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7. 若方程组①$\begin{cases}a_1x + b_1y = c_1, \\ a_2x + b_2y = c_2\end{cases}$的解是$\begin{cases}x = 1, \\ y = 2,\end{cases}$则方程组②$\begin{cases}3a_1x + 2b_1y = 3c_1 + a_1, \\ 3a_2x + 2b_2y = 3c_2 + a_2\end{cases}$的解是( ).
A.$\begin{cases} x = \dfrac{1}{2}, \\ y = \dfrac{2}{3} \end{cases}$
B.$\begin{cases} x = \dfrac{4}{3}, \\ y = 3 \end{cases}$
C.$\begin{cases} x = \dfrac{2}{3}, \\ y = 3 \end{cases}$
D.$\begin{cases} x = 2, \\ y = 3 \end{cases}$
A.$\begin{cases} x = \dfrac{1}{2}, \\ y = \dfrac{2}{3} \end{cases}$
B.$\begin{cases} x = \dfrac{4}{3}, \\ y = 3 \end{cases}$
C.$\begin{cases} x = \dfrac{2}{3}, \\ y = 3 \end{cases}$
D.$\begin{cases} x = 2, \\ y = 3 \end{cases}$
答案
7. B 【点拨】本题考查二元一次方程组的解,理解题意,掌握二元一次方程组的解是关键.
【解析】将 x = 1,y = 2 代入方程组①,得$\begin{cases}a_1 + 2b_1 = c_1, \\ a_2 + 2b_2 = c_2,\end{cases}$将方程组②中的 c_1 和 c_2 替换为 a_1 + 2b_1 和 a_2 + 2b_2,得
$\begin{cases}3a_1x + 2b_1y = 4a_1 + 6b_1, \\ 3a_2x + 2b_2y = 4a_2 + 6b_2,\end{cases}$比较左右两边 a_1,b_1 和 a_2,b_2 的系数,
得 3x = 4,2y = 6,解得 x = 4/3,y = 3. 故选 B.
【解析】将 x = 1,y = 2 代入方程组①,得$\begin{cases}a_1 + 2b_1 = c_1, \\ a_2 + 2b_2 = c_2,\end{cases}$将方程组②中的 c_1 和 c_2 替换为 a_1 + 2b_1 和 a_2 + 2b_2,得
$\begin{cases}3a_1x + 2b_1y = 4a_1 + 6b_1, \\ 3a_2x + 2b_2y = 4a_2 + 6b_2,\end{cases}$比较左右两边 a_1,b_1 和 a_2,b_2 的系数,
得 3x = 4,2y = 6,解得 x = 4/3,y = 3. 故选 B.
8. 如果记$[x]$表示任意实数的整数部分,例如:$[3.5]=3,[\sqrt{5}]=2,···$,那么$[\sqrt{1}]-[\sqrt{2}]+[\sqrt{3}]-[\sqrt{4}]+··· -[\sqrt{2024}]+[\sqrt{2025}]$(其中“+”“-”依次相间)的值为(
A.$-22$
B.$-23$
C.$22$
D.$23$
D
).A.$-22$
B.$-23$
C.$22$
D.$23$
答案
8. D 【点拨】本题考查实数的新定义运算,解题的关键是正确运用估算思想,确定整数部分中的运算规律.
【解析】
∵ 1 ≤ √n ＜ 2 即 √1 ≤ √n ＜ √4 时, [√n] = 1,此时 n = 1,2,3,
∴ [√1] - [√2] + [√3] = 1 - 1 + 1 = 1.
∵ 2 ≤ √n ＜ 3 即 √4 ≤ √n ＜ √9 时, [√n] = 2,此时 n = 4,5,6,7,8,
∴ -[√4] + [√5] - [√6] + [√7] - [√8] = -2 + 2 - 2 + 2 - 2 = -2.
