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17. 把下列各数写入相应的集合中：$-\frac{1}{10},\sqrt[3]{8},0.3,\frac{π}{3},\sqrt{64},-7.5,-3.14152,0,\sqrt{0.9},\frac{22}{7},-0.2121121112···$（相邻两个2之间1的个数逐次加1）。
有理数集：$\{ ··· \}$；
无理数集：$\{ ··· \}$；
正实数集：$\{ ··· \}$；
负实数集：$\{ ··· \}$。
有理数集：$\{ ··· \}$；
无理数集：$\{ ··· \}$；
正实数集：$\{ ··· \}$；
负实数集：$\{ ··· \}$。
答案
有理数集：$\{-\frac{1}{10},\sqrt[3]{8},0.3,\sqrt{64},-7.5,-3.14152,0,\frac{22}{7},\dots\}$；
无理数集：$\{\frac{π}{3},\sqrt{0.9},-0.212\ 112\ 111\ 2\dots(相邻两个2之间1的个数逐次加1),\dots\}$；
正实数集：$\{\sqrt[3]{8},0.3,\frac{π}{3},\sqrt{64},\sqrt{0.9},\frac{22}{7},\dots\}$；
负实数集：$\{-\frac{1}{10},-7.5,-3.141\ 52,-0.212\ 112\ 111\ 2\dots(相邻两个2之间1的个数逐次加1),\dots\}$。
无理数集：$\{\frac{π}{3},\sqrt{0.9},-0.212\ 112\ 111\ 2\dots(相邻两个2之间1的个数逐次加1),\dots\}$；
正实数集：$\{\sqrt[3]{8},0.3,\frac{π}{3},\sqrt{64},\sqrt{0.9},\frac{22}{7},\dots\}$；
负实数集：$\{-\frac{1}{10},-7.5,-3.141\ 52,-0.212\ 112\ 111\ 2\dots(相邻两个2之间1的个数逐次加1),\dots\}$。
解析
【分析】
解决本题首先要先化简题目中可开方的数，再结合各类数的定义逐一判断归类。第一步先明确相关定义：有理数是整数和分数的统称，本质是有限小数或无限循环小数；无理数是无限不循环小数，常见类型有含π的代数式、开方开不尽的数、结构特殊的无限不循环小数三类；正实数是大于0的实数，负实数是小于0的实数，0既不是正实数也不是负实数。第二步先化简$\sqrt[3]{8}$、$\sqrt{64}$，再逐个判断每个数所属的集合，避免因未化简导致分类错误。
【解析】
首先化简带根号的数：$\sqrt[3]{8}=2$，$\sqrt{64}=8$。
1. 有理数集筛选：有理数包含整数、分数（有限小数、无限循环小数），符合要求的数有$-\frac{1}{10},\sqrt[3]{8},0.3,\sqrt{64},-7.5,-3.14152,0,\frac{22}{7}$；
2. 无理数集筛选：无理数是无限不循环小数，$\frac{π}{3}$含无理数π、$\sqrt{0.9}$开方开不尽、$-0.2121121112···$（相邻两个2之间1的个数逐次加1）是无限不循环小数，三者均属于无理数；
3. 正实数集筛选：从所有数中选出大于0的数，得$\sqrt[3]{8},0.3,\frac{π}{3},\sqrt{64},\sqrt{0.9},\frac{22}{7}$；
4. 负实数集筛选：从所有数中选出小于0的数，得$-\frac{1}{10},-7.5,-3.14152,-0.2121121112···$（相邻两个2之间1的个数逐次加1），0既不属于正实数也不属于负实数。
【答案】
有理数集：$\{-\frac{1}{10},\sqrt[3]{8},0.3,\sqrt{64},-7.5,-3.14152,0,\frac{22}{7},\dots\}$；
