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【即学即练】
答案
1. A
解析
【分析】
本题考查一元二次方程的识别，解题思路如下：首先回忆一元二次方程的三个判定标准：①只含1个未知数；②未知数的最高次数为2；③是整式方程（分母不含未知数）。接下来将四个选项逐一对照这三个标准，排除不符合要求的选项，就能选出正确答案。
【解析】
一元二次方程的定义为：只含有一个未知数，且未知数的最高次数是2的整式方程，同时二次项系数不能为0。我们逐一分析各选项：
A选项：仅含未知数x，x的最高次数为2，属于整式方程，完全符合一元二次方程的定义，符合要求。
B选项：分母中含有未知数，属于分式方程，不是整式方程，不符合定义，排除。
C选项：未知数最高次数为1，是一元一次方程，不符合定义，排除。
D选项：含有2个未知数，属于二元方程，不符合定义，排除。
综上，本题选A。
【答案】
A
【知识点】
一元二次方程的定义
【点评】
本题属于基础概念考查题，解题的核心是牢牢把握一元二次方程的三个判定条件，逐一排查选项即可，注意不要遗漏“整式方程”这个隐含要求。
【难度系数】
0.8
本题考查一元二次方程的识别，解题思路如下：首先回忆一元二次方程的三个判定标准：①只含1个未知数；②未知数的最高次数为2；③是整式方程（分母不含未知数）。接下来将四个选项逐一对照这三个标准，排除不符合要求的选项，就能选出正确答案。
【解析】
一元二次方程的定义为：只含有一个未知数，且未知数的最高次数是2的整式方程，同时二次项系数不能为0。我们逐一分析各选项：
A选项：仅含未知数x，x的最高次数为2，属于整式方程，完全符合一元二次方程的定义，符合要求。
B选项：分母中含有未知数，属于分式方程，不是整式方程，不符合定义，排除。
C选项：未知数最高次数为1，是一元一次方程，不符合定义，排除。
D选项：含有2个未知数，属于二元方程，不符合定义，排除。
综上，本题选A。
【答案】
A
【知识点】
一元二次方程的定义
【点评】
本题属于基础概念考查题，解题的核心是牢牢把握一元二次方程的三个判定条件，逐一排查选项即可，注意不要遗漏“整式方程”这个隐含要求。
【难度系数】
0.8
2. 已知$m,n$是一元二次方程$x^2 - 2x -1=0$的两个实数根，则$\frac{1}{m} + \frac{1}{n}$的值为
-2
。答案
2. -2
解析
【分析】
要求$\frac{1}{m}+\frac{1}{n}$的值，可先对该分式通分化简，得到$\frac{m+n}{mn}$的形式，可知只需算出两根之和$m+n$与两根之积$mn$即可求解。因为$m,n$是一元二次方程的两个实数根，可直接用一元二次方程根与系数的关系（韦达定理）得到$m+n$和$mn$的值，无需单独求解$m,n$的具体数值，代入化简后的式子即可算出结果。
【解析】
解：
∵$m,n$是一元二次方程$x^2 - 2x -1=0$的两个实数根
对于一元二次方程$ax^2+bx+c=0(a≠0)$，根据根与系数的关系可得：两根之和$x_1+x_2=-\frac{b}{a}$，两根之积$x_1x_2=\frac{c}{a}$
本题中$a=1$，$b=-2$，$c=-1$
∴$m+n=-\frac{-2}{1}=2$，$mn=\frac{-1}{1}=-1$
对所求式子通分化简：
$\frac{1}{m}+\frac{1}{n}=\frac{n+m}{mn}$
将$m+n=2$，$mn=-1$代入上式得：
$\frac{1}{m}+\frac{1}{n}=\frac{2}{-1}=-2$
【答案】
$-2$
【知识点】
1. 一元二次方程根与系数的关系 2. 分式化简求值
【点评】
本题是根与系数关系的典型基础应用题，解题核心是先对所求代数式变形，再整体代入两根和与两根积计算，省去了求解一元二次方程的繁琐步骤，属于常考的基础题型。