∵ 3 ≤ √n ＜ 4 即 √9 ≤ √n ＜ √16 时, [√n] = 3,此时 n = 9,10,11,12,13,14,15,
∴ [√9] - [√10] + [√11] - [√12] + [√13] - [√14] + [√15] = 3 - 3 + 3 - 3 + 3 - 3 + 3 = 3. 由此发现如下规律,整数部分是1的算术平方根的整数和是1,整数部分是2的算术平方根的整数和是-2,整数部分是3的算术平方根的整数和是3.
∵ 44² = 1936,45² = 2025,
∴ 44 ≤ √n ＜ 45 即 √1936 ≤ √n ＜ √2025 时, [√n] = 44,
∴ -[√1936] + [√1937] - … + [√2023] - [√2024] = -44,
∴ [√1] - [√2] + [√3] - [√4] + … - [√2024] + [√2025] = 1 - 2 + 3 - 4 + … + 43 - 44 + 45 = (1 - 2) + (3 - 4) + … + (43 - 44) + 45 = -1 × 22 + 45 = 23. 故选 D.
【解析】
∵ 1 ≤ √n ＜ 2 即 √1 ≤ √n ＜ √4 时, [√n] = 1,此时 n = 1,2,3,
∴ [√1] - [√2] + [√3] = 1 - 1 + 1 = 1.
∵ 2 ≤ √n ＜ 3 即 √4 ≤ √n ＜ √9 时, [√n] = 2,此时 n = 4,5,6,7,8,
∴ -[√4] + [√5] - [√6] + [√7] - [√8] = -2 + 2 - 2 + 2 - 2 = -2.
∵ 3 ≤ √n ＜ 4 即 √9 ≤ √n ＜ √16 时, [√n] = 3,此时 n = 9,10,11,12,13,14,15,
∴ [√9] - [√10] + [√11] - [√12] + [√13] - [√14] + [√15] = 3 - 3 + 3 - 3 + 3 - 3 + 3 = 3. 由此发现如下规律,整数部分是1的算术平方根的整数和是1,整数部分是2的算术平方根的整数和是-2,整数部分是3的算术平方根的整数和是3.
∵ 44² = 1936,45² = 2025,
∴ 44 ≤ √n ＜ 45 即 √1936 ≤ √n ＜ √2025 时, [√n] = 44,
∴ -[√1936] + [√1937] - … + [√2023] - [√2024] = -44,
∴ [√1] - [√2] + [√3] - [√4] + … - [√2024] + [√2025] = 1 - 2 + 3 - 4 + … + 43 - 44 + 45 = (1 - 2) + (3 - 4) + … + (43 - 44) + 45 = -1 × 22 + 45 = 23. 故选 D.
二、填空题(本大题共8小题,每小题3分,共24分)
9. 把3.141 592 6…精确到0.001，其近似值为
9. 把3.141 592 6…精确到0.001，其近似值为
3.142
.答案
9. 3.142 【点拨】本题考查求一个数的近似数,掌握四舍五入法是解题的关键.
【解析】3.141 592 6…≈ 3.142. 故答案为 3.142.
【解析】3.141 592 6…≈ 3.142. 故答案为 3.142.
10. 把二元一次方程$3x - 4y = 1$写成用含$x$的式子表示$y$的形式,则$y=$
$\dfrac{3x}{4}-\dfrac{1}{4}$
.答案
10. $\dfrac{3x}{4}-\dfrac{1}{4}$ 【点拨】本题考查二元一次方程的解.
【解析】把二元一次方程 3x - 4y = 1 写成用含 x 的式子表示 y 的形式,则 y = $\dfrac{3x}{4}-\dfrac{1}{4}$. 故答案为 $\dfrac{3x}{4}-\dfrac{1}{4}$.
【解析】把二元一次方程 3x - 4y = 1 写成用含 x 的式子表示 y 的形式,则 y = $\dfrac{3x}{4}-\dfrac{1}{4}$. 故答案为 $\dfrac{3x}{4}-\dfrac{1}{4}$.
11. 若$(x+3)^3 = -1$，则$x$的值为________。
答案
11. -4 【点拨】本题考查立方根,利用立方根的定义解方程即可.
