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1. 把下列各式因式分解：
(1)$18a^{3}bc - 45a^{2}b^{2}c^{2}$；
(2)$-20a - 15ab$；
(3)$15a^{3} - 10a^{2}$；
(4)$18x^{n + 1} - 24x^{n}$；
(5)$4xyz - 4x^{2}yz - 12xy^{2}z$；
(6)$20a^{m + 1}b^{2m + 4} - 12a^{2m + 1}b^{m + 2}$.
(1)$18a^{3}bc - 45a^{2}b^{2}c^{2}$；
(2)$-20a - 15ab$；
(3)$15a^{3} - 10a^{2}$；
(4)$18x^{n + 1} - 24x^{n}$；
(5)$4xyz - 4x^{2}yz - 12xy^{2}z$；
(6)$20a^{m + 1}b^{2m + 4} - 12a^{2m + 1}b^{m + 2}$.
答案
(1)$9a^{2}bc(2a - 5bc)$；
(2)$-5a(4 + 3b)$；
(3)$5a^{2}(3a - 2)$；
(4)$6x^{n}(3x - 4)$；
(5)$4xyz(1 - x - 3y)$；
(6)$4a^{m + 1}b^{m + 2}(5b^{m + 2} - 3a^{m})$。
(2)$-5a(4 + 3b)$；
(3)$5a^{2}(3a - 2)$；
(4)$6x^{n}(3x - 4)$；
(5)$4xyz(1 - x - 3y)$；
(6)$4a^{m + 1}b^{m + 2}(5b^{m + 2} - 3a^{m})$。
解析
【分析】
这组题目考查用提公因式法进行因式分解，解题可按固定步骤思考：①确定公因式：先计算各项系数的最大公约数，再找各项共有的相同字母，相同字母取次数最低的幂，二者相乘就是公因式；②如果多项式首项系数为负数，优先提取负号，此时括号内的每一项都要变号；③用多项式的每一项除以公因式，将得到的结果作为括号内的因式，公因式写在括号外，整理后即为因式分解的结果。
【解析】
(1) 先找公因式：18和45的最大公约数是9，相同字母的最低次幂为$a^2$、$b$、$c$，公因式为$9a^2bc$。
$\begin{aligned}原式&=9a^2bc·2a - 9a^2bc·5bc\\&=9a^2bc(2a - 5bc)\end{aligned}$
(2) 首项系数为负，先提取负号：20和15的最大公约数是5，相同字母最低次幂为$a$，公因式为$-5a$。
$\begin{aligned}原式&=-5a·4 + (-5a)·3b\\&=-5a(4 + 3b)\end{aligned}$
(3) 15和10的最大公约数是5，相同字母最低次幂为$a^2$，公因式为$5a^2$。
$\begin{aligned}原式&=5a^2·3a - 5a^2·2\\&=5a^2(3a - 2)\end{aligned}$
(4) 18和24的最大公约数是6，相同字母最低次幂为$x^n$，公因式为$6x^n$。
$\begin{aligned}原式&=6x^n·3x - 6x^n·4\\&=6x^n(3x - 4)\end{aligned}$
(5) 4、4、12的最大公约数是4，相同字母最低次幂为$x$、$y$、$z$，公因式为$4xyz$。
$\begin{aligned}原式&=4xyz·1 - 4xyz· x - 4xyz·3y\\&=4xyz(1 - x - 3y)\end{aligned}$
(6) 20和12的最大公约数是4，$a$的最低次幂为$a^{m+1}$，$b$的最低次幂为$b^{m+2}$，公因式为$4a^{m+1}b^{m+2}$。
$\begin{aligned}原式&=4a^{m+1}b^{m+2}·5b^{m+2} - 4a^{m+1}b^{m+2}·3a^m\\&=4a^{m+1}b^{m+2}(5b^{m+2} - 3a^m)\end{aligned}$
【答案】
(1)$9a^{2}bc(2a - 5bc)$；
(2)$-5a(4 + 3b)$；
(3)$5a^{2}(3a - 2)$；
(4)$6x^{n}(3x - 4)$；
(5)$4xyz(1 - x - 3y)$；
(6)$4a^{m + 1}b^{m + 2}(5b^{m + 2} - 3a^{m})$。
