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1. 已知二次函数的图象的顶点坐标为$(2,1)$且经过原点，求这个二次函数的表达式.
答案
根据题意,设抛物线的表达式为 $y=a(x-2)^2+1$.
∵抛物线经过原点,
∴0=4a+1,解得 $a=-\dfrac{1}{4}$,
∴这个二次函数的表达式为 $y=-\dfrac{1}{4}(x-2)^2+1$.
∵抛物线经过原点,
∴0=4a+1,解得 $a=-\dfrac{1}{4}$,
∴这个二次函数的表达式为 $y=-\dfrac{1}{4}(x-2)^2+1$.
解析
【分析】
已知二次函数的顶点坐标，优先选用顶点式设函数表达式可简化计算。二次函数顶点式为$y=a(x-h)^2+k$（$a≠0$，$(h,k)$为顶点坐标），先将已知顶点坐标代入顶点式得到含参数$a$的表达式，再把图象经过的原点$(0,0)$代入表达式求解$a$的值，就能得到完整的二次函数表达式。
【解析】
解：设该二次函数的表达式为 $y=a(x-2)^2+1$（$a≠0$），
∵抛物线经过原点$(0,0)$，
∴将$x=0$，$y=0$代入表达式得：$0=a×(0-2)^2+1$，
即$0=4a+1$，解得 $a=-\dfrac{1}{4}$，
∴这个二次函数的表达式为 $y=-\dfrac{1}{4}(x-2)^2+1$。
【答案】
$y=-\dfrac{1}{4}(x-2)^2+1$（或展开为一般式$y=-\dfrac{1}{4}x^2+x$）
【知识点】
二次函数顶点式，待定系数法求解析式
【点评】
本题是求二次函数解析式的基础题型，核心是根据已知条件选择合适的解析式形式，已知顶点坐标时选用顶点式可大幅降低计算量，熟练掌握待定系数法是解决这类问题的关键。
【难度系数】
0.8
已知二次函数的顶点坐标，优先选用顶点式设函数表达式可简化计算。二次函数顶点式为$y=a(x-h)^2+k$（$a≠0$，$(h,k)$为顶点坐标），先将已知顶点坐标代入顶点式得到含参数$a$的表达式，再把图象经过的原点$(0,0)$代入表达式求解$a$的值，就能得到完整的二次函数表达式。
【解析】
解：设该二次函数的表达式为 $y=a(x-2)^2+1$（$a≠0$），
∵抛物线经过原点$(0,0)$，
∴将$x=0$，$y=0$代入表达式得：$0=a×(0-2)^2+1$，
即$0=4a+1$，解得 $a=-\dfrac{1}{4}$，
∴这个二次函数的表达式为 $y=-\dfrac{1}{4}(x-2)^2+1$。
【答案】
$y=-\dfrac{1}{4}(x-2)^2+1$（或展开为一般式$y=-\dfrac{1}{4}x^2+x$）
【知识点】
二次函数顶点式，待定系数法求解析式
【点评】
本题是求二次函数解析式的基础题型，核心是根据已知条件选择合适的解析式形式，已知顶点坐标时选用顶点式可大幅降低计算量，熟练掌握待定系数法是解决这类问题的关键。
【难度系数】
0.8
2. 已知抛物线 $ y = x^2 + bx - 3 $ 经过点 $ (2, -3) $。
(1)求这条抛物线的表达式；
(2)写出抛物线的开口方向、对称轴和顶点坐标。
(1)求这条抛物线的表达式；
(2)写出抛物线的开口方向、对称轴和顶点坐标。
答案
(1)$y=x^2-2x-3$.
(2)$y=x^2-2x-3=(x-1)^2-4$.
∵$a=1＞0$,
∴抛物线开口向上,对称轴为直线 $x=1$,顶点坐标为$(1,-4)$.
(2)$y=x^2-2x-3=(x-1)^2-4$.
∵$a=1＞0$,
∴抛物线开口向上,对称轴为直线 $x=1$,顶点坐标为$(1,-4)$.
