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1.已知等腰三角形的两条边的长分别是7和3,则下列四个数中,第三条边的长是(
A.8
B.7
C.4
D.3
B
)A.8
B.7
C.4
D.3
答案
1.B
解析
【分析】
解题时首先回忆等腰三角形的定义：有两条边长度相等的三角形是等腰三角形，因此已知两条边长为7和3时，第三条边的长度只能是7或者3两种可能。接下来结合三角形三边关系（任意两边之和大于第三边）对两种情况分别验证，排除无法构成三角形的情况，剩下的结果就是正确答案。
【解析】
解：
∵等腰三角形有两条边长度相等
∴第三条边的长度可能为7或3，分两种情况讨论：
①若第三条边长为3，此时三角形三边长为3、3、7
∵3+3=6＜7，不满足三角形两边之和大于第三边，无法构成三角形
∴该情况不成立，舍去
②若第三条边长为7，此时三角形三边长为3、7、7
∵3+7=10＞7，7+7=14＞3，满足三角形三边关系，可以构成三角形
∴该情况成立
综上，第三条边的长是7，对应选项B。
【答案】
B
【知识点】
1.等腰三角形的定义 2.三角形三边关系
【点评】
本题是等腰三角形边长计算的基础题型，易错点是忽略三角形三边关系的验证，直接选择不符合构成条件的3，做题时要注意分类讨论后先验证是否能构成三角形再确定最终结果。
【难度系数】
0.7
解题时首先回忆等腰三角形的定义：有两条边长度相等的三角形是等腰三角形，因此已知两条边长为7和3时，第三条边的长度只能是7或者3两种可能。接下来结合三角形三边关系（任意两边之和大于第三边）对两种情况分别验证，排除无法构成三角形的情况，剩下的结果就是正确答案。
【解析】
解：
∵等腰三角形有两条边长度相等
∴第三条边的长度可能为7或3，分两种情况讨论：
①若第三条边长为3，此时三角形三边长为3、3、7
∵3+3=6＜7，不满足三角形两边之和大于第三边，无法构成三角形
∴该情况不成立，舍去
②若第三条边长为7，此时三角形三边长为3、7、7
∵3+7=10＞7，7+7=14＞3，满足三角形三边关系，可以构成三角形
∴该情况成立
综上，第三条边的长是7，对应选项B。
【答案】
B
【知识点】
1.等腰三角形的定义 2.三角形三边关系
【点评】
本题是等腰三角形边长计算的基础题型，易错点是忽略三角形三边关系的验证，直接选择不符合构成条件的3，做题时要注意分类讨论后先验证是否能构成三角形再确定最终结果。
【难度系数】
0.7
2. 下列说法错误的是(
A.两条直角边对应相等的两个直角三角形全等
B.一个锐角和斜边对应相等的两个直角三角形全等
C.有一条边和两个角对应相等的两个三角形全等
D.有两边和其中一边所对的角对应相等的两个三角形全等
D
)A.两条直角边对应相等的两个直角三角形全等
B.一个锐角和斜边对应相等的两个直角三角形全等
C.有一条边和两个角对应相等的两个三角形全等
D.有两边和其中一边所对的角对应相等的两个三角形全等
答案
2.D
解析
【分析】
本题考查三角形全等的判定定理，解题时需结合普通三角形、直角三角形的全等判定规则逐一验证每个选项：首先回忆全等判定的常用定理：普通三角形有SSS、SAS、ASA、AAS四种判定方法，直角三角形额外有HL判定法，需注意“两边及其中一边的对角对应相等”是不能判定三角形全等的，据此逐项判断即可。
【解析】
我们对每个选项逐一分析：
A. 两条直角边对应相等的两个直角三角形，直角是两条直角边的夹角，相等，满足“SAS”全等判定，因此两个三角形全等，该说法正确，不符合题意；
B. 一个锐角和斜边对应相等的两个直角三角形，本身直角相等，加上已知的一组锐角相等，还有斜边对应相等，满足“AAS”全等判定，因此两个三角形全等，该说法正确，不符合题意；