【知识点】
提公因式法因式分解、公因式的确定、幂的运算性质
【点评】
本题是提公因式法因式分解的基础训练题，核心考查公因式的确定方法，解题时需注意提取负号后括号内各项要变号，含字母指数的公因式要准确取相同字母的最低次幂，熟练掌握方法可有效提升因式分解的运算准确率。
【难度系数】
0.8
这组题目考查用提公因式法进行因式分解，解题可按固定步骤思考：①确定公因式：先计算各项系数的最大公约数，再找各项共有的相同字母，相同字母取次数最低的幂，二者相乘就是公因式；②如果多项式首项系数为负数，优先提取负号，此时括号内的每一项都要变号；③用多项式的每一项除以公因式，将得到的结果作为括号内的因式，公因式写在括号外，整理后即为因式分解的结果。
【解析】
(1) 先找公因式：18和45的最大公约数是9，相同字母的最低次幂为$a^2$、$b$、$c$，公因式为$9a^2bc$。
$\begin{aligned}原式&=9a^2bc·2a - 9a^2bc·5bc\\&=9a^2bc(2a - 5bc)\end{aligned}$
(2) 首项系数为负，先提取负号：20和15的最大公约数是5，相同字母最低次幂为$a$，公因式为$-5a$。
$\begin{aligned}原式&=-5a·4 + (-5a)·3b\\&=-5a(4 + 3b)\end{aligned}$
(3) 15和10的最大公约数是5，相同字母最低次幂为$a^2$，公因式为$5a^2$。
$\begin{aligned}原式&=5a^2·3a - 5a^2·2\\&=5a^2(3a - 2)\end{aligned}$
(4) 18和24的最大公约数是6，相同字母最低次幂为$x^n$，公因式为$6x^n$。
$\begin{aligned}原式&=6x^n·3x - 6x^n·4\\&=6x^n(3x - 4)\end{aligned}$
(5) 4、4、12的最大公约数是4，相同字母最低次幂为$x$、$y$、$z$，公因式为$4xyz$。
$\begin{aligned}原式&=4xyz·1 - 4xyz· x - 4xyz·3y\\&=4xyz(1 - x - 3y)\end{aligned}$
(6) 20和12的最大公约数是4，$a$的最低次幂为$a^{m+1}$，$b$的最低次幂为$b^{m+2}$，公因式为$4a^{m+1}b^{m+2}$。
$\begin{aligned}原式&=4a^{m+1}b^{m+2}·5b^{m+2} - 4a^{m+1}b^{m+2}·3a^m\\&=4a^{m+1}b^{m+2}(5b^{m+2} - 3a^m)\end{aligned}$
【答案】
(1)$9a^{2}bc(2a - 5bc)$；
(2)$-5a(4 + 3b)$；
(3)$5a^{2}(3a - 2)$；
(4)$6x^{n}(3x - 4)$；
(5)$4xyz(1 - x - 3y)$；
(6)$4a^{m + 1}b^{m + 2}(5b^{m + 2} - 3a^{m})$。
【知识点】
提公因式法因式分解、公因式的确定、幂的运算性质
【点评】
本题是提公因式法因式分解的基础训练题，核心考查公因式的确定方法，解题时需注意提取负号后括号内各项要变号，含字母指数的公因式要准确取相同字母的最低次幂，熟练掌握方法可有效提升因式分解的运算准确率。
【难度系数】
0.8
2. 把下列各式因式分解：
(1)$-20c(a-b)^2 - 25(b-a)^3$；
(2)$15(a-b)^2 - 3y(b-a)$；
(3)$-ab(a-b)^2 + a(b-a)^2 - ac(a-b)^2$；
(4)$(m+n)(x-y) - (m+n)(x+y)$。
(1)$-20c(a-b)^2 - 25(b-a)^3$；
(2)$15(a-b)^2 - 3y(b-a)$；
(3)$-ab(a-b)^2 + a(b-a)^2 - ac(a-b)^2$；
(4)$(m+n)(x-y) - (m+n)(x+y)$。
答案
(1)$-5(b-a)^{2}(4c + 5b - 5a)$；
(2)$3(a - b)(5a - 5b + y)$；
(3)$-a(a - b)^{2}(b - 1 + c)$；
(4)$-2y(m + n)$。
(2)$3(a - b)(5a - 5b + y)$；
(3)$-a(a - b)^{2}(b - 1 + c)$；
(4)$-2y(m + n)$。
