1. 已知$(x+y)^2=25$，$(x-y)^2=9$，求$xy$与$x^2+y^2$的值。

解：
由完全平方公式展开已知等式：
$x^2 + 2xy + y^2 = 25$ ①
$x^2 - 2xy + y^2 = 9$ ②
① - ②，得：
$4xy = 16$
解得 $xy = 4$
① + ②，得：
$2(x^2 + y^2) = 34$
解得 $x^2 + y^2 = 17$
综上，$xy=4$，$x^2+y^2=17$。

2. 计算：(1) $(2x + y - 3z)^2$；
(2) $(a - b + c)(a + b - c)$；
(3) $(x^2 + x + 1)(x^2 - x + 1)$。

解：
(1) 原式$=[(2x+y)-3z]^2$
$=(2x+y)^2 - 2·(2x+y)·3z + (3z)^2$
$=4x^2 +4xy + y^2 -12xz -6yz +9z^2$
(2) 原式$=[a-(b-c)][a+(b-c)]$
$=a^2 - (b-c)^2$
$=a^2 - (b^2 -2bc +c^2)$
$=a^2 -b^2 +2bc -c^2$
(3) 原式$=[(x^2+1)+x][(x^2+1)-x]$
$=(x^2+1)^2 -x^2$
$=x^4 +2x^2 +1 -x^2$
$=x^4 +x^2 +1$

【阅读材料】图形是一种重要的数学语言，对于同一个图形，可以用不同的方法计算图形的面积，从而得到一个数学等式。
已知下列等式成立：
① $(a+b)^2 = a^2 + 2ab + b^2$；② $(a+b+c)^2 = a^2 + b^2 + c^2 + 2ab + 2ac + 2bc$。
如图①，通过不同的方法计算边长为$a+b$的正方形的面积，可以说明等式①的合理性。
【问题解决】如图②，将边长为$a+b+c$的正方形$ABCD$分割成几个小正方形与小长方形。
（1）请你根据图②的面积说明等式②的合理性；
（2）若$a$，$b$，$c$满足$a+b+c=12$，$ab+bc+ac=33$，求$a^2 + b^2 + c^2$的值。
【拓展探究】如图③，有三种规格的纸片：$a×a$，$b×b$，$a×b$（其中$a＜b$）若干张。
（3）请你利用上述纸片拼接一个大长方形，并能利用它的面积说明等式$(2a + b)(a + 2b)=2a^2 +5ab +2b^2$成立。请画出你的设计示意图。（画出一种即可，不需说明成立的理由）

解（1）因为$S_{正方形ABCD}=a^2 + b^2 + c^2 + 2ab + 2bc + 2ac$，
且$S_{正方形ABCD}=(a + b + c)^2$，
所以$(a + b + c)^2 = a^2 + b^2 + c^2 + 2ab + 2bc + 2ac$。

解：
（1）边长为$a+b+c$的正方形$ABCD$，直接计算面积可得：
$S_{正方形ABCD}=(a+b+c)^2$
将正方形分割后，得到3个面积分别为$a^2$、$b^2$、$c^2$的小正方形，2个面积为$ab$的长方形，2个面积为$ac$的长方形，2个面积为$bc$的长方形，因此总面积也可表示为：
$S_{正方形ABCD}=a^2+b^2+c^2+2ab+2ac+2bc$
两种方式计算的是同一个正方形的面积，因此$(a+b+c)^2=a^2+b^2+c^2+2ab+2ac+2bc$，等式②成立。
（2）由完全平方公式变形可得：
$a^2+b^2+c^2=(a+b+c)^2-2(ab+bc+ac)$
把$a+b+c=12$，$ab+bc+ac=33$代入上式：
$a^2+b^2+c^2=12^2 - 2×33=144-66=78$
（3）示意图如下：
绘制大长方形，水平方向总长标注为$2a+b$，竖直方向总高标注为$a+2b$。
水平方向从左到右作两条竖直线，将长分为$a$、$a$、$b$三段；竖直方向从下到上作两条水平线，将高分为$a$、$b$、$b$三段，得到9个小区域：
最下方一行左侧2个小格为$a× a$的正方形，
最上方一行最右侧小格、中间一行最右侧小格为$b× b$的正方形，
其余5个小格均为$a× b$的长方形。
答：（2）$a^2+b^2+c^2$的值为78。