解析
【分析】
(1)求抛物线表达式用待定系数法即可：已知抛物线经过点$(2,-3)$，说明该点的横、纵坐标满足抛物线的解析式，把$x=2$、$y=-3$代入解析式，就能得到关于$b$的一元一次方程，解方程求出$b$的值即可确定抛物线表达式。
(2)要判断开口方向、求对称轴和顶点坐标，先把第一问得到的一般式通过配方法转化为顶点式，二次项系数$a$的正负决定开口方向，顶点式可以直接读出对称轴和顶点坐标。
【解析】
(1) 将点$(2, -3)$代入$y = x^2 + bx - 3$，得：
$-3 = 2^2 + 2b - 3$
化简得：
$-3 = 1 + 2b$
解得$b=-2$，因此抛物线的表达式为$y = x^2 - 2x - 3$。
(2) 对$y=x^2-2x-3$配方得：
$\begin{aligned}y &= x^2 - 2x - 3 \\&= (x^2 - 2x + 1) - 1 - 3 \\&= (x-1)^2 - 4\end{aligned}$
$\because$ 二次项系数$a=1＞0$，
$\therefore$ 抛物线开口向上，对称轴为直线$x=1$，顶点坐标为$(1,-4)$。
【答案】
(1) $y=x^2-2x-3$
(2) 开口向上，对称轴为直线$x=1$，顶点坐标为$(1,-4)$
【知识点】
待定系数法求解析式，配方法化顶点式，二次函数的性质
【点评】
本题是二次函数基础常规题，核心考查待定系数法的应用和二次函数基本性质的掌握，熟练掌握代入求值方法和配方法步骤即可顺利解题。
【难度系数】
0.8
(1)求抛物线表达式用待定系数法即可：已知抛物线经过点$(2,-3)$，说明该点的横、纵坐标满足抛物线的解析式，把$x=2$、$y=-3$代入解析式，就能得到关于$b$的一元一次方程，解方程求出$b$的值即可确定抛物线表达式。
(2)要判断开口方向、求对称轴和顶点坐标，先把第一问得到的一般式通过配方法转化为顶点式，二次项系数$a$的正负决定开口方向，顶点式可以直接读出对称轴和顶点坐标。
【解析】
(1) 将点$(2, -3)$代入$y = x^2 + bx - 3$，得：
$-3 = 2^2 + 2b - 3$
化简得：
$-3 = 1 + 2b$
解得$b=-2$，因此抛物线的表达式为$y = x^2 - 2x - 3$。
(2) 对$y=x^2-2x-3$配方得：
$\begin{aligned}y &= x^2 - 2x - 3 \\&= (x^2 - 2x + 1) - 1 - 3 \\&= (x-1)^2 - 4\end{aligned}$
$\because$ 二次项系数$a=1＞0$，
$\therefore$ 抛物线开口向上，对称轴为直线$x=1$，顶点坐标为$(1,-4)$。
【答案】
(1) $y=x^2-2x-3$
(2) 开口向上，对称轴为直线$x=1$，顶点坐标为$(1,-4)$
【知识点】
待定系数法求解析式，配方法化顶点式，二次函数的性质
【点评】
本题是二次函数基础常规题，核心考查待定系数法的应用和二次函数基本性质的掌握，熟练掌握代入求值方法和配方法步骤即可顺利解题。
【难度系数】
0.8
3. 已知二次函数$y=-x^2+bx+c$($b,c$为常数)的图象经过点$(2,3)$,$(3,0)$.
(1)$b=$
(2)该二次函数图象与$y$轴的交点坐标为
(3)在所给坐标系中画出该二次函数的图象;
(4)根据图象,当$-3＜ x＜ 2$时,$y$的取值范围是
(1)$b=$
2
,$c=$3
;(2)该二次函数图象与$y$轴的交点坐标为
(0,3)
,顶点坐标为(1,4)
;(3)在所给坐标系中画出该二次函数的图象;
(4)根据图象,当$-3＜ x＜ 2$时,$y$的取值范围是
-12＜y≤4
.答案
(1)2 3
(2)(0,3) (1,4)
(3)如图所示：
(4)$-12＜y≤4$
解析
【分析】
本题是二次函数基础综合题，解题思路如下：1. 第(1)问求系数b、c，已知函数图象过两个定点，将两点坐标代入函数解析式得到二元一次方程组，解方程组即可得到b、c的值；2. 第(2)问求与y轴交点，只需令x=0代入解析式计算y值即可；求顶点坐标可将一般式配方为顶点式，直接得到顶点坐标；3. 第(3)问画二次函数图象，先确定顶点、与x轴和y轴的交点，再选取几个对称的点，用平滑曲线依次连接即可；4. 第(4)问求指定x范围内y的取值范围，结合二次函数开口方向、对称轴，判断区间内的最值，再计算区间端点的函数值，即可得到y的范围。