解析
【分析】
这4道题均为提公因式法因式分解的基础题型，解题思路可按以下步骤展开：①统一底数：利用“互为相反数的偶次幂相等、奇次幂互为相反数”的性质，将式子中(a-b)与(b-a)类的相反底数统一为相同形式；②确定公因式：公因式由各项系数的最大公约数、相同因式的最低次幂组成，若首项为负可将负号纳入公因式；③提取公因式并化简：将公因式提出后，对剩余的项进行合并化简，注意不要漏项、不要搞错符号，最后确认分解结果无法再分解即可。
【解析】
(1) 首先利用$(a-b)^2=(b-a)^2$统一底数：
原式$=-20c(b-a)^2 -25(b-a)^3$
提取公因式$-5(b-a)^2$：
$=-5(b-a)^2[4c + 5(b-a)]$
化简括号内的项：
$=-5(b-a)^2(4c + 5b -5a)$
(2) 首先利用$b-a=-(a-b)$统一底数：
原式$=15(a-b)^2 - 3y·[-(a-b)]=15(a-b)^2 + 3y(a-b)$
提取公因式$3(a-b)$：
$=3(a-b)[5(a-b) + y]$
化简括号内的项：
$=3(a-b)(5a -5b + y)$
(3) 首先利用$(b-a)^2=(a-b)^2$统一底数：
原式$=-ab(a-b)^2 + a(a-b)^2 -ac(a-b)^2$
提取公因式$-a(a-b)^2$：
$=-a(a-b)^2(b - 1 + c)$
(4) 直接提取公因式$(m+n)$：
原式$=(m+n)[(x-y)-(x+y)]$
化简括号内的项：
$=(m+n)(x-y -x -y)$
$=-2y(m+n)$
【答案】
(1)$-5(b-a)^{2}(4c + 5b - 5a)$；
(2)$3(a - b)(5a - 5b + y)$；
(3)$-a(a - b)^{2}(b - 1 + c)$；
(4)$-2y(m + n)$。
【知识点】
提公因式法因式分解，互为相反数的幂的性质，整式的加减运算
【点评】
本题是提公因式法因式分解的典型习题，解题核心是准确识别公因式，重点注意相反底数统一时的符号变化，提取公因式后要检查剩余项的化简是否正确，避免出现漏项、符号错误等问题。
【难度系数】
0.75
这4道题均为提公因式法因式分解的基础题型，解题思路可按以下步骤展开：①统一底数：利用“互为相反数的偶次幂相等、奇次幂互为相反数”的性质，将式子中(a-b)与(b-a)类的相反底数统一为相同形式；②确定公因式：公因式由各项系数的最大公约数、相同因式的最低次幂组成，若首项为负可将负号纳入公因式；③提取公因式并化简：将公因式提出后，对剩余的项进行合并化简，注意不要漏项、不要搞错符号，最后确认分解结果无法再分解即可。
【解析】
(1) 首先利用$(a-b)^2=(b-a)^2$统一底数：
原式$=-20c(b-a)^2 -25(b-a)^3$
提取公因式$-5(b-a)^2$：
$=-5(b-a)^2[4c + 5(b-a)]$
化简括号内的项：
$=-5(b-a)^2(4c + 5b -5a)$
(2) 首先利用$b-a=-(a-b)$统一底数：
原式$=15(a-b)^2 - 3y·[-(a-b)]=15(a-b)^2 + 3y(a-b)$
提取公因式$3(a-b)$：
$=3(a-b)[5(a-b) + y]$
化简括号内的项：
$=3(a-b)(5a -5b + y)$
(3) 首先利用$(b-a)^2=(a-b)^2$统一底数：
原式$=-ab(a-b)^2 + a(a-b)^2 -ac(a-b)^2$
提取公因式$-a(a-b)^2$：
$=-a(a-b)^2(b - 1 + c)$
(4) 直接提取公因式$(m+n)$：
原式$=(m+n)[(x-y)-(x+y)]$
化简括号内的项：
$=(m+n)(x-y -x -y)$
$=-2y(m+n)$
【答案】
(1)$-5(b-a)^{2}(4c + 5b - 5a)$；
(2)$3(a - b)(5a - 5b + y)$；
(3)$-a(a - b)^{2}(b - 1 + c)$；
(4)$-2y(m + n)$。
【知识点】
提公因式法因式分解，互为相反数的幂的性质，整式的加减运算
【点评】
本题是提公因式法因式分解的典型习题，解题核心是准确识别公因式，重点注意相反底数统一时的符号变化，提取公因式后要检查剩余项的化简是否正确，避免出现漏项、符号错误等问题。
【难度系数】
0.75