无理数集：$\{\frac{π}{3},\sqrt{0.9},-0.2121121112\dots(相邻两个2之间1的个数逐次加1),\dots\}$；
正实数集：$\{\sqrt[3]{8},0.3,\frac{π}{3},\sqrt{64},\sqrt{0.9},\frac{22}{7},\dots\}$；
负实数集：$\{-\frac{1}{10},-7.5,-3.14152,-0.2121121112\dots(相邻两个2之间1的个数逐次加1),\dots\}$。
【知识点】
实数的分类，有理数的定义，无理数的定义
【点评】
本题是实数分类的基础题型，解题的核心是先对可化简的根式进行运算，再准确对应不同类型数的定义，尤其要注意不要将含π的代数式、开方开不尽的数和结构特殊的无限不循环小数错判为有理数，同时牢记0既不是正数也不是负数。
【难度系数】
0.7
解决本题首先要先化简题目中可开方的数，再结合各类数的定义逐一判断归类。第一步先明确相关定义：有理数是整数和分数的统称，本质是有限小数或无限循环小数；无理数是无限不循环小数，常见类型有含π的代数式、开方开不尽的数、结构特殊的无限不循环小数三类；正实数是大于0的实数，负实数是小于0的实数，0既不是正实数也不是负实数。第二步先化简$\sqrt[3]{8}$、$\sqrt{64}$，再逐个判断每个数所属的集合，避免因未化简导致分类错误。
【解析】
首先化简带根号的数：$\sqrt[3]{8}=2$，$\sqrt{64}=8$。
1. 有理数集筛选：有理数包含整数、分数（有限小数、无限循环小数），符合要求的数有$-\frac{1}{10},\sqrt[3]{8},0.3,\sqrt{64},-7.5,-3.14152,0,\frac{22}{7}$；
2. 无理数集筛选：无理数是无限不循环小数，$\frac{π}{3}$含无理数π、$\sqrt{0.9}$开方开不尽、$-0.2121121112···$（相邻两个2之间1的个数逐次加1）是无限不循环小数，三者均属于无理数；
3. 正实数集筛选：从所有数中选出大于0的数，得$\sqrt[3]{8},0.3,\frac{π}{3},\sqrt{64},\sqrt{0.9},\frac{22}{7}$；
4. 负实数集筛选：从所有数中选出小于0的数，得$-\frac{1}{10},-7.5,-3.14152,-0.2121121112···$（相邻两个2之间1的个数逐次加1），0既不属于正实数也不属于负实数。
【答案】
有理数集：$\{-\frac{1}{10},\sqrt[3]{8},0.3,\sqrt{64},-7.5,-3.14152,0,\frac{22}{7},\dots\}$；
无理数集：$\{\frac{π}{3},\sqrt{0.9},-0.2121121112\dots(相邻两个2之间1的个数逐次加1),\dots\}$；
正实数集：$\{\sqrt[3]{8},0.3,\frac{π}{3},\sqrt{64},\sqrt{0.9},\frac{22}{7},\dots\}$；
负实数集：$\{-\frac{1}{10},-7.5,-3.14152,-0.2121121112\dots(相邻两个2之间1的个数逐次加1),\dots\}$。
【知识点】
实数的分类，有理数的定义，无理数的定义
【点评】
本题是实数分类的基础题型，解题的核心是先对可化简的根式进行运算，再准确对应不同类型数的定义，尤其要注意不要将含π的代数式、开方开不尽的数和结构特殊的无限不循环小数错判为有理数，同时牢记0既不是正数也不是负数。
【难度系数】
0.7
18. 求下列各式的值:
(1)$\sqrt{64}$;
(2)$\pm\sqrt{225}$;
(3)$\sqrt[3]{-27}$;
(4)$\sqrt[3]{0.001}$;
(5)$-\sqrt{\frac{169}{4}}$;
(6)$(-\sqrt{5})^2$;
(7)$|\sqrt{2}-\sqrt{7}|+\sqrt{2}$;
(8)$\sqrt{16}+\sqrt[3]{-27}+\sqrt{(-1)^2}-|\sqrt{5}-2|$.
19. 求下列各式中$x$的值.