【难度系数】
0.8
要求$\frac{1}{m}+\frac{1}{n}$的值，可先对该分式通分化简，得到$\frac{m+n}{mn}$的形式，可知只需算出两根之和$m+n$与两根之积$mn$即可求解。因为$m,n$是一元二次方程的两个实数根，可直接用一元二次方程根与系数的关系（韦达定理）得到$m+n$和$mn$的值，无需单独求解$m,n$的具体数值，代入化简后的式子即可算出结果。
【解析】
解：
∵$m,n$是一元二次方程$x^2 - 2x -1=0$的两个实数根
对于一元二次方程$ax^2+bx+c=0(a≠0)$，根据根与系数的关系可得：两根之和$x_1+x_2=-\frac{b}{a}$，两根之积$x_1x_2=\frac{c}{a}$
本题中$a=1$，$b=-2$，$c=-1$
∴$m+n=-\frac{-2}{1}=2$，$mn=\frac{-1}{1}=-1$
对所求式子通分化简：
$\frac{1}{m}+\frac{1}{n}=\frac{n+m}{mn}$
将$m+n=2$，$mn=-1$代入上式得：
$\frac{1}{m}+\frac{1}{n}=\frac{2}{-1}=-2$
【答案】
$-2$
【知识点】
1. 一元二次方程根与系数的关系 2. 分式化简求值
【点评】
本题是根与系数关系的典型基础应用题，解题核心是先对所求代数式变形，再整体代入两根和与两根积计算，省去了求解一元二次方程的繁琐步骤，属于常考的基础题型。
【难度系数】
0.8
【典型例题3】已知关于$x$的一元二次方程$x^2 -4x -2(m+4)=0$.若该方程的一个根是另一个根的3倍,求$m$的值.
【解】根据题意,得$\Delta=16-4×[-2(m+4)]=8m+48＞0$.
$\therefore m＞-6$.
设$a,3a$为该方程的两个根.
根据题意,得$a+3a=4$.
解得$a=1$.
$\therefore a×3a=-2(m+4)=3$.
$\therefore m=-\dfrac{11}{2}$.
$\because -\dfrac{11}{2}＞-6$,
$\therefore m$的值为$-\dfrac{11}{2}$.
规律方法 利用根与系数的关系求一元二次方程中参数的值的常用方法如下.
(1)当给出方程的二次项系数、一次项系数、常数项中的两个时,常利用根与系数的关系求解.有以下三种情况:
①当方程的二次项系数、一次项系数已知,常数项未知时,通常从两根的和入手.
②当方程的二次项系数、常数项已知,一次项系数未知时,通常从两根的积入手.
③当方程的一次项系数和常数项已知,二次项系数未知时,通常从根与系数的关系入手,列方程组进行求解.
(2)当给出方程的一个根时,常利用根的定义,把方程的已知根代入方程,求出参数的值.
【解】根据题意,得$\Delta=16-4×[-2(m+4)]=8m+48＞0$.
$\therefore m＞-6$.
设$a,3a$为该方程的两个根.
根据题意,得$a+3a=4$.
解得$a=1$.
$\therefore a×3a=-2(m+4)=3$.
$\therefore m=-\dfrac{11}{2}$.
$\because -\dfrac{11}{2}＞-6$,
$\therefore m$的值为$-\dfrac{11}{2}$.
规律方法 利用根与系数的关系求一元二次方程中参数的值的常用方法如下.
(1)当给出方程的二次项系数、一次项系数、常数项中的两个时,常利用根与系数的关系求解.有以下三种情况:
①当方程的二次项系数、一次项系数已知,常数项未知时,通常从两根的和入手.
②当方程的二次项系数、常数项已知,一次项系数未知时,通常从两根的积入手.
③当方程的一次项系数和常数项已知,二次项系数未知时,通常从根与系数的关系入手,列方程组进行求解.
(2)当给出方程的一个根时,常利用根的定义,把方程的已知根代入方程,求出参数的值.
