登录
8.如图,已知直线$CB// OA$,$∠ C=∠ OAB=100°$,$E,F$在$BC$上,满足$∠ FOB=∠ AOB$,OE平分$∠ COF$。
(1)求$∠ EOB$的度数。
(2)若平行移动$AB$,则$∠ OBC:∠ OFC$的值是否发生变化?若变化,请找出变化规律;若不变,请求其比值。
(1)求$∠ EOB$的度数。
(2)若平行移动$AB$,则$∠ OBC:∠ OFC$的值是否发生变化?若变化,请找出变化规律;若不变,请求其比值。
答案
解:(1)
∵CB//OA,∠C=∠OAB=100°,
∴∠COA=180°-∠C=180°-100°=80°,∠FBO=∠AOB。
又
∵∠FOB=∠AOB,
∴∠FBO=∠FOB。
∴OB平分∠AOF。
又
∵OE平分∠COF,
∴∠EOB=∠EOF+∠FOB=$\frac{1}{2}$∠COA=$\frac{1}{2}×80°=40°$。
(2)不变。
∵CB//OA,
∴∠OBC=∠AOB,∠OFC=∠FOA。
∴∠OBC:∠OFC=∠AOB:∠FOA。
又
∵∠FOA=∠FOB+∠AOB=2∠AOB,
∴∠OBC:∠OFC=∠AOB:∠FOA=∠AOB:2∠AOB=1:2。
∵CB//OA,∠C=∠OAB=100°,
∴∠COA=180°-∠C=180°-100°=80°,∠FBO=∠AOB。
又
∵∠FOB=∠AOB,
∴∠FBO=∠FOB。
∴OB平分∠AOF。
又
∵OE平分∠COF,
∴∠EOB=∠EOF+∠FOB=$\frac{1}{2}$∠COA=$\frac{1}{2}×80°=40°$。
(2)不变。
∵CB//OA,
∴∠OBC=∠AOB,∠OFC=∠FOA。
∴∠OBC:∠OFC=∠AOB:∠FOA。
又
∵∠FOA=∠FOB+∠AOB=2∠AOB,
∴∠OBC:∠OFC=∠AOB:∠FOA=∠AOB:2∠AOB=1:2。
解析
【分析】
（1）第一问先利用平行线同旁内角互补的性质算出∠COA的度数，再结合已知∠FOB=∠AOB推出OB平分∠AOF，结合OE平分∠COF，可得∠EOB是∠COA的一半，代入数值即可求解。
（2）第二问先根据平行线内错角相等的性质，将∠OBC和∠OFC转化为OA侧的对应角，再结合∠FOB=∠AOB推导∠FOA和∠AOB的倍数关系，即可得出两角的比值，判断其是否变化。
【解析】
(1)
∵CB//OA，∠C=∠OAB=100°，
∴∠COA=180°-∠C=180°-100°=80°，且∠FBO=∠AOB（两直线平行，内错角相等）。
又
∵∠FOB=∠AOB，
∴∠FBO=∠FOB，即OB平分∠AOF。
∵OE平分∠COF，
∴∠EOB=∠EOF+∠FOB=$\frac{1}{2}$∠COF + $\frac{1}{2}$∠AOF = $\frac{1}{2}$(∠COF+∠AOF) = $\frac{1}{2}$∠COA = $\frac{1}{2}×80°=40°$。
(2) 比值不变，理由如下：
∵CB//OA，
∴∠OBC=∠AOB（两直线平行，内错角相等），∠OFC=∠FOA（两直线平行，内错角相等）。
∴∠OBC:∠OFC=∠AOB:∠FOA。
又
∵∠FOA=∠FOB+∠AOB，且∠FOB=∠AOB，
∴∠FOA=2∠AOB，
∴∠OBC:∠OFC=∠AOB:2∠AOB=1:2。
【答案】
(1) $\boldsymbol{40°}$；(2) 不变，比值为$\boldsymbol{1:2}$
【知识点】
平行线的性质，角平分线的定义，角的和差计算
【点评】
本题是平行线与角平分线结合的典型题型，解题核心是利用平行线的角的等量关系，结合角平分线的性质实现角度的转化，第二问需抓住平移过程中不变的角度等量关系推导比值，能较好地考查角度转化的逻辑思维能力。
【难度系数】
0.6
（1）第一问先利用平行线同旁内角互补的性质算出∠COA的度数，再结合已知∠FOB=∠AOB推出OB平分∠AOF，结合OE平分∠COF，可得∠EOB是∠COA的一半，代入数值即可求解。
（2）第二问先根据平行线内错角相等的性质，将∠OBC和∠OFC转化为OA侧的对应角，再结合∠FOB=∠AOB推导∠FOA和∠AOB的倍数关系，即可得出两角的比值，判断其是否变化。
【解析】
(1)
∵CB//OA，∠C=∠OAB=100°，
∴∠COA=180°-∠C=180°-100°=80°，且∠FBO=∠AOB（两直线平行，内错角相等）。
又
∵∠FOB=∠AOB，
∴∠FBO=∠FOB，即OB平分∠AOF。
∵OE平分∠COF，
∴∠EOB=∠EOF+∠FOB=$\frac{1}{2}$∠COF + $\frac{1}{2}$∠AOF = $\frac{1}{2}$(∠COF+∠AOF) = $\frac{1}{2}$∠COA = $\frac{1}{2}×80°=40°$。
(2) 比值不变，理由如下：
∵CB//OA，
∴∠OBC=∠AOB（两直线平行，内错角相等），∠OFC=∠FOA（两直线平行，内错角相等）。