(1)$4x^2=25$;
(2)$(x-0.7)^3=0.027$;
(3)$\frac{1}{3}(x-2)^3 -9=0$.
(1)$\sqrt{64}$;
(2)$\pm\sqrt{225}$;
(3)$\sqrt[3]{-27}$;
(4)$\sqrt[3]{0.001}$;
(5)$-\sqrt{\frac{169}{4}}$;
(6)$(-\sqrt{5})^2$;
(7)$|\sqrt{2}-\sqrt{7}|+\sqrt{2}$;
(8)$\sqrt{16}+\sqrt[3]{-27}+\sqrt{(-1)^2}-|\sqrt{5}-2|$.
19. 求下列各式中$x$的值.
(1)$4x^2=25$;
(2)$(x-0.7)^3=0.027$;
(3)$\frac{1}{3}(x-2)^3 -9=0$.
答案
18.(1)$\sqrt{64}=8$.
(2)$\pm\sqrt{225}=\pm15$.
(3)$\sqrt[3]{-27}=-3$.
(4)$\sqrt[3]{0.001}=0.1$.
(5)$-\sqrt{\frac{169}{4}}=-\frac{13}{2}$.
(6)$(-\sqrt{5})^2=5$.
(7)原式$=\sqrt{7}-\sqrt{2}+\sqrt{2}=\sqrt{7}$.
(8)原式$=4-3+1-(\sqrt{5}-2)=4-3+1-\sqrt{5}+2=4-\sqrt{5}$.
19.解:(1)
$4x^2=25$,
$x^2=\frac{25}{4}$,
$x=\frac{5}{2}$或$-\frac{5}{2}$.
(2)$(x-0.7)^3=0.027$,
$x-0.7=0.3$,
$x=1$.
(3)$\frac{1}{3}(x-2)^3-9=0$,
$\frac{1}{3}(x-2)^3=9$,
$(x-2)^3=27$,
$x-2=3$,
$x=5$.
(2)$\pm\sqrt{225}=\pm15$.
(3)$\sqrt[3]{-27}=-3$.
(4)$\sqrt[3]{0.001}=0.1$.
(5)$-\sqrt{\frac{169}{4}}=-\frac{13}{2}$.
(6)$(-\sqrt{5})^2=5$.
(7)原式$=\sqrt{7}-\sqrt{2}+\sqrt{2}=\sqrt{7}$.
(8)原式$=4-3+1-(\sqrt{5}-2)=4-3+1-\sqrt{5}+2=4-\sqrt{5}$.
19.解:(1)
$4x^2=25$,
$x^2=\frac{25}{4}$,
$x=\frac{5}{2}$或$-\frac{5}{2}$.
(2)$(x-0.7)^3=0.027$,
$x-0.7=0.3$,
$x=1$.
(3)$\frac{1}{3}(x-2)^3-9=0$,
$\frac{1}{3}(x-2)^3=9$,
$(x-2)^3=27$,
$x-2=3$,
$x=5$.
