程有实数根的前提，再代入韦达定理的结论求解，避免出现增根，是该模块的常考基础题型。
【难度系数】
0.8

7. 关于$x$的一元二次方程$x^2 + 2x + k + 1 = 0$的两个根为$x_1,x_2$，且$x_1 + x_2 - x_1x_2 ＜ -1$，则$k$的取值范围是（）

A.$k ＞ -2$
B.$k ＞ 2$
C.$-2 ＜ k ≤ 0$
D.$0 ≤ k ＜ 2$

7. C

【分析】
要解决这个问题，需结合一元二次方程有实根的条件和根与系数的关系分析：首先，一元二次方程有两个实数根，说明根的判别式$\Delta ≥ 0$，可求出k的第一个取值范围；其次，利用韦达定理求出两根之和、两根之积的表达式，代入题给不等式，解出k的第二个取值范围；最后取两个范围的公共部分，即为k的最终取值范围。
【解析】
第一步：根据一元二次方程有两个实根的条件，计算判别式：
对于一元二次方程$ax^2+bx+c=0(a≠0)$，判别式$\Delta = b^2-4ac$，本题中$a=1,b=2,c=k+1$，且方程有两个实根，因此：
$\Delta = 2^2 - 4×1×(k+1) ≥ 0$
化简得：$4 - 4k - 4 ≥ 0$，即$-4k≥0$，解得$k≤0$。
第二步：利用根与系数的关系（韦达定理）求两根和与两根积：
$x_1+x_2 = -\frac{b}{a} = -2$，$x_1x_2 = \frac{c}{a} = k+1$。
第三步：代入不等式$x_1+x_2 - x_1x_2 ＜ -1$求解：
将上述结果代入得：$-2 - (k+1) ＜ -1$
化简：$-2 -k -1 ＜ -1$，即$-k ＜ 2$，两边同乘-1，不等号方向改变，得$k ＞ -2$。
第四步：取两个取值范围的公共部分：
结合$k≤0$和$k ＞ -2$，可得k的取值范围是$-2 ＜ k ≤ 0$。
【答案】
C
【知识点】
一元二次方程根的判别式，根与系数的关系，解一元一次不等式
【点评】
本题易忽略一元二次方程有两个实根时判别式≥0的隐含条件，直接解不等式误选A，解题时要注意结合题意挖掘所有限制条件。
【难度系数】
0.7

8.若$x_1,x_2$是方程$x^2 -25x -1=0$的两个实数根，则代数式$x_1^2 -24x_1 +x_2$的值为（）

A.0
B.25
C.26
D.$-1$

8. C

【分析】
解题时首先观察所求代数式的结构，发现包含$x_1$的二次项，而$x_1$是已知一元二次方程的根，因此可先利用一元二次方程根的定义，将$x_1$的二次项转化为一次项，实现降次化简；化简后代数式会出现两根之和的形式，再结合根与系数的关系求出两根之和，代入计算即可得到结果，无需直接求解方程的根，能简化运算。
【解析】
解：
∵$x_1$是方程$x^2 -25x -1=0$的实数根，
∴将$x_1$代入方程得：$x_1^2 -25x_1 -1=0$，即$x_1^2=25x_1 +1$。
将$x_1^2=25x_1 +1$代入待求代数式：
$x_1^2 -24x_1 +x_2 = (25x_1 +1) -24x_1 +x_2 = x_1 + x_2 +1$。
又
∵$x_1,x_2$是方程$x^2 -25x -1=0$的两个实数根，根据根与系数的关系，两根之和$x_1 + x_2 = -\frac{b}{a} = -\frac{-25}{1}=25$。
∴原式$=25 +1=26$。
【答案】
C
【知识点】
一元二次方程根的定义；根与系数的关系
【点评】
本题属于一元二次方程的常考题型，解题核心是利用根的定义对高次项降次，再结合根与系数的关系计算，规避了直接求根的繁琐运算，考查学生对基础知识点的综合运用能力。
【难度系数】
0.7

9. 关于$x$的方程$x^2 - 3x - m = 0$的两个实数根为$x_1, x_2$，且$x_1^2 - 2x_1 + x_2 = 2x_1x_2$，则$m$的值为。