C. 有一条边和两个角对应相等的两个三角形：若这条边是两个角的夹边，满足“ASA”判定；若这条边是其中一个角的对边，满足“AAS”判定，两种情况都可判定两个三角形全等，该说法正确，不符合题意；
D. 有两边和其中一边所对的角对应相等，也就是“SSA”的情况，这种条件无法保证两个三角形形状、大小完全一致，不能判定全等，该说法错误，符合题意。
【答案】
D
【知识点】
三角形全等的判定，直角三角形全等的判定
【点评】
本题属于全等判定的基础考查题，核心是对全等判定定理的准确理解，尤其要注意区分“SAS”和“SSA”的差异，牢记“SSA”不能作为三角形全等的判定依据。
【难度系数】
0.8
本题考查三角形全等的判定定理，解题时需结合普通三角形、直角三角形的全等判定规则逐一验证每个选项：首先回忆全等判定的常用定理：普通三角形有SSS、SAS、ASA、AAS四种判定方法，直角三角形额外有HL判定法，需注意“两边及其中一边的对角对应相等”是不能判定三角形全等的，据此逐项判断即可。
【解析】
我们对每个选项逐一分析：
A. 两条直角边对应相等的两个直角三角形，直角是两条直角边的夹角，相等，满足“SAS”全等判定，因此两个三角形全等，该说法正确，不符合题意；
B. 一个锐角和斜边对应相等的两个直角三角形，本身直角相等，加上已知的一组锐角相等，还有斜边对应相等，满足“AAS”全等判定，因此两个三角形全等，该说法正确，不符合题意；
C. 有一条边和两个角对应相等的两个三角形：若这条边是两个角的夹边，满足“ASA”判定；若这条边是其中一个角的对边，满足“AAS”判定，两种情况都可判定两个三角形全等，该说法正确，不符合题意；
D. 有两边和其中一边所对的角对应相等，也就是“SSA”的情况，这种条件无法保证两个三角形形状、大小完全一致，不能判定全等，该说法错误，符合题意。
【答案】
D
【知识点】
三角形全等的判定，直角三角形全等的判定
【点评】
本题属于全等判定的基础考查题，核心是对全等判定定理的准确理解，尤其要注意区分“SAS”和“SSA”的差异，牢记“SSA”不能作为三角形全等的判定依据。
【难度系数】
0.8
3.如图所示，$△ ABC$是不等边三角形，$DE=BC$。以$D,E$为两个顶点作位置不同的三角形，所作三角形与$△ ABC$全等，这样的三角形最多可以画出（
A.2个
B.4个
C.6个
D.8个
B
）A.2个
B.4个
C.6个
D.8个
答案
3.B
解析
【分析】
要确定能画出的与△ABC全等的三角形个数，需结合全等三角形的判定思路分析：已知DE=BC，我们分两种对应关系讨论第三个顶点的位置：一是D对应B、E对应C，二是D对应C、E对应B，每种对应关系下第三个顶点都可以在DE的上下两侧各画1个，因为△ABC是不等边三角形，画出的三角形不会重合，统计总数即可。
【解析】
我们利用全等三角形“边边边”的判定方法作图：
1. 当D的对应点为B，E的对应点为C时：
以D为圆心、AB长为半径画弧，以E为圆心、AC长为半径画弧，两弧在DE上方、下方各有1个交点，连接交点与D、E，可得到2个与△ABC全等的三角形。
2. 当D的对应点为C，E的对应点为B时：
以D为圆心、AC长为半径画弧，以E为圆心、AB长为半径画弧，两弧在DE上方、下方各有1个交点，连接交点与D、E，可再得到2个与△ABC全等的三角形。
因为△ABC是不等边三角形，上述4个三角形位置均不重复，因此最多可以画出4个。
【答案】
B
【知识点】
全等三角形判定，尺规作三角形，分类讨论思想
【点评】
本题易错点是漏算对应点互换的情况或者只考虑线段单侧的作图，解题时要全面考虑两种对应关系和线段两侧的不同位置，结合题干给出的不等边三角形条件，避免漏解或重复计数。
【难度系数】
0.6