解析
【分析】
本题分为两类题型：18题是根式相关的混合运算，解题时需牢记：①算术平方根的结果为非负数，平方根的结果是互为相反数的两个数，立方根的符号与被开方数一致；②遇到绝对值先判断绝对值内部式子的正负，再去绝对值符号；③乘方运算注意符号规则。19题是利用平方根、立方根的性质解方程，解题核心是先将方程整理为$x^2=a(a≥0)$或$x^3=a$的形式，再开平方（注意两个解）或开立方（唯一解）求解。
【解析】
18. 计算各式的值
(1) 因为$8^2=64$，算术平方根取非负结果，因此$\sqrt{64}=8$
(2) 因为$15^2=225$，平方根有正负两个结果，因此$\pm\sqrt{225}=\pm15$
(3) 因为$(-3)^3=-27$，立方根符号与被开方数一致，因此$\sqrt[3]{-27}=-3$
(4) 因为$0.1^3=0.001$，因此$\sqrt[3]{0.001}=0.1$
(5) 先计算算术平方根得$\sqrt{\frac{169}{4}}=\frac{13}{2}$，加上负号后得$-\sqrt{\frac{169}{4}}=-\frac{13}{2}$
(6) 依据乘方运算规则：$(-\sqrt{5})^2=(-1)^2×(\sqrt{5})^2=1×5=5$
(7) 先判断绝对值内符号：$\sqrt{2}＜\sqrt{7}$，因此$|\sqrt{2}-\sqrt{7}|=\sqrt{7}-\sqrt{2}$，代入原式得：
原式$=\sqrt{7}-\sqrt{2}+\sqrt{2}=\sqrt{7}$
(8) 分别计算每一项：$\sqrt{16}=4$，$\sqrt[3]{-27}=-3$，$\sqrt{(-1)^2}=1$，因$\sqrt{5}＞2$，故$|\sqrt{5}-2|=\sqrt{5}-2$，代入原式得：
原式$=4-3+1-(\sqrt{5}-2)=4-3+1-\sqrt{5}+2=4-\sqrt{5}$
19. 求x的值
(1) $4x^2=25$
系数化为1得：$x^2=\frac{25}{4}$
两边开平方得：$x=\pm\sqrt{\frac{25}{4}}=\pm\frac{5}{2}$，即$x=\frac{5}{2}$或$x=-\frac{5}{2}$
(2) $(x-0.7)^3=0.027$
两边开立方得：$x-0.7=\sqrt[3]{0.027}=0.3$
移项计算得：$x=0.3+0.7=1$
(3) $\frac{1}{3}(x-2)^3 -9=0$
移项得：$\frac{1}{3}(x-2)^3=9$
系数化为1得：$(x-2)^3=27$
两边开立方得：$x-2=\sqrt[3]{27}=3$
移项计算得：$x=3+2=5$
【答案】
18.(1)$8$；(2)$\pm15$；(3)$-3$；(4)$0.1$；(5)$-\frac{13}{2}$；(6)$5$；(7)$\sqrt{7}$；(8)$4-\sqrt{5}$
19.(1)$x=\frac{5}{2}$或$x=-\frac{5}{2}$；(2)$x=1$；(3)$x=5$
【知识点】
根式运算，绝对值化简，根式解方程
【点评】
本题是实数章节的基础题型，重点考查平方根、立方根的性质及相关运算规则，以及利用根式性质解简单方程的能力，解题时需注意开平方有两个互为相反数的解，去绝对值前要先判断内部式子的正负，避免漏解或符号错误。
【难度系数】
0.8
本题分为两类题型：18题是根式相关的混合运算，解题时需牢记：①算术平方根的结果为非负数，平方根的结果是互为相反数的两个数，立方根的符号与被开方数一致；②遇到绝对值先判断绝对值内部式子的正负，再去绝对值符号；③乘方运算注意符号规则。19题是利用平方根、立方根的性质解方程，解题核心是先将方程整理为$x^2=a(a≥0)$或$x^3=a$的形式，再开平方（注意两个解）或开立方（唯一解）求解。
【解析】
18. 计算各式的值
(1) 因为$8^2=64$，算术平方根取非负结果，因此$\sqrt{64}=8$
(2) 因为$15^2=225$，平方根有正负两个结果，因此$\pm\sqrt{225}=\pm15$
(3) 因为$(-3)^3=-27$，立方根符号与被开方数一致，因此$\sqrt[3]{-27}=-3$
(4) 因为$0.1^3=0.001$，因此$\sqrt[3]{0.001}=0.1$