【解析】
(1) 将点$(2,3)$、$(3,0)$代入$y=-x^2+bx+c$，可得方程组：
$\begin{cases}-2^2 + 2b + c = 3 \\-3^2 + 3b + c = 0 \end{cases}$
整理得：
$\begin{cases}2b + c =7 \quad① \\3b + c =9 \quad② \end{cases}$
用②-①得：$b=2$，将$b=2$代入①，得$4 + c =7$，解得$c=3$。
(2) 求与y轴交点，令$x=0$，代入$y=-x^2+2x+3$，得$y=3$，故与y轴交点坐标为$(0,3)$；
将解析式配方：$y=-x^2+2x+3=-(x^2-2x)+3=-(x^2-2x+1)+1+3=-(x-1)^2+4$，因此顶点坐标为$(1,4)$。
(3) 画图步骤：先确定关键点：顶点$(1,4)$，与x轴交点$(-1,0)$、$(3,0)$，与y轴交点$(0,3)$，对称点$(2,3)$，再用平滑曲线连接所有点即可。
(4) 该二次函数开口向下，对称轴为直线$x=1$：
① 当$x=1$时，y取得最大值4，且$x=1$在$-3＜x＜2$范围内，故y最大值为4；
② 计算区间端点的函数值：当$x=-3$时，$y=-(-3)^2+2×(-3)+3=-12$；当$x=2$时，$y=3$。因为$x＞-3$，所以$y＞-12$；
综上，当$-3＜x＜2$时，y的取值范围是$-12＜y≤4$。
【答案】
(1)2；3
(2)$(0,3)$；$(1,4)$
(3)如图所示：
(4)$-12＜y≤4$
【知识点】
1. 待定系数法求解析式
2. 二次函数图象与性质
3. 二次函数取值范围
【点评】
本题属于二次函数基础题，全面考查了二次函数解析式的求解、图象绘制和性质应用，解题核心是熟练掌握待定系数法和二次函数的基本性质，有助于巩固二次函数的基础知识点。
【难度系数】
0.7
本题是二次函数基础综合题，解题思路如下：1. 第(1)问求系数b、c，已知函数图象过两个定点，将两点坐标代入函数解析式得到二元一次方程组，解方程组即可得到b、c的值；2. 第(2)问求与y轴交点，只需令x=0代入解析式计算y值即可；求顶点坐标可将一般式配方为顶点式，直接得到顶点坐标；3. 第(3)问画二次函数图象，先确定顶点、与x轴和y轴的交点，再选取几个对称的点，用平滑曲线依次连接即可；4. 第(4)问求指定x范围内y的取值范围，结合二次函数开口方向、对称轴，判断区间内的最值，再计算区间端点的函数值，即可得到y的范围。
【解析】
(1) 将点$(2,3)$、$(3,0)$代入$y=-x^2+bx+c$，可得方程组：
$\begin{cases}-2^2 + 2b + c = 3 \\-3^2 + 3b + c = 0 \end{cases}$
整理得：
$\begin{cases}2b + c =7 \quad① \\3b + c =9 \quad② \end{cases}$
用②-①得：$b=2$，将$b=2$代入①，得$4 + c =7$，解得$c=3$。
(2) 求与y轴交点，令$x=0$，代入$y=-x^2+2x+3$，得$y=3$，故与y轴交点坐标为$(0,3)$；
将解析式配方：$y=-x^2+2x+3=-(x^2-2x)+3=-(x^2-2x+1)+1+3=-(x-1)^2+4$，因此顶点坐标为$(1,4)$。
(3) 画图步骤：先确定关键点：顶点$(1,4)$，与x轴交点$(-1,0)$、$(3,0)$，与y轴交点$(0,3)$，对称点$(2,3)$，再用平滑曲线连接所有点即可。
(4) 该二次函数开口向下，对称轴为直线$x=1$：
① 当$x=1$时，y取得最大值4，且$x=1$在$-3＜x＜2$范围内，故y最大值为4；
② 计算区间端点的函数值：当$x=-3$时，$y=-(-3)^2+2×(-3)+3=-12$；当$x=2$时，$y=3$。因为$x＞-3$，所以$y＞-12$；
综上，当$-3＜x＜2$时，y的取值范围是$-12＜y≤4$。
【答案】
(1)2；3
(2)$(0,3)$；$(1,4)$
(3)如图所示：
(4)$-12＜y≤4$
【知识点】
1. 待定系数法求解析式
2. 二次函数图象与性质
3. 二次函数取值范围
【点评】
本题属于二次函数基础题，全面考查了二次函数解析式的求解、图象绘制和性质应用，解题核心是熟练掌握待定系数法和二次函数的基本性质，有助于巩固二次函数的基础知识点。
【难度系数】
0.7
