登录
1. 已知抛物线$y=x^2-(a+2)x+12$的顶点在直线$x=-3$上，求$a$的值及顶点坐标.
答案
由题意,得$-\dfrac{-(a+2)}{2}=-3$,
解得$a=-8$.
$\therefore y=x^2+6x+12=(x+3)^2+3$,
$\therefore$顶点坐标为$(-3,3)$.
解得$a=-8$.
$\therefore y=x^2+6x+12=(x+3)^2+3$,
$\therefore$顶点坐标为$(-3,3)$.
解析
【分析】
解题的关键是明确二次函数顶点横坐标（即对称轴）的计算公式。对于二次函数$y=Ax^2+Bx+C$，顶点的横坐标为$-\frac{B}{2A}$，本题中顶点在直线$x=-3$上，说明顶点横坐标等于-3，可先根据这一等量关系列方程求出$a$的值，再将$a$代回原抛物线解析式，通过配方法转化为顶点式，即可得到顶点坐标。
【解析】
解：对于抛物线$y=x^2-(a+2)x+12$，二次项系数为1，一次项系数为$-(a+2)$，
∵抛物线顶点在直线$x=-3$上，即顶点横坐标为$-3$，
∴根据顶点横坐标公式列方程：
$-\dfrac{-(a+2)}{2×1}=-3$
化简得：$\dfrac{a+2}{2}=-3$
解得：$a=-8$
将$a=-8$代入原解析式，得：
$y=x^2+6x+12$
配方得：$y=(x+3)^2+3$
∴顶点坐标为$(-3,3)$
【答案】
$a=-8$，顶点坐标为$(-3,3)$
【知识点】
二次函数顶点性质，配方法，一元一次方程求解
【点评】
本题是二次函数基础题型，核心是利用顶点横坐标与对称轴的关系建立方程求参数，再通过配方得到顶点坐标，解题时需注意区分二次函数各项系数，避免符号错误。
【难度系数】
0.8
解题的关键是明确二次函数顶点横坐标（即对称轴）的计算公式。对于二次函数$y=Ax^2+Bx+C$，顶点的横坐标为$-\frac{B}{2A}$，本题中顶点在直线$x=-3$上，说明顶点横坐标等于-3，可先根据这一等量关系列方程求出$a$的值，再将$a$代回原抛物线解析式，通过配方法转化为顶点式，即可得到顶点坐标。
【解析】
解：对于抛物线$y=x^2-(a+2)x+12$，二次项系数为1，一次项系数为$-(a+2)$，
∵抛物线顶点在直线$x=-3$上，即顶点横坐标为$-3$，
∴根据顶点横坐标公式列方程：
$-\dfrac{-(a+2)}{2×1}=-3$
化简得：$\dfrac{a+2}{2}=-3$
解得：$a=-8$
将$a=-8$代入原解析式，得：
$y=x^2+6x+12$
配方得：$y=(x+3)^2+3$
∴顶点坐标为$(-3,3)$
【答案】
$a=-8$，顶点坐标为$(-3,3)$
【知识点】
二次函数顶点性质，配方法，一元一次方程求解
【点评】
本题是二次函数基础题型，核心是利用顶点横坐标与对称轴的关系建立方程求参数，再通过配方得到顶点坐标，解题时需注意区分二次函数各项系数，避免符号错误。
【难度系数】
0.8
2. 若一个抛物线的形状与抛物线$y=2x^2 - 3x + 1$的图象形状相同，但开口方向不同，顶点坐标是$(0,-5)$，求它的表达式.
答案
$\because$该抛物线的形状与抛物线$y=2x^2-3x+1$的图象形状相同,但开口方向不同,
$\therefore$设抛物线的表达式为$y=-2(x-h)^2+k$.
将顶点坐标$(0,-5)$代入,
得$y=-2(x-0)^2-5$,即$y=-2x^2-5$.
$\therefore$该抛物线的表达式为$y=-2x^2-5$.
$\therefore$设抛物线的表达式为$y=-2(x-h)^2+k$.
将顶点坐标$(0,-5)$代入,
得$y=-2(x-0)^2-5$,即$y=-2x^2-5$.
$\therefore$该抛物线的表达式为$y=-2x^2-5$.