答案
解：根据题意，先计算方程的根的判别式：
$\Delta=(-4)^2 - 4×1×[-2(m+4)]=8m+48$
∵方程有两个不相等的实数根，
∴$\Delta＞0$，即$8m+48＞0$，
解得$m＞-6$。
设$a$，$3a$为该方程的两个实数根，根据一元二次方程根与系数的关系，两根之和为$4$，得：
$a+3a=4$
解得$a=1$。
再根据根与系数的关系，两根之积为$-2(m+4)$，得：
$a· 3a=-2(m+4)$
将$a=1$代入，得$3=-2(m+4)$，
解得$m=-\frac{11}{2}$。
∵$-\frac{11}{2}＞-6$，满足$m＞-6$的条件，
∴$m$的值为$-\frac{11}{2}$。
$\Delta=(-4)^2 - 4×1×[-2(m+4)]=8m+48$
∵方程有两个不相等的实数根，
∴$\Delta＞0$，即$8m+48＞0$，
解得$m＞-6$。
设$a$，$3a$为该方程的两个实数根，根据一元二次方程根与系数的关系，两根之和为$4$，得：
$a+3a=4$
解得$a=1$。
再根据根与系数的关系，两根之积为$-2(m+4)$，得：
$a· 3a=-2(m+4)$
将$a=1$代入，得$3=-2(m+4)$，
解得$m=-\frac{11}{2}$。
∵$-\frac{11}{2}＞-6$，满足$m＞-6$的条件，
∴$m$的值为$-\frac{11}{2}$。
解析
【分析】
本题要求根据一元二次方程两根的倍数关系求参数m的值，解题思路如下：①首先一元二次方程有两个实数根，因此需先计算根的判别式Δ，令Δ＞0求出m的取值范围，避免后续出现增根；②已知一个根是另一个根的3倍，可设两根为a和3a，根据根与系数的关系，两根之和等于一次项系数除以二次项系数的相反数，即可先求出a的值；③再利用两根之积等于常数项除以二次项系数，代入a的值列方程求出m的取值；④最后验证所求的m是否满足第一步得到的取值范围，符合即为最终结果。
【解析】
首先计算方程的根的判别式：
$\Delta=(-4)^2 - 4×1×[-2(m+4)]=8m+48$
∵方程有两个不相等的实数根，
∴$\Delta＞0$，即$8m+48＞0$，
解得$m＞-6$。
设$a$，$3a$为该方程的两个实数根，根据根与系数的关系，两根之和为$4$，可得：
$a+3a=4$
解得$a=1$。
再根据根与系数的关系，两根之积为$-2(m+4)$，可得：
$a· 3a=-2(m+4)$
将$a=1$代入上式，得$3=-2(m+4)$，
解得$m=-\dfrac{11}{2}$。
∵$-\dfrac{11}{2}＞-6$，满足$m＞-6$的条件，
∴$m$的取值为$-\dfrac{11}{2}$。
【答案】
$m=-\dfrac{11}{2}$
【知识点】
根的判别式，根与系数的关系，含参方程求解
【点评】
本题是一元二次方程含参求解的典型题型，核心考查根的判别式和根与系数的关系的综合应用，解题时需注意先通过判别式确定参数的取值范围，求出参数后要验证是否符合范围，避免遗漏约束条件产生错误。
【难度系数】
0.6
本题要求根据一元二次方程两根的倍数关系求参数m的值，解题思路如下：①首先一元二次方程有两个实数根，因此需先计算根的判别式Δ，令Δ＞0求出m的取值范围，避免后续出现增根；②已知一个根是另一个根的3倍，可设两根为a和3a，根据根与系数的关系，两根之和等于一次项系数除以二次项系数的相反数，即可先求出a的值；③再利用两根之积等于常数项除以二次项系数，代入a的值列方程求出m的取值；④最后验证所求的m是否满足第一步得到的取值范围，符合即为最终结果。
【解析】
首先计算方程的根的判别式：
$\Delta=(-4)^2 - 4×1×[-2(m+4)]=8m+48$
∵方程有两个不相等的实数根，
∴$\Delta＞0$，即$8m+48＞0$，
解得$m＞-6$。
设$a$，$3a$为该方程的两个实数根，根据根与系数的关系，两根之和为$4$，可得：
$a+3a=4$
解得$a=1$。
再根据根与系数的关系，两根之积为$-2(m+4)$，可得：
$a· 3a=-2(m+4)$
将$a=1$代入上式，得$3=-2(m+4)$，
解得$m=-\dfrac{11}{2}$。
∵$-\dfrac{11}{2}＞-6$，满足$m＞-6$的条件，
∴$m$的取值为$-\dfrac{11}{2}$。
【答案】
$m=-\dfrac{11}{2}$
【知识点】
根的判别式，根与系数的关系，含参方程求解
【点评】
本题是一元二次方程含参求解的典型题型，核心考查根的判别式和根与系数的关系的综合应用，解题时需注意先通过判别式确定参数的取值范围，求出参数后要验证是否符合范围，避免遗漏约束条件产生错误。
【难度系数】
0.6
3. 已知关于$x$的方程$x^2 + kx + k - 2 = 0$.若方程的一个根为1，求方程的另一个根以及$k$的值.