∴∠OBC:∠OFC=∠AOB:∠FOA。
又
∵∠FOA=∠FOB+∠AOB，且∠FOB=∠AOB，
∴∠FOA=2∠AOB，
∴∠OBC:∠OFC=∠AOB:2∠AOB=1:2。
【答案】
(1) $\boldsymbol{40°}$；(2) 不变，比值为$\boldsymbol{1:2}$
【知识点】
平行线的性质，角平分线的定义，角的和差计算
【点评】
本题是平行线与角平分线结合的典型题型，解题核心是利用平行线的角的等量关系，结合角平分线的性质实现角度的转化，第二问需抓住平移过程中不变的角度等量关系推导比值，能较好地考查角度转化的逻辑思维能力。
【难度系数】
0.6
9.尺规作图:请在原图上作一个∠AOC,使其是已知∠AOB的$\frac{3}{2}$倍。(要求:写出已知、求作,保留作图痕迹;在所作图中标上必要的字母,不写作法和结论)
已知:
求作:
已知:
求作:
答案
已知：如图，∠AOB。
求作：∠AOC，使$∠ AOC = \frac{3}{2}∠ AOB$。
（作图痕迹：先尺规作出∠AOB的角平分线OD，再以O为顶点，OB为边，在∠AOB外侧作∠BOC=∠DOB，保留所有作图圆弧痕迹，标注点D、C，最终∠AOC即为所求。）
求作：∠AOC，使$∠ AOC = \frac{3}{2}∠ AOB$。
（作图痕迹：先尺规作出∠AOB的角平分线OD，再以O为顶点，OB为边，在∠AOB外侧作∠BOC=∠DOB，保留所有作图圆弧痕迹，标注点D、C，最终∠AOC即为所求。）
解析
【分析】
要作出是已知∠AOB$\frac{3}{2}$倍的∠AOC，可将$\frac{3}{2}∠AOB$拆解为$∠AOB+\frac{1}{2}∠AOB$，按照两步思路操作即可：①先作∠AOB的角平分线，得到大小为$\frac{1}{2}∠AOB$的角；②再以OB为边，在∠AOB外侧作一个等于上述半角的角，两个角拼接后就得到符合要求的角。首先按要求填写已知、求作，再依次完成两次基本尺规作图，保留全部作图痕迹、标注对应字母即可。
【解析】
1. 填写已知内容：题目给出的已知条件为如图所示的∠AOB；
2. 填写求作内容：需要作出的角为∠AOC，满足$∠ AOC=\frac{3}{2}∠ AOB$；
3. 作图操作：先用尺规作∠AOB的角平分线OD，此时$∠ DOB=\frac{1}{2}∠ AOB$；再以O为顶点，OB为一边，在∠AOB的外部作$∠ BOC=∠ DOB$，此时$∠ AOC=∠ AOB+∠ BOC=\frac{3}{2}∠ AOB$，即为所求。作图时需保留所有圆弧痕迹，标注出点D、C。
【答案】
已知：如图，∠AOB。
求作：∠AOC，使$∠ AOC = \frac{3}{2}∠ AOB$。
（作图痕迹：先尺规作出∠AOB的角平分线OD，再以O为顶点，OB为边，在∠AOB外侧作∠BOC=∠DOB，保留所有作图圆弧痕迹，标注点D、C，最终∠AOC即为所求。）
【知识点】
作角的平分线，作一个角等于已知角
【点评】
本题将角的倍数关系与尺规作图结合，既需要熟练掌握两种基本尺规作图的操作方法，也需要具备将目标角拆解为已知角与半角之和的转化思维，作图时要注意保留完整痕迹，按要求标注必要字母。
【难度系数】
0.7
要作出是已知∠AOB$\frac{3}{2}$倍的∠AOC，可将$\frac{3}{2}∠AOB$拆解为$∠AOB+\frac{1}{2}∠AOB$，按照两步思路操作即可：①先作∠AOB的角平分线，得到大小为$\frac{1}{2}∠AOB$的角；②再以OB为边，在∠AOB外侧作一个等于上述半角的角，两个角拼接后就得到符合要求的角。首先按要求填写已知、求作，再依次完成两次基本尺规作图，保留全部作图痕迹、标注对应字母即可。
【解析】
1. 填写已知内容：题目给出的已知条件为如图所示的∠AOB；
2. 填写求作内容：需要作出的角为∠AOC，满足$∠ AOC=\frac{3}{2}∠ AOB$；
3. 作图操作：先用尺规作∠AOB的角平分线OD，此时$∠ DOB=\frac{1}{2}∠ AOB$；再以O为顶点，OB为一边，在∠AOB的外部作$∠ BOC=∠ DOB$，此时$∠ AOC=∠ AOB+∠ BOC=\frac{3}{2}∠ AOB$，即为所求。作图时需保留所有圆弧痕迹，标注出点D、C。
【答案】
已知：如图，∠AOB。
求作：∠AOC，使$∠ AOC = \frac{3}{2}∠ AOB$。
（作图痕迹：先尺规作出∠AOB的角平分线OD，再以O为顶点，OB为边，在∠AOB外侧作∠BOC=∠DOB，保留所有作图圆弧痕迹，标注点D、C，最终∠AOC即为所求。）
【知识点】
作角的平分线，作一个角等于已知角
【点评】
本题将角的倍数关系与尺规作图结合，既需要熟练掌握两种基本尺规作图的操作方法，也需要具备将目标角拆解为已知角与半角之和的转化思维，作图时要注意保留完整痕迹，按要求标注必要字母。
【难度系数】
0.7