解析
【分析】
解题时首先回忆二次函数的性质：抛物线的形状由二次项系数的绝对值决定，开口方向由二次项系数的符号决定。已知所求抛物线和已知抛物线形状相同、开口方向相反，可先确定所求抛物线的二次项系数；又已知顶点坐标，选择顶点式设抛物线解析式，再代入顶点坐标计算即可得到最终表达式。
【解析】
$\because$该抛物线的形状与抛物线$y=2x^2-3x+1$的图象形状相同,但开口方向不同,
$\therefore$所求抛物线的二次项系数为-2，设抛物线的表达式为$y=-2(x-h)^2+k$（其中$(h,k)$为顶点坐标）.
将顶点坐标$(0,-5)$代入,
得$y=-2(x-0)^2-5$,即$y=-2x^2-5$.
$\therefore$该抛物线的表达式为$y=-2x^2-5$.
【答案】
$y=-2x^2-5$
【知识点】
二次函数图象与系数的关系；二次函数顶点式；待定系数法求解析式
【点评】
本题是二次函数解析式求解的基础题型，解题核心是抓住“形状相同则二次项系数绝对值相等、开口相反则系数符号相反”的性质，结合已知顶点坐标选用顶点式求解，能有效减少计算量，需要熟练掌握二次函数不同形式解析式的适用场景。
【难度系数】
0.8
解题时首先回忆二次函数的性质：抛物线的形状由二次项系数的绝对值决定，开口方向由二次项系数的符号决定。已知所求抛物线和已知抛物线形状相同、开口方向相反，可先确定所求抛物线的二次项系数；又已知顶点坐标，选择顶点式设抛物线解析式，再代入顶点坐标计算即可得到最终表达式。
【解析】
$\because$该抛物线的形状与抛物线$y=2x^2-3x+1$的图象形状相同,但开口方向不同,
$\therefore$所求抛物线的二次项系数为-2，设抛物线的表达式为$y=-2(x-h)^2+k$（其中$(h,k)$为顶点坐标）.
将顶点坐标$(0,-5)$代入,
得$y=-2(x-0)^2-5$,即$y=-2x^2-5$.
$\therefore$该抛物线的表达式为$y=-2x^2-5$.
【答案】
$y=-2x^2-5$
【知识点】
二次函数图象与系数的关系；二次函数顶点式；待定系数法求解析式
【点评】
本题是二次函数解析式求解的基础题型，解题核心是抓住“形状相同则二次项系数绝对值相等、开口相反则系数符号相反”的性质，结合已知顶点坐标选用顶点式求解，能有效减少计算量，需要熟练掌握二次函数不同形式解析式的适用场景。
【难度系数】
0.8
3. 如图,二次函数$y=ax^2+bx+c(a≠0)$的图象与$x$轴交于$A,B$两点,与$y$轴交于点$C$,其中点$A$的坐标为$(-1,0)$,点$C$的坐标为$(0,5)$,另外抛物线过点$(1,8)$,$M$为它的顶点.求:
(1)抛物线的表达式;
(2)点$M$的坐标.
(1)抛物线的表达式;
(2)点$M$的坐标.
答案
(1)$\because$二次函数$y=ax^2+bx+c(a≠0)$的图象经过点$(-1,0),(0,5)$和$(1,8)$,
$\therefore\begin{cases} a-b+c=0, \\ c=5, \\ a+b+c=8, \end{cases}$ 解得$\begin{cases} a=-1, \\ b=4, \\ c=5, \end{cases}$
$\therefore$抛物线的表达式为$y=-x^2+4x+5$.
(2)$y=-x^2+4x+5=-(x-2)^2+9$,
$\therefore$点$M$的坐标为$(2,9)$.
$\therefore\begin{cases} a-b+c=0, \\ c=5, \\ a+b+c=8, \end{cases}$ 解得$\begin{cases} a=-1, \\ b=4, \\ c=5, \end{cases}$
$\therefore$抛物线的表达式为$y=-x^2+4x+5$.
(2)$y=-x^2+4x+5=-(x-2)^2+9$,
$\therefore$点$M$的坐标为$(2,9)$.
解析
【分析】
(1) 求抛物线表达式时，题目给出了抛物线上3个已知点的坐标，可选用待定系数法，将三个点坐标代入二次函数一般式$y=ax^2+bx+c$，得到关于$a,b,c$的三元一次方程组，解方程组求出系数即可得到解析式。
(2) 求顶点坐标时，可将第一问得到的一般式通过配方转化为顶点式$y=a(x-h)^2+k$的形式，直接读出顶点坐标$(h,k)$，方法直观且符合学段要求。
【解析】
(1) $\because$二次函数$y=ax^2+bx+c(a≠0)$的图象经过点$(-1,0),(0,5)$和$(1,8)$,
$\therefore$将三点坐标分别代入解析式可得方程组：
$\begin{cases} a-b+c=0, \\ c=5, \\ a+b+c=8, \end{cases}$
把$c=5$代入剩余两个方程，解得$\begin{cases} a=-1, \\ b=4, \\ c=5, \end{cases}$
$\therefore$抛物线的表达式为$y=-x^2+4x+5$.