9. -1

【分析】
解题时首先回忆一元二次方程相关性质：①方程的根代入方程可使等式成立，可用于对含根的高次项降次；②一元二次方程有两个实数根时，可通过根与系数的关系（韦达定理）直接得到两根和、两根积与系数的关系。本题解题思路如下：第一步，利用x₁是方程的根，将x₁²用含x₁和m的式子表示，实现降次；第二步，写出该方程的两根和与两根积；第三步，将降次后的式子、两根和、两根积代入题干给出的等式，化简得到关于m的一元一次方程，求解后再结合判别式验证解是否符合有两个实根的条件即可。
【解析】
解：
∵$x_1$是方程$x^2 - 3x - m = 0$的实数根
∴$x_1^2 - 3x_1 - m = 0$，即$x_1^2 = 3x_1 + m$ ①
根据根与系数的关系，方程的两根满足：
$x_1 + x_2 = 3$，$x_1x_2 = -m$ ②
将①代入等式$x_1^2 - 2x_1 + x_2 = 2x_1x_2$得：
$3x_1 + m - 2x_1 + x_2 = 2x_1x_2$
整理左边得：$x_1 + x_2 + m = 2x_1x_2$
将②代入上式：
$3 + m = 2×(-m)$
移项合并同类项得：$3m = -3$
解得：$m = -1$
验证：当$m=-1$时，方程的判别式$\Delta = (-3)^2 - 4×1×(-m) = 9 + 4m = 9 - 4 = 5 ＞ 0$，符合方程有两个实数根的条件。
故$m$的值为$-1$。
【答案】
-1
【知识点】
1. 一元二次方程根的定义
2. 根与系数的关系
3. 一元二次方程根的判别式
【点评】
本题是一元二次方程根的性质的综合应用，解题关键是通过根的定义对高次项降次，再结合根与系数的关系代入化简，求解后要注意验证判别式，确保所求值满足方程有两个实数根的前提。
【难度系数】
0.7

10. 已知$x_1$,$x_2$是关于$x$的一元二次方程$x^2 - 2(k + 1)x + k^2 - 3 = 0$的两个实数根，且$(x_1 + 1)(x_2 + 1) = 8$，求$k$的值.

10. 【解】根据题意,得$x_1+x_2=2(k+1)=2k+2$,$x_1x_2=k^2-3.$
由$(x_1+1)(x_2+1)=8$,得$x_1x_2+x_1+x_2+1=8$,即$k^2-3+2k+2+1=8.$
解得$k_1=2,k_2=-4.$
因为$\Delta=[-2(k+1)]^2-4(k^2-3)≥0,$
所以$k≥-2$.所以$k=2.$

【分析】
解题时首先明确本题考查一元二次方程根的相关知识，思路如下：第一步，根据一元二次方程根与系数的关系（韦达定理），用含参数k的代数式表示出两根之和$x_1+x_2$与两根之积$x_1x_2$；第二步，将已知等式$(x_1+1)(x_2+1)=8$展开，整理为包含$x_1+x_2$和$x_1x_2$的形式，代入前面得到的代数式，得到关于k的一元二次方程，求解得到k的两个可能值；第三步，注意题目中“两个实数根”的条件，说明方程的判别式$\Delta≥0$，由此求出k的取值范围，对之前得到的k值进行检验，舍去不符合范围的增根，最终得到正确的k值。
【解析】
解：根据一元二次方程根与系数的关系，得：
$x_1+x_2=2(k+1)=2k+2$，$x_1x_2=k^2-3$
将$(x_1 + 1)(x_2 + 1) = 8$展开，得：
$x_1x_2 + x_1 + x_2 + 1 = 8$
把$x_1+x_2$和$x_1x_2$代入上式，得：
$k^2 - 3 + 2k + 2 + 1 = 8$
整理得$k^2 + 2k - 8 = 0$，
因式分解得$(k-2)(k+4)=0$，
解得$k_1=2$，$k_2=-4$。
∵ 方程有两个实数根，
∴ 判别式$\Delta = [-2(k+1)]^2 - 4×1×(k^2 - 3) ≥ 0$，
展开计算：$\Delta=4(k^2+2k+1)-4k^2+12=8k+16≥0$，
解得$k≥-2$，
∴ $k=-4$不符合取值范围，舍去，
故$k=2$。
【答案】
$k=2$
【知识点】
韦达定理；一元二次方程根的判别式；解一元二次方程
【点评】
本题是一元二次方程根的性质的综合应用题型，属于高频考点，易错点是求解出k的初步值后，容易忽略“方程有两个实数根”的隐含条件，未通过判别式验证k的取值范围，导致出现增根。解题时要牢记涉及实根的一元二次方程参数问题，必须结合判别式的限制条件检验结果。
【难度系数】
0.7