要确定能画出的与△ABC全等的三角形个数，需结合全等三角形的判定思路分析：已知DE=BC，我们分两种对应关系讨论第三个顶点的位置：一是D对应B、E对应C，二是D对应C、E对应B，每种对应关系下第三个顶点都可以在DE的上下两侧各画1个，因为△ABC是不等边三角形，画出的三角形不会重合，统计总数即可。
【解析】
我们利用全等三角形“边边边”的判定方法作图：
1. 当D的对应点为B，E的对应点为C时：
以D为圆心、AB长为半径画弧，以E为圆心、AC长为半径画弧，两弧在DE上方、下方各有1个交点，连接交点与D、E，可得到2个与△ABC全等的三角形。
2. 当D的对应点为C，E的对应点为B时：
以D为圆心、AC长为半径画弧，以E为圆心、AB长为半径画弧，两弧在DE上方、下方各有1个交点，连接交点与D、E，可再得到2个与△ABC全等的三角形。
因为△ABC是不等边三角形，上述4个三角形位置均不重复，因此最多可以画出4个。
【答案】
B
【知识点】
全等三角形判定，尺规作三角形，分类讨论思想
【点评】
本题易错点是漏算对应点互换的情况或者只考虑线段单侧的作图，解题时要全面考虑两种对应关系和线段两侧的不同位置，结合题干给出的不等边三角形条件，避免漏解或重复计数。
【难度系数】
0.6
4.在△ABC中,若∠A+∠B=∠C,则△ABC为
直角
三角形;若∠A=$\frac{1}{2}$∠B=$\frac{1}{3}$∠C,则△ABC为直角
三角形。答案
4. 直角 直角
解析
【分析】
解题的核心依据是三角形内角和为180°。第一问可直接将已知的∠A+∠B=∠C代入内角和公式，求出∠C的度数后判断三角形类型；第二问可通过设未知数的方式，用同一个未知数表示三个内角，再代入内角和公式计算最大角的度数，进而判断三角形类型。
【解析】
根据三角形内角和定理，任意三角形三个内角的和为180°。
1. 求解第一个空：
已知∠A + ∠B = ∠C，代入内角和公式∠A + ∠B + ∠C = 180°，可得：
∠C + ∠C = 180°
2∠C = 180°，解得∠C=90°，因此该三角形是直角三角形。
2. 求解第二个空：
设∠A = x，由∠A=$\frac{1}{2}$∠B=$\frac{1}{3}$∠C可得：∠B=2x，∠C=3x。
代入内角和公式得：
x + 2x + 3x = 180°
6x = 180°，解得x=30°，则∠C=3×30°=90°，因此该三角形也是直角三角形。
【答案】
直角；直角
【知识点】
三角形内角和定理；直角三角形判定
【点评】
本题是三角形内角和的基础应用题，通过角的数量关系建立等式求解角度是这类题的常规解题思路，掌握三角形内角和定理即可快速作答。
【难度系数】
0.8
解题的核心依据是三角形内角和为180°。第一问可直接将已知的∠A+∠B=∠C代入内角和公式，求出∠C的度数后判断三角形类型；第二问可通过设未知数的方式，用同一个未知数表示三个内角，再代入内角和公式计算最大角的度数，进而判断三角形类型。
【解析】
根据三角形内角和定理，任意三角形三个内角的和为180°。
1. 求解第一个空：
已知∠A + ∠B = ∠C，代入内角和公式∠A + ∠B + ∠C = 180°，可得：
∠C + ∠C = 180°
2∠C = 180°，解得∠C=90°，因此该三角形是直角三角形。
2. 求解第二个空：
设∠A = x，由∠A=$\frac{1}{2}$∠B=$\frac{1}{3}$∠C可得：∠B=2x，∠C=3x。
代入内角和公式得：
x + 2x + 3x = 180°
6x = 180°，解得x=30°，则∠C=3×30°=90°，因此该三角形也是直角三角形。
【答案】
直角；直角
【知识点】
三角形内角和定理；直角三角形判定
【点评】