(2) 对解析式进行配方变形：
$y=-x^2+4x+5=-(x^2-4x)+5=-(x^2-4x+4-4)+5=-(x-2)^2+9$
根据顶点式的性质，可得顶点$M$的坐标。
【答案】
(1) $y=-x^2+4x+5$
(2) $(2,9)$
【知识点】
待定系数法求解析式，二次函数配方，顶点坐标求解
【点评】
本题是二次函数的基础常规题型，核心考查待定系数法的应用以及二次函数一般式到顶点式的转化，解题逻辑清晰，掌握对应基础知识点即可顺利解答，是二次函数章节的高频基础考点。
【难度系数】
0.8
(1) 求抛物线表达式时，题目给出了抛物线上3个已知点的坐标，可选用待定系数法，将三个点坐标代入二次函数一般式$y=ax^2+bx+c$，得到关于$a,b,c$的三元一次方程组，解方程组求出系数即可得到解析式。
(2) 求顶点坐标时，可将第一问得到的一般式通过配方转化为顶点式$y=a(x-h)^2+k$的形式，直接读出顶点坐标$(h,k)$，方法直观且符合学段要求。
【解析】
(1) $\because$二次函数$y=ax^2+bx+c(a≠0)$的图象经过点$(-1,0),(0,5)$和$(1,8)$,
$\therefore$将三点坐标分别代入解析式可得方程组：
$\begin{cases} a-b+c=0, \\ c=5, \\ a+b+c=8, \end{cases}$
把$c=5$代入剩余两个方程，解得$\begin{cases} a=-1, \\ b=4, \\ c=5, \end{cases}$
$\therefore$抛物线的表达式为$y=-x^2+4x+5$.
(2) 对解析式进行配方变形：
$y=-x^2+4x+5=-(x^2-4x)+5=-(x^2-4x+4-4)+5=-(x-2)^2+9$
根据顶点式的性质，可得顶点$M$的坐标。
【答案】
(1) $y=-x^2+4x+5$
(2) $(2,9)$
【知识点】
待定系数法求解析式，二次函数配方，顶点坐标求解
【点评】
本题是二次函数的基础常规题型，核心考查待定系数法的应用以及二次函数一般式到顶点式的转化，解题逻辑清晰，掌握对应基础知识点即可顺利解答，是二次函数章节的高频基础考点。
【难度系数】
0.8
4. 已知二次函数$y=x^2+bx+c$的图象向左平移2个单位长度，再向上平移3个单位长度，得到二次函数$y=(x-1)^2+2$。
(1)求$b,c$的值；
(2)当$1≤ x≤ 4$时，求二次函数$y=x^2+bx+c$的最大值和最小值。
(1)求$b,c$的值；
(2)当$1≤ x≤ 4$时，求二次函数$y=x^2+bx+c$的最大值和最小值。
答案
(1)$\because$将新二次函数$y=(x-1)^2+2$向下平移3个单位长度,再向右平移2个单位长度,得到的表达式为$y=(x-1-2)^2+2-3$,
即$y=(x-3)^2-1$,$\therefore y=x^2-6x+8$.
又$y=x^2+bx+c$,
$\therefore b=-6,c=8$.
(2)由(1),得抛物线的表达式为$y=(x-3)^2-1$,则该抛物线的开口方向向上,对称轴为直线$x=3$,顶点坐标是$(3,-1)$.
$\therefore$当$x＜3$时,$y$随$x$的增大而减小;
当$x＞3$时,$y$随$x$的增大而增大.
$\because 1≤ x≤4$,
$\therefore$当$x=3$时,$y_{\mathrm{最小值}}=-1$;
当$x=1$时,$y_{\mathrm{最大值}}=(1-3)^2-1=3$.
即$y=(x-3)^2-1$,$\therefore y=x^2-6x+8$.
又$y=x^2+bx+c$,
$\therefore b=-6,c=8$.
(2)由(1),得抛物线的表达式为$y=(x-3)^2-1$,则该抛物线的开口方向向上,对称轴为直线$x=3$,顶点坐标是$(3,-1)$.
$\therefore$当$x＜3$时,$y$随$x$的增大而减小;
当$x＞3$时,$y$随$x$的增大而增大.
