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三、解答题
10.已知$a=\frac{3}{8}x-20,b=\frac{3}{8}x-18,c=\frac{3}{8}x-16$,求$a^2+b^2+c^2-ab-ac-bc$的值。
10.已知$a=\frac{3}{8}x-20,b=\frac{3}{8}x-18,c=\frac{3}{8}x-16$,求$a^2+b^2+c^2-ab-ac-bc$的值。
答案
10. 解:由$a=\frac{3}{8}x-20,b=\frac{3}{8}x-18,c=\frac{3}{8}x-16$,可得$a-b=-2,b-c=-2,c-a=4$。从而$a^2+b^2+c^2-ab-ac-bc=\frac{1}{2}[(a-b)^2+(b-c)^2+(c-a)^2]=\frac{1}{2}×[(-2)^2+(-2)^2+4^2]=\frac{1}{2}×24=12$。
解析
【分析】
首先观察所求代数式$a^2+b^2+c^2-ab-ac-bc$的结构，直接代入a、b、c的表达式计算会非常繁琐，因此考虑利用完全平方公式对其进行变形，变形为$\frac{1}{2}[(a-b)^2+(b-c)^2+(c-a)^2]$的形式。再观察a、b、c的表达式，三者都含有相同的$\frac{3}{8}x$项，两两作差时x项会抵消，可直接求出$a-b$、$b-c$、$c-a$的值，最后整体代入变形后的式子计算即可，无需单独求出x的值，大幅简化运算。
【解析】
解：由题意得：
$a-b=(\frac{3}{8}x-20)-(\frac{3}{8}x-18)=-2$
$b-c=(\frac{3}{8}x-18)-(\frac{3}{8}x-16)=-2$
$c-a=(\frac{3}{8}x-16)-(\frac{3}{8}x-20)=4$
根据完全平方公式的变形可得：
$a^2+b^2+c^2-ab-ac-bc=\frac{1}{2}[(a-b)^2+(b-c)^2+(c-a)^2]$
将$a-b=-2$，$b-c=-2$，$c-a=4$代入上式：
原式$=\frac{1}{2}×[(-2)^2+(-2)^2+4^2]=\frac{1}{2}×(4+4+16)=\frac{1}{2}×24=12$
【答案】
12
【知识点】
完全平方公式，代数式求值，整体代入思想
【点评】
本题解题核心是熟练掌握完全平方公式的变形应用，通过将所求代数式转化为含代数式两两差值的形式，消去未知参数x，利用整体代入的方法简化运算，避免了直接代入计算的繁琐，能够有效考查对公式的灵活应用能力和运算技巧。
【难度系数】
0.6
首先观察所求代数式$a^2+b^2+c^2-ab-ac-bc$的结构，直接代入a、b、c的表达式计算会非常繁琐，因此考虑利用完全平方公式对其进行变形，变形为$\frac{1}{2}[(a-b)^2+(b-c)^2+(c-a)^2]$的形式。再观察a、b、c的表达式，三者都含有相同的$\frac{3}{8}x$项，两两作差时x项会抵消，可直接求出$a-b$、$b-c$、$c-a$的值，最后整体代入变形后的式子计算即可，无需单独求出x的值，大幅简化运算。
【解析】
解：由题意得：
$a-b=(\frac{3}{8}x-20)-(\frac{3}{8}x-18)=-2$
$b-c=(\frac{3}{8}x-18)-(\frac{3}{8}x-16)=-2$
$c-a=(\frac{3}{8}x-16)-(\frac{3}{8}x-20)=4$
根据完全平方公式的变形可得：
$a^2+b^2+c^2-ab-ac-bc=\frac{1}{2}[(a-b)^2+(b-c)^2+(c-a)^2]$
将$a-b=-2$，$b-c=-2$，$c-a=4$代入上式：
原式$=\frac{1}{2}×[(-2)^2+(-2)^2+4^2]=\frac{1}{2}×(4+4+16)=\frac{1}{2}×24=12$