本题是三角形内角和的基础应用题，通过角的数量关系建立等式求解角度是这类题的常规解题思路，掌握三角形内角和定理即可快速作答。
【难度系数】
0.8
5.如图所示,根据已知角的度数,求出各图中∠α的度数。
(1)$∠α=$
(2)$∠α=$
(3)$∠α=$
(1)$∠α=$
50°
;(2)$∠α=$
75°
;(3)$∠α=$
25°
。答案
5.(1)50° (2)75° (3)25°
解析
【分析】
求解这类三角形角度计算问题，核心用到三类性质：1.三角形内角和为180°；2.三角形的外角等于与它不相邻的两个内角之和；3.对顶角相等。各图解题思路如下：
(1)图1中∠α是三角形的外角，可直接用外角性质计算；
(2)图2中110°是三角形的外角，根据外角性质列减法算式即可求出∠α；
(3)图3中两个三角形有一组对顶角相等，结合三角形内角和定理，可知两个三角形剩余两个内角的和相等，列等式即可求出∠α。
【解析】
(1)根据三角形外角的性质，外角等于不相邻的两个内角之和，因此：
$∠α = 30° + 20° = 50°$
(2)110°是三角形的外角，等于与它不相邻的35°和$∠α$的和，因此：
$∠α = 110° - 35° = 75°$
(3)因为对顶角相等，且三角形内角和均为180°，所以两个三角形除对顶角外的内角和相等，即：
$∠α + 50° = 40° + 35°$
解得$∠α = 75° - 50° = 25°$
【答案】
(1)$50°$；(2)$75°$；(3)$25°$
【知识点】
三角形内角和定理；三角形外角性质；对顶角相等
【点评】
本题属于三角形角度计算的基础题型，侧重考察基础性质的灵活运用，只要熟练掌握相关角度性质，就能快速准确得出结果，计算时注意辨别已知角的位置关系即可。
【难度系数】
0.85
求解这类三角形角度计算问题，核心用到三类性质：1.三角形内角和为180°；2.三角形的外角等于与它不相邻的两个内角之和；3.对顶角相等。各图解题思路如下：
(1)图1中∠α是三角形的外角，可直接用外角性质计算；
(2)图2中110°是三角形的外角，根据外角性质列减法算式即可求出∠α；
(3)图3中两个三角形有一组对顶角相等，结合三角形内角和定理，可知两个三角形剩余两个内角的和相等，列等式即可求出∠α。
【解析】
(1)根据三角形外角的性质，外角等于不相邻的两个内角之和，因此：
$∠α = 30° + 20° = 50°$
(2)110°是三角形的外角，等于与它不相邻的35°和$∠α$的和，因此：
$∠α = 110° - 35° = 75°$
(3)因为对顶角相等，且三角形内角和均为180°，所以两个三角形除对顶角外的内角和相等，即：
$∠α + 50° = 40° + 35°$
解得$∠α = 75° - 50° = 25°$
【答案】
(1)$50°$；(2)$75°$；(3)$25°$
【知识点】
三角形内角和定理；三角形外角性质；对顶角相等
【点评】
本题属于三角形角度计算的基础题型，侧重考察基础性质的灵活运用，只要熟练掌握相关角度性质，就能快速准确得出结果，计算时注意辨别已知角的位置关系即可。
【难度系数】
0.85
6.如图所示，AH⊥BC于点H，那么以AH为高的三角形有
6
个，它们分别是△ABH,△AHM,△ACH,△ABM,△ABC,△ACM
。答案
6. 6 △ABH,△AHM,△ACH,△ABM,△ABC,△ACM
解析
【分析】
首先回忆三角形高的定义：从三角形的一个顶点向对边所在直线作垂线，顶点和垂足之间的线段叫做三角形这条边上的高。本题中AH⊥BC，垂足为H，因此只要三角形以A为顶点，且有一条边在BC所在直线上，AH就是该三角形的高。接下来我们按底边长度从小到大的顺序枚举BC上的所有线段，对应找到所有符合要求的三角形，避免重复或遗漏。
【解析】