$\because 1≤ x≤4$,
$\therefore$当$x=3$时,$y_{\mathrm{最小值}}=-1$;
当$x=1$时,$y_{\mathrm{最大值}}=(1-3)^2-1=3$.
解析
【分析】
(1) 函数图象的平移是可逆的，原二次函数向左平移2个单位、向上平移3个单位得到新函数，那么将新函数逆向平移（向右平移2个单位、向下平移3个单位）即可得到原函数，再结合平移“左加右减，上加下减”的规则写出原函数解析式，展开后对比系数就能求出b、c的值。
(2) 求给定区间内二次函数的最值，首先将函数化为顶点式，确定开口方向、对称轴，判断对称轴是否落在区间[1,4]内，再结合二次函数的单调性，比较顶点和区间端点的函数值，即可求出最值。
【解析】
(1) 将新二次函数$y=(x-1)^2+2$向下平移3个单位长度，再向右平移2个单位长度，得到的表达式为：
$y=(x-1-2)^2+2-3$，即$y=(x-3)^2-1$，
展开得$y=x^2-6x+8$，
又因为原函数为$y=x^2+bx+c$，所以对比系数可得$b=-6$，$c=8$。
(2) 由(1)得原抛物线的表达式为$y=(x-3)^2-1$，
该抛物线开口向上，对称轴为直线$x=3$，顶点坐标为$(3,-1)$，
因此当$x＜3$时，$y$随$x$的增大而减小；当$x＞3$时，$y$随$x$的增大而增大，
已知$1≤x≤4$，对称轴$x=3$在该区间内，
所以当$x=3$时，$y$取最小值，$y_{\mathrm{最小值}}=-1$；
分别代入区间端点计算：当$x=1$时，$y=(1-3)^2-1=3$；当$x=4$时，$y=(4-3)^2-1=0$，
比较得$x=1$时$y$取最大值，$y_{\mathrm{最大值}}=3$。
【答案】
(1) $b=-6$，$c=8$；
(2) 最小值为$-1$，最大值为$3$。
【知识点】
二次函数图象平移、二次函数解析式求解、二次函数区间最值
【点评】
本题考查二次函数的平移性质与最值计算，需要熟练掌握平移的运算规则，求解区间最值时要注意判断对称轴和给定区间的位置关系，避免直接代入端点计算的错误，属于二次函数的常规基础题型。
【难度系数】
0.7
(1) 函数图象的平移是可逆的，原二次函数向左平移2个单位、向上平移3个单位得到新函数，那么将新函数逆向平移（向右平移2个单位、向下平移3个单位）即可得到原函数，再结合平移“左加右减，上加下减”的规则写出原函数解析式，展开后对比系数就能求出b、c的值。
(2) 求给定区间内二次函数的最值，首先将函数化为顶点式，确定开口方向、对称轴，判断对称轴是否落在区间[1,4]内，再结合二次函数的单调性，比较顶点和区间端点的函数值，即可求出最值。
【解析】
(1) 将新二次函数$y=(x-1)^2+2$向下平移3个单位长度，再向右平移2个单位长度，得到的表达式为：
$y=(x-1-2)^2+2-3$，即$y=(x-3)^2-1$，
展开得$y=x^2-6x+8$，
又因为原函数为$y=x^2+bx+c$，所以对比系数可得$b=-6$，$c=8$。
(2) 由(1)得原抛物线的表达式为$y=(x-3)^2-1$，
该抛物线开口向上，对称轴为直线$x=3$，顶点坐标为$(3,-1)$，
因此当$x＜3$时，$y$随$x$的增大而减小；当$x＞3$时，$y$随$x$的增大而增大，
已知$1≤x≤4$，对称轴$x=3$在该区间内，
所以当$x=3$时，$y$取最小值，$y_{\mathrm{最小值}}=-1$；
分别代入区间端点计算：当$x=1$时，$y=(1-3)^2-1=3$；当$x=4$时，$y=(4-3)^2-1=0$，
比较得$x=1$时$y$取最大值，$y_{\mathrm{最大值}}=3$。
【答案】
(1) $b=-6$，$c=8$；
(2) 最小值为$-1$，最大值为$3$。
【知识点】
二次函数图象平移、二次函数解析式求解、二次函数区间最值
【点评】
本题考查二次函数的平移性质与最值计算，需要熟练掌握平移的运算规则，求解区间最值时要注意判断对称轴和给定区间的位置关系，避免直接代入端点计算的错误，属于二次函数的常规基础题型。
【难度系数】
0.7