【解析】(x + 3)³ = -1,x + 3 = -1,解得 x = -4. 故答案为 -4.
【解析】(x + 3)³ = -1,x + 3 = -1,解得 x = -4. 故答案为 -4.
12. 命题“如果 $a^2 = b^2$，那么 $a = b$”是
假
命题.（填“真”或“假”）答案
12. 假 【点拨】本题考查命题,正确理解真假命题是解题的关键.
【解析】1² = (-1)²,但 1 ≠ -1,故命题“如果 a² = b²,那么 a = b”是假命题. 故答案为假.
【解析】1² = (-1)²,但 1 ≠ -1,故命题“如果 a² = b²,那么 a = b”是假命题. 故答案为假.
13.小明在计算$(x-2)(x+n)$时,小亮告诉他结果中的一次项系数为5,则$n$的值为
7
.答案
13. 7 【点拨】本题考查多项式乘多项式.
【解析】(x - 2)(x + n) = x² - 2x + nx - 2n = x² + (n - 2)x - 2n.
∵ 结果中的一次项系数为 5,
∴ n - 2 = 5,
∴ n = 7. 故答案为 7.
【解析】(x - 2)(x + n) = x² - 2x + nx - 2n = x² + (n - 2)x - 2n.
∵ 结果中的一次项系数为 5,
∴ n - 2 = 5,
∴ n = 7. 故答案为 7.
14. 已知关于$ x $的方程$\frac{x - 2}{3} + m = 3$，若该方程的解是不等式$2x - 1 ＜ \frac{1 + 3x}{2}$的最大整数解，则代数式$m^2 - 2m + 5$的值为________。
答案
14. 8 【点拨】本题考查解不等式、解方程及代数式求值,需注意每一步的符号和计算准确性.
【解析】解不等式 2x - 1 ＜ $\dfrac{1 + 3x}{2}$,得 x ＜ 3,
∴ 该不等式最大的整数解为 x = 2,将 x = 2 代入方程 $\dfrac{x - 2}{3}$ + m = 3,得 $\dfrac{2 - 2}{3}$ + m = 3,解得 m = 3,将 m = 3 代入 m² - 2m + 5,得 3² - 2 × 3 + 5 = 9 - 6 + 5 = 8. 故答案为 8.
【解析】解不等式 2x - 1 ＜ $\dfrac{1 + 3x}{2}$,得 x ＜ 3,
∴ 该不等式最大的整数解为 x = 2,将 x = 2 代入方程 $\dfrac{x - 2}{3}$ + m = 3,得 $\dfrac{2 - 2}{3}$ + m = 3,解得 m = 3,将 m = 3 代入 m² - 2m + 5,得 3² - 2 × 3 + 5 = 9 - 6 + 5 = 8. 故答案为 8.
15. 如图, 在$△ ABC$中, $AB = a$, $BC = 3a$, $∠ B = 90°$, 将$△ ABC$沿$BC$方向平移$b$个单位长度得$△ DEF$（其中$A, B, C$的对应点分别是$D, E, F$）, 设$DE$交$AC$于点$G$, 若$△ ADG$的面积比$△ CEG$的面积大$7$, 则代数式$a(3a - 2b)$的值为________.
答案
15. -14 【点拨】本题考查平移的性质、代数式求值、长方形的面积公式和三角形的面积公式.
【解析】由题意知,AD = BE = b,AB = DE = a.
∵ △ADG 的面积比 △CEG 的面积大 7,即 S_△ADG - S_△CEG = 7,
∴ (S_△ADG + S_四边形ABEG) - (S_△CEG + S_四边形ABEG) = 7,
∴ S_长方形ABED - S_△ABC = 7,
∴ BE · AB - $\dfrac{1}{2}$BC · AB = 7,
∴ ab - $\dfrac{1}{2}$ × 3a · a = 7,
∴ 2ab - 3a² = 14,
∴ a(3a - 2b) = 3a² - 2ab = -14. 故答案为 -14.