11.设$x_1,x_2$是关于$x$的方程$(x-1)(x-2)=m^2$的两个根.
(1)当$x_1=-1$时,求$x_2$和$m$的值.
(2)求证:$(x_1-1)(x_2-1)≤0$.

11. (1)【解】把$x_1=-1$代入$(x-1)(x-2)=m^2$,得$m^2=6.$
$\therefore m=\pm\sqrt{6}.$
$\therefore (x-1)(x-2)=6.$
整理,得$x^2-3x-4=0.$
解得$x_1=-1,x_2=4.$
故$x_2$的值为4,$m$的值为$\pm\sqrt{6}.$
(2)【证明】方程$(x-1)(x-2)=m^2$可化为$x^2-3x+2-m^2=0.$
$\because \Delta=b^2-4ac=(-3)^2-4×1×(2-m^2)=4m^2+1＞0,$
$\therefore$ 原方程有两个不相等的实数根.
$\therefore x_1+x_2=3,x_1x_2=2-m^2.$
$\because (x_1-1)(x_2-1)=x_1x_2-(x_1+x_2)+1=2-m^2-3+1=-m^2≤0,$
$\therefore (x_1-1)(x_2-1)≤0.$

【分析】
(1) 已知$x_1=-1$是方程的根，根据一元二次方程根的定义，先将$x_1$代入原方程求出$m^2$的值，即可得到$m$的取值；再将$m^2$代回原方程，解一元二次方程就能求出另一个根$x_2$。
(2) 要证明$(x_1-1)(x_2-1)≤0$，首先将原方程整理为一元二次方程的一般形式，先通过判别式确认方程有两个实数根，保证根与系数的关系（韦达定理）可使用；再利用韦达定理求出$x_1+x_2$和$x_1x_2$的表达式，将待证明的式子展开后代入化简，最后结合平方数的非负性即可完成证明。
【解析】
(1) 把$x_1=-1$代入$(x-1)(x-2)=m^2$，得$m^2=(-1-1)×(-1-2)=6$
$\therefore m=\pm\sqrt{6}$
$\therefore$ 原方程为$(x-1)(x-2)=6$
整理得$x^2-3x-4=0$，因式分解为$(x+1)(x-4)=0$
解得$x_1=-1,x_2=4$
故$x_2$的值为4，$m$的值为$\pm\sqrt{6}$。
(2) 方程$(x-1)(x-2)=m^2$可化为$x^2-3x+2-m^2=0$
$\because \Delta=b^2-4ac=(-3)^2-4×1×(2-m^2)=4m^2+1＞0$
$\therefore$ 原方程有两个不相等的实数根，满足韦达定理使用条件
由韦达定理得$x_1+x_2=3,x_1x_2=2-m^2$
$\because (x_1-1)(x_2-1)=x_1x_2-(x_1+x_2)+1=2-m^2-3+1=-m^2$
又$\because m^2≥0$，$\therefore -m^2≤0$
$\therefore (x_1-1)(x_2-1)≤0$，得证。
【答案】
(1) $x_2=4$，$m=\pm\sqrt{6}$；
(2) 证明成立。
【知识点】
一元二次方程根的定义；根与系数的关系；根的判别式
【点评】
本题是一元二次方程的常规典型题，第一问侧重基础应用，考查方程根的概念理解和基本运算能力；第二问需要结合韦达定理完成代数变形推导，能有效检验学生的逻辑推理能力和代数运算素养，对巩固一元二次方程核心知识点有较好的作用。
【难度系数】
0.7