(5) 先计算算术平方根得$\sqrt{\frac{169}{4}}=\frac{13}{2}$，加上负号后得$-\sqrt{\frac{169}{4}}=-\frac{13}{2}$
(6) 依据乘方运算规则：$(-\sqrt{5})^2=(-1)^2×(\sqrt{5})^2=1×5=5$
(7) 先判断绝对值内符号：$\sqrt{2}＜\sqrt{7}$，因此$|\sqrt{2}-\sqrt{7}|=\sqrt{7}-\sqrt{2}$，代入原式得：
原式$=\sqrt{7}-\sqrt{2}+\sqrt{2}=\sqrt{7}$
(8) 分别计算每一项：$\sqrt{16}=4$，$\sqrt[3]{-27}=-3$，$\sqrt{(-1)^2}=1$，因$\sqrt{5}＞2$，故$|\sqrt{5}-2|=\sqrt{5}-2$，代入原式得：
原式$=4-3+1-(\sqrt{5}-2)=4-3+1-\sqrt{5}+2=4-\sqrt{5}$
19. 求x的值
(1) $4x^2=25$
系数化为1得：$x^2=\frac{25}{4}$
两边开平方得：$x=\pm\sqrt{\frac{25}{4}}=\pm\frac{5}{2}$，即$x=\frac{5}{2}$或$x=-\frac{5}{2}$
(2) $(x-0.7)^3=0.027$
两边开立方得：$x-0.7=\sqrt[3]{0.027}=0.3$
移项计算得：$x=0.3+0.7=1$
(3) $\frac{1}{3}(x-2)^3 -9=0$
移项得：$\frac{1}{3}(x-2)^3=9$
系数化为1得：$(x-2)^3=27$
两边开立方得：$x-2=\sqrt[3]{27}=3$
移项计算得：$x=3+2=5$
【答案】
18.(1)$8$；(2)$\pm15$；(3)$-3$；(4)$0.1$；(5)$-\frac{13}{2}$；(6)$5$；(7)$\sqrt{7}$；(8)$4-\sqrt{5}$
19.(1)$x=\frac{5}{2}$或$x=-\frac{5}{2}$；(2)$x=1$；(3)$x=5$
【知识点】
根式运算，绝对值化简，根式解方程
【点评】
本题是实数章节的基础题型，重点考查平方根、立方根的性质及相关运算规则，以及利用根式性质解简单方程的能力，解题时需注意开平方有两个互为相反数的解，去绝对值前要先判断内部式子的正负，避免漏解或符号错误。
【难度系数】
0.8
20.阅读下面文字,解答问题:
$\because \sqrt{1}＜\sqrt{2}＜\sqrt{4}$,即$1＜\sqrt{2}＜2$,
$\therefore \sqrt{2}$的整数部分是1,小数部分是$\sqrt{2}-1$.
请回答:
(1)$\sqrt{33}$的整数部分是
(2)如果$\sqrt{143}$的小数部分为$a$,$\sqrt{43}$的整数部分为$b$,求$a+|2b-\sqrt{143}|$的值.
$\because \sqrt{1}＜\sqrt{2}＜\sqrt{4}$,即$1＜\sqrt{2}＜2$,
$\therefore \sqrt{2}$的整数部分是1,小数部分是$\sqrt{2}-1$.
请回答:
(1)$\sqrt{33}$的整数部分是
5
,小数部分是$\sqrt{33}-5$
;(2)如果$\sqrt{143}$的小数部分为$a$,$\sqrt{43}$的整数部分为$b$,求$a+|2b-\sqrt{143}|$的值.
答案
20.解:(1)5 $\sqrt{33}-5$
(2)$\because\sqrt{121}＜\sqrt{143}＜\sqrt{144}$,
即$11＜\sqrt{143}＜12$,
$\therefore\sqrt{143}$的小数部分$a$为$\sqrt{143}-11$.
同理$6＜\sqrt{43}＜7$,即$\sqrt{43}$的整数部分$b$为6.
$\therefore$原式$=\sqrt{143}-11+|2×6-\sqrt{143}|=\sqrt{143}-11+12-\sqrt{143}=1$.
(2)$\because\sqrt{121}＜\sqrt{143}＜\sqrt{144}$,
即$11＜\sqrt{143}＜12$,
$\therefore\sqrt{143}$的小数部分$a$为$\sqrt{143}-11$.
同理$6＜\sqrt{43}＜7$,即$\sqrt{43}$的整数部分$b$为6.