答案
【解】$\because \Delta=k^2-4(k-2)=(k-2)^2+4＞0$，
$\therefore$无论$k$为何值，原方程都有两个不相等的实数根。
设方程$x^2+kx+k-2=0$的另一个根为$x_1$。
根据题意，得$x_1+1=-k$，$x_1×1=k-2$。
$\therefore x_1=-k-1=k-2$。
$\therefore k=\dfrac{1}{2}$。
进而$k-2=-\dfrac{3}{2}$。
$\therefore$原方程的另一个根为$-\dfrac{3}{2}$，$k$的值为$\dfrac{1}{2}$。
$\therefore$无论$k$为何值，原方程都有两个不相等的实数根。
设方程$x^2+kx+k-2=0$的另一个根为$x_1$。
根据题意，得$x_1+1=-k$，$x_1×1=k-2$。
$\therefore x_1=-k-1=k-2$。
$\therefore k=\dfrac{1}{2}$。
进而$k-2=-\dfrac{3}{2}$。
$\therefore$原方程的另一个根为$-\dfrac{3}{2}$，$k$的值为$\dfrac{1}{2}$。
解析
【分析】
解题可从两种思路入手：① 利用根的定义：将已知根x=1直接代入原方程，先求出k的值，再把k代回原方程，解一元二次方程得到另一个根；② 利用一元二次方程根与系数的关系（韦达定理）：设另一个根为$x_1$，根据两根之和、两根之积与方程系数的对应关系，列出关于$x_1$和k的关系式，联立求解即可，其中韦达定理的方法计算量更小，解题效率更高。
【解析】
先验证方程根的情况：
$\because \Delta=k^2-4(k-2)=(k-2)^2+4＞0$，
$\therefore$无论$k$为何值，原方程都有两个不相等的实数根。
设方程$x^2+kx+k-2=0$的另一个根为$x_1$，根据根与系数的关系可得：
$x_1+1=-k$，$x_1×1=k-2$，
联立两个式子得：$x_1=-k-1=k-2$，
移项合并同类项得：$-2k=-1$，解得$k=\dfrac{1}{2}$，
将$k=\dfrac{1}{2}$代入$x_1=k-2$，得$x_1=\dfrac{1}{2}-2=-\dfrac{3}{2}$。
【答案】
$k$的值为$\dfrac{1}{2}$，方程的另一个根为$-\dfrac{3}{2}$
【知识点】
1. 一元二次方程根与系数的关系
2. 一元二次方程根的定义
【点评】
本题属于一元二次方程的基础应用题型，解题方法灵活，既可以通过代入已知根求参数再解方程，也可以用韦达定理快速求解，熟练掌握韦达定理可有效简化计算步骤，是一元二次方程板块需要掌握的基础技能。
【难度系数】
0.85
解题可从两种思路入手：① 利用根的定义：将已知根x=1直接代入原方程，先求出k的值，再把k代回原方程，解一元二次方程得到另一个根；② 利用一元二次方程根与系数的关系（韦达定理）：设另一个根为$x_1$，根据两根之和、两根之积与方程系数的对应关系，列出关于$x_1$和k的关系式，联立求解即可，其中韦达定理的方法计算量更小，解题效率更高。
【解析】
先验证方程根的情况：
$\because \Delta=k^2-4(k-2)=(k-2)^2+4＞0$，
$\therefore$无论$k$为何值，原方程都有两个不相等的实数根。
设方程$x^2+kx+k-2=0$的另一个根为$x_1$，根据根与系数的关系可得：
$x_1+1=-k$，$x_1×1=k-2$，
联立两个式子得：$x_1=-k-1=k-2$，
移项合并同类项得：$-2k=-1$，解得$k=\dfrac{1}{2}$，
将$k=\dfrac{1}{2}$代入$x_1=k-2$，得$x_1=\dfrac{1}{2}-2=-\dfrac{3}{2}$。
【答案】
$k$的值为$\dfrac{1}{2}$，方程的另一个根为$-\dfrac{3}{2}$
【知识点】
1. 一元二次方程根与系数的关系
2. 一元二次方程根的定义
【点评】
本题属于一元二次方程的基础应用题型，解题方法灵活，既可以通过代入已知根求参数再解方程，也可以用韦达定理快速求解，熟练掌握韦达定理可有效简化计算步骤，是一元二次方程板块需要掌握的基础技能。
【难度系数】
0.85