【答案】
12
【知识点】
完全平方公式，代数式求值，整体代入思想
【点评】
本题解题核心是熟练掌握完全平方公式的变形应用，通过将所求代数式转化为含代数式两两差值的形式，消去未知参数x，利用整体代入的方法简化运算，避免了直接代入计算的繁琐，能够有效考查对公式的灵活应用能力和运算技巧。
【难度系数】
0.6
11.某商场设了一个可以自由转动的转盘，如图所示，并规定：顾客购物10元以上就能获得一次转动转盘的机会，当转盘停止时，指针落在哪一区域就可以获得相应的奖品。下表是活动进行中的一组统计数据：
(1)计算并完成表格：
(2)请估计，当n很大时，频率将会接近多少？
(1)计算并完成表格：
(2)请估计，当n很大时，频率将会接近多少？
答案
11.(1)0.68 0.74 0.68 0.69 0.705 0.701 (2)0.7
解析
【分析】
(1) 第一问考查频率的计算，解题依据是频率的计算公式：频率=对应事件的频数÷总试验次数，我们只需将表格中每组对应的获得铅笔的次数m除以转动转盘的总次数n，逐一计算出结果即可完成表格填写。
(2) 第二问考查频率的稳定性规律，当进行大量重复试验时，事件发生的频率会在某个固定常数附近小幅度波动，这个常数就是事件发生的概率，观察第一问计算出的所有频率的波动范围，找到其趋近的固定值即可得到答案。
【解析】
(1) 根据“频率=频数÷总试验次数”分别计算每组的频率：
当转动次数n=100，落在铅笔区域次数m=68时，频率为$68÷100=0.68$；
当n=200，m=148时，频率为$148÷200=0.74$；
当n=500，m=344时，频率为$344÷500=0.68$；
当n=1000，m=690时，频率为$690÷1000=0.69$；
当n=2000，m=1410时，频率为$1410÷2000=0.705$；
当n=5000，m=3505时，频率为$3505÷5000=0.701$。
(2) 观察上述计算得到的频率值，发现所有数值都在0.7附近波动，根据频率的稳定性规律，当n很大时，频率将会接近0.7。
【答案】
(1) 0.68、0.74、0.68、0.69、0.705、0.701
(2) 0.7
【知识点】
频率的计算，用频率估计概率
【点评】
本题结合实际活动场景考查概率相关基础知识点，解题的核心是牢记频率的计算公式，理解大量重复试验下频率趋近于概率的规律，计算时注意细心即可得分。
【难度系数】
0.8
(1) 第一问考查频率的计算，解题依据是频率的计算公式：频率=对应事件的频数÷总试验次数，我们只需将表格中每组对应的获得铅笔的次数m除以转动转盘的总次数n，逐一计算出结果即可完成表格填写。
(2) 第二问考查频率的稳定性规律，当进行大量重复试验时，事件发生的频率会在某个固定常数附近小幅度波动，这个常数就是事件发生的概率，观察第一问计算出的所有频率的波动范围，找到其趋近的固定值即可得到答案。
【解析】
(1) 根据“频率=频数÷总试验次数”分别计算每组的频率：
当转动次数n=100，落在铅笔区域次数m=68时，频率为$68÷100=0.68$；
当n=200，m=148时，频率为$148÷200=0.74$；
当n=500，m=344时，频率为$344÷500=0.68$；
当n=1000，m=690时，频率为$690÷1000=0.69$；
当n=2000，m=1410时，频率为$1410÷2000=0.705$；
当n=5000，m=3505时，频率为$3505÷5000=0.701$。
(2) 观察上述计算得到的频率值，发现所有数值都在0.7附近波动，根据频率的稳定性规律，当n很大时，频率将会接近0.7。
【答案】
(1) 0.68、0.74、0.68、0.69、0.705、0.701
(2) 0.7
【知识点】
频率的计算，用频率估计概率
【点评】
本题结合实际活动场景考查概率相关基础知识点，解题的核心是牢记频率的计算公式，理解大量重复试验下频率趋近于概率的规律，计算时注意细心即可得分。
【难度系数】