$\therefore$原式$=\sqrt{143}-11+|2×6-\sqrt{143}|=\sqrt{143}-11+12-\sqrt{143}=1$.
解析
【分析】
本题核心解题方法是“夹逼法”估算无理数大小，解题思路如下：1. 先找到与被开方数相邻的两个完全平方数，确定无理数介于哪两个连续整数之间，即可得到它的整数部分，小数部分=无理数本身-整数部分；2. 第一问直接对√33用夹逼法估算范围即可求解；3. 第二问先分别估算√143、√43的范围，求出a、b的值，再代入代数式，根据绝对值内式子的正负化简绝对值，最后合并计算即可。
【解析】
(1)
∵$\sqrt{25}＜\sqrt{33}＜\sqrt{36}$，即$5＜\sqrt{33}＜6$，
∴$\sqrt{33}$的整数部分是5，小数部分是$\sqrt{33}-5$。
(2) 先求a的值：
∵$\sqrt{121}＜\sqrt{143}＜\sqrt{144}$，即$11＜\sqrt{143}＜12$，
∴$\sqrt{143}$的小数部分$a=\sqrt{143}-11$。
再求b的值：
∵$\sqrt{36}＜\sqrt{43}＜\sqrt{49}$，即$6＜\sqrt{43}＜7$，
∴$\sqrt{43}$的整数部分$b=6$。
代入代数式计算：
原式$=\sqrt{143}-11+|2×6-\sqrt{143}|$
$=\sqrt{143}-11+|12-\sqrt{143}|$
∵$\sqrt{143}＜12$，
∴$12-\sqrt{143}＞0$，绝对值化简得$12-\sqrt{143}$，
∴原式$=\sqrt{143}-11+12-\sqrt{143}=1$。
【答案】
(1) $5$；$\sqrt{33}-5$
(2) $1$
【知识点】
无理数的估算，绝对值的性质，代数式求值
【点评】
本题是基础常考题型，重点考查夹逼法估算无理数大小的方法，解题关键是准确确定无理数的整数部分和小数部分，熟练记忆常见完全平方数可提升解题速度。
【难度系数】
0.7
本题核心解题方法是“夹逼法”估算无理数大小，解题思路如下：1. 先找到与被开方数相邻的两个完全平方数，确定无理数介于哪两个连续整数之间，即可得到它的整数部分，小数部分=无理数本身-整数部分；2. 第一问直接对√33用夹逼法估算范围即可求解；3. 第二问先分别估算√143、√43的范围，求出a、b的值，再代入代数式，根据绝对值内式子的正负化简绝对值，最后合并计算即可。
【解析】
(1)
∵$\sqrt{25}＜\sqrt{33}＜\sqrt{36}$，即$5＜\sqrt{33}＜6$，
∴$\sqrt{33}$的整数部分是5，小数部分是$\sqrt{33}-5$。
(2) 先求a的值：
∵$\sqrt{121}＜\sqrt{143}＜\sqrt{144}$，即$11＜\sqrt{143}＜12$，
∴$\sqrt{143}$的小数部分$a=\sqrt{143}-11$。
再求b的值：
∵$\sqrt{36}＜\sqrt{43}＜\sqrt{49}$，即$6＜\sqrt{43}＜7$，
∴$\sqrt{43}$的整数部分$b=6$。
代入代数式计算：
原式$=\sqrt{143}-11+|2×6-\sqrt{143}|$
$=\sqrt{143}-11+|12-\sqrt{143}|$
∵$\sqrt{143}＜12$，
∴$12-\sqrt{143}＞0$，绝对值化简得$12-\sqrt{143}$，
∴原式$=\sqrt{143}-11+12-\sqrt{143}=1$。
【答案】
(1) $5$；$\sqrt{33}-5$
(2) $1$
【知识点】
无理数的估算，绝对值的性质，代数式求值
【点评】
本题是基础常考题型，重点考查夹逼法估算无理数大小的方法，解题关键是准确确定无理数的整数部分和小数部分，熟练记忆常见完全平方数可提升解题速度。
【难度系数】
0.7