【解析】由题意知,AD = BE = b,AB = DE = a.
∵ △ADG 的面积比 △CEG 的面积大 7,即 S_△ADG - S_△CEG = 7,
∴ (S_△ADG + S_四边形ABEG) - (S_△CEG + S_四边形ABEG) = 7,
∴ S_长方形ABED - S_△ABC = 7,
∴ BE · AB - $\dfrac{1}{2}$BC · AB = 7,
∴ ab - $\dfrac{1}{2}$ × 3a · a = 7,
∴ 2ab - 3a² = 14,
∴ a(3a - 2b) = 3a² - 2ab = -14. 故答案为 -14.
16. 如图,在$△ ABC$中,$∠ BAC=90°$,$∠ B=50°$,点$D$在$AB$上,过点$D$作$DE// BC$交$AC$于点$E$,将所截$△ ADE$沿过点$A$的某射线$AF$翻折后得到$△ AD'E'$,当$△ AD'E'$的某一边与$BC$平行时,锐角$∠ BAF$的最大值为________.
答案
16. 65° 【点拨】本题考查平行线的性质,折叠的性质,三角形内角和定理的应用,解题的关键是熟练掌握折叠的性质.
【解析】
∵ 在 △ABC 中,∠BAC = 90°,∠B = 50°,
∴ ∠C = 90° - 50° = 40°.
如图 1,当 AD' // BC 时,∠CAD' = ∠C = 40°,
∴ ∠DAD' = 90° + 40° = 130°,
根据折叠的性质可知 ∠BAF = ∠D'AF = $\dfrac{1}{2}$∠DAD' = 65°;
如图 2,当 AE' // BC 时,∠BAE' = ∠B = 50°,
∴ ∠EAE' = 90° + 50° = 140°,
根据折叠的性质可知 ∠E'AF = ∠CAF = $\dfrac{1}{2}$∠E'AE = 70°,
∴ ∠BAF = 90° - 70° = 20°;
如图 3,当 D'E' // BC 时,D'E' 所在直线与 DE 所在直线重合,
根据折叠的性质可知 ∠DGA = ∠D'GA.
∵ ∠DGA + ∠D'GA = 180°,
∴ ∠DGA = ∠D'GA = 90°.
∵ DE // BC,
∴ ∠ADE = ∠B = 50°,
∴ ∠BAF = 90° - 50° = 40°.
∵ 65° ＞ 40° ＞ 20°,
∴ ∠BAF 的最大值为 65°. 故答案为 65°.
三、解答题(本大题共11小题,共60分.解答应写出过程)
17.(6分)计算:
(1)$2025^{0}+2^{-2}-\sqrt{(-5)^{2}}$;
(2)$(2a^{2})^{3}-a^{8}÷ a^{2}+(a^{-3})^{-2}$.
17.(6分)计算:
(1)$2025^{0}+2^{-2}-\sqrt{(-5)^{2}}$;
(2)$(2a^{2})^{3}-a^{8}÷ a^{2}+(a^{-3})^{-2}$.
答案
17. 【点拨】本题考查零指数幂、负整数指数幂和平方根的计算以及幂的运算性质(积的乘方、同底数幂的除法、负指数幂的转换).
【解析】(1)$2025^{0}+2^{-2}-\sqrt{(-5)^{2}}$
$= 1 + \dfrac{1}{4} - 5$
$= -\dfrac{15}{4}.$
(2)$(2a^{2})^{3}-a^{8}÷ a^{2}+(a^{-3})^{-2}$
$= 8a^{6} - a^{6} + a^{6}$
$= 8a^{6}.$
【解析】(1)$2025^{0}+2^{-2}-\sqrt{(-5)^{2}}$
$= 1 + \dfrac{1}{4} - 5$
$= -\dfrac{15}{4}.$
(2)$(2a^{2})^{3}-a^{8}÷ a^{2}+(a^{-3})^{-2}$
$= 8a^{6} - a^{6} + a^{6}$
$= 8a^{6}.$