0.8
《九章算术》是我国古代的一部经典数学著作。在它的“方程”一章里，一次方程组是由算筹布置而成的。《九章算术》的算筹图是竖排的，为看图方便，我们便把它改为横排。如图所示，图中各行从左到右列出的算筹数分别表示未知数$x,y$的系数与相应的常数项。
如果图1表示的算筹图我们用方程组表示出来就是$\begin{cases} 3x + 2y = 19 \\ x + 4y = 23 \end{cases}$，那么你能列出图2所示的方程组吗？
如果图1表示的算筹图我们用方程组表示出来就是$\begin{cases} 3x + 2y = 19 \\ x + 4y = 23 \end{cases}$，那么你能列出图2所示的方程组吗？
答案
解：
根据图1给出的对应规则，图2第一行从左到右的算筹数依次为2、1、11，第二行从左到右的算筹数依次为4、3、27，可得方程组：
$\begin{cases} 2x + y = 11 \\ 4x + 3y = 27 \end{cases}$
根据图1给出的对应规则，图2第一行从左到右的算筹数依次为2、1、11，第二行从左到右的算筹数依次为4、3、27，可得方程组：
$\begin{cases} 2x + y = 11 \\ 4x + 3y = 27 \end{cases}$
解析
【分析】
解题首先从已知的图1及其对应的方程组入手，归纳算筹的记数规则：每行从左到右的三个算筹组依次对应x的系数、y的系数、常数项，1根竖置算筹代表1，1根横置算筹代表10。接下来对照规则数清图2每一行三个位置的算筹对应的数值，就能列出对应的方程组。
【解析】
首先根据图1给出的算筹与方程组的对应关系，总结记数规则：每行从左到右三个算筹组依次表示x的系数、y的系数、常数项，1根竖算筹代表1，1根横算筹代表10。
观察图2：
第一行：x的系数对应2根竖算筹，数值为2；y的系数对应1根竖算筹，数值为1；常数项对应1根横算筹+1根竖算筹，数值为$10+1=11$，可得方程$2x + y = 11$。
第二行：x的系数对应4根竖算筹，数值为4；y的系数对应3根竖算筹，数值为3；常数项对应2根横算筹+7根竖算筹，数值为$20+7=27$，可得方程$4x + 3y = 27$。
综上可列方程组。
【答案】
$\begin{cases} 2x + y = 11 \\ 4x + 3y = 27 \end{cases}$
【知识点】
算筹记数、列二元一次方程组
【点评】
本题结合我国古代数学著作《九章算术》的算筹知识出题，既考查了学生归纳规律、读图识数的能力，又考查了列二元一次方程组的相关知识，能让学生感受到我国古代数学的光辉成就。
【难度系数】
0.8
解题首先从已知的图1及其对应的方程组入手，归纳算筹的记数规则：每行从左到右的三个算筹组依次对应x的系数、y的系数、常数项，1根竖置算筹代表1，1根横置算筹代表10。接下来对照规则数清图2每一行三个位置的算筹对应的数值，就能列出对应的方程组。
【解析】
首先根据图1给出的算筹与方程组的对应关系，总结记数规则：每行从左到右三个算筹组依次表示x的系数、y的系数、常数项，1根竖算筹代表1，1根横算筹代表10。
观察图2：
第一行：x的系数对应2根竖算筹，数值为2；y的系数对应1根竖算筹，数值为1；常数项对应1根横算筹+1根竖算筹，数值为$10+1=11$，可得方程$2x + y = 11$。
第二行：x的系数对应4根竖算筹，数值为4；y的系数对应3根竖算筹，数值为3；常数项对应2根横算筹+7根竖算筹，数值为$20+7=27$，可得方程$4x + 3y = 27$。
综上可列方程组。
【答案】
$\begin{cases} 2x + y = 11 \\ 4x + 3y = 27 \end{cases}$
【知识点】
算筹记数、列二元一次方程组
【点评】
本题结合我国古代数学著作《九章算术》的算筹知识出题，既考查了学生归纳规律、读图识数的能力，又考查了列二元一次方程组的相关知识，能让学生感受到我国古代数学的光辉成就。
【难度系数】
0.8