已知AH⊥BC，根据三角形高的定义，所有以A为顶点、底边在BC线段上的三角形，AH均为其高。
BC上共有B、H、M、C4个点，可组成的线段共6条：BH、HM、MC、BM、HC、BC。
对应三角形分别为：
①以BH为底：△ABH；
②以HM为底：△AHM；
③以MC为底：△ACM；
④以BM为底：△ABM；
⑤以HC为底：△ACH；
⑥以BC为底：△ABC。
因此符合要求的三角形共有6个。
【答案】
6；△ABH,△AHM,△ACH,△ABM,△ABC,△ACM
【知识点】
三角形的高的定义；图形计数
【点评】
本题属于基础题，重点考查对三角形高的概念的理解，计数时按顺序枚举即可避免漏数或多数。
【难度系数】
0.8
首先回忆三角形高的定义：从三角形的一个顶点向对边所在直线作垂线，顶点和垂足之间的线段叫做三角形这条边上的高。本题中AH⊥BC，垂足为H，因此只要三角形以A为顶点，且有一条边在BC所在直线上，AH就是该三角形的高。接下来我们按底边长度从小到大的顺序枚举BC上的所有线段，对应找到所有符合要求的三角形，避免重复或遗漏。
【解析】
已知AH⊥BC，根据三角形高的定义，所有以A为顶点、底边在BC线段上的三角形，AH均为其高。
BC上共有B、H、M、C4个点，可组成的线段共6条：BH、HM、MC、BM、HC、BC。
对应三角形分别为：
①以BH为底：△ABH；
②以HM为底：△AHM；
③以MC为底：△ACM；
④以BM为底：△ABM；
⑤以HC为底：△ACH；
⑥以BC为底：△ABC。
因此符合要求的三角形共有6个。
【答案】
6；△ABH,△AHM,△ACH,△ABM,△ABC,△ACM
【知识点】
三角形的高的定义；图形计数
【点评】
本题属于基础题，重点考查对三角形高的概念的理解，计数时按顺序枚举即可避免漏数或多数。
【难度系数】
0.8
7.如图所示，$AB// CD$，$AC⊥ BC$，$∠ BAC=65°$，则$∠ BCD$的度数为
25°
。答案
7. 25°
解析
【分析】
解题思路可分为两步：①先在△ABC中，由AC⊥BC可知△ABC是直角三角形，结合已知的∠BAC=65°，利用直角三角形两个锐角互余的性质，计算出∠ABC的度数；②再根据AB//CD的条件，利用平行线“两直线平行，内错角相等”的性质，得出∠BCD与∠ABC相等，即可求出∠BCD的度数。
【解析】
解：
∵ AC⊥BC，
∴ ∠ACB=90°，
在Rt△ABC中，∠BAC + ∠ABC = 90°，
已知∠BAC=65°，
∴ ∠ABC=90° - 65°=25°，
又
∵ AB//CD，
∴ ∠BCD=∠ABC=25°（两直线平行，内错角相等）。
【答案】
25°
【知识点】
直角三角形性质；平行线的性质
【点评】
本题是基础几何计算题型，结合了直角三角形的角度性质和平行线的角性质进行考查，解题时找准对应角的关系即可快速得出结果。
【难度系数】
0.8
解题思路可分为两步：①先在△ABC中，由AC⊥BC可知△ABC是直角三角形，结合已知的∠BAC=65°，利用直角三角形两个锐角互余的性质，计算出∠ABC的度数；②再根据AB//CD的条件，利用平行线“两直线平行，内错角相等”的性质，得出∠BCD与∠ABC相等，即可求出∠BCD的度数。
【解析】
解：
∵ AC⊥BC，
∴ ∠ACB=90°，
在Rt△ABC中，∠BAC + ∠ABC = 90°，
已知∠BAC=65°，
∴ ∠ABC=90° - 65°=25°，
又
∵ AB//CD，
∴ ∠BCD=∠ABC=25°（两直线平行，内错角相等）。
【答案】
25°
【知识点】
直角三角形性质；平行线的性质
【点评】
本题是基础几何计算题型，结合了直角三角形的角度性质和平行线的角性质进行考查，解题时找准对应角的关系即可快速得出结果。
【难度系数】
0.